1、第一届清北班数学试卷 第 1 页 共 28 页 第一届清北班数学试卷 第 2 页 共 28 页八年级上学期期中数学试题（几何题） 1定义：三边长和面积都是整数的三角形称为“整数三角形 ”数学学习小组的同学从 32 根等长的火柴棒（每根长度记为 1 个单位）中取出若干根，首尾依次相接组成三角形，进行探究活动小亮用 12 根火柴棒，摆成如图所示的“整数三角形”；小颖分别用 24 根和 30 根火柴棒摆出直角“整数三角形”；小辉受到小亮、小颖的启发，分别摆出三个不同的等腰“整数三角形”（1）请你画出小颖和小辉摆出的“整数三角形”的示意图；（2）你能否也从中取出若干根，按下列要求摆出“整数三角形 ”，
2、如果能，请画出示意图；如果不能，请说明理由摆出等边“整数三角形 ”；摆出一个非特殊（既非直角三角形，也非等腰三角形） “整数三角形”【解答】解：（1）小颖摆出如图 1 所示的“整数三角形”： 小辉摆出如图 2 所示三个不同的等腰“整数三角形”：（2）不能摆出等边“整数三角形 ”理由如下：设等边三角形的边长为 a，则等边三角形面积为 因为，若边长 a 为整数，那么面积 一定非整数所以不存在等边“整数三角形”；能摆出如图 3 所示一个非特殊“整数三角形”：2如图，把矩形纸片 ABCD 沿 EF 折叠，使点 B 落在边 AD 上的点B处，点 A 落在点 A处；（1）求证：BE=BF；（2）设 AE=
3、a， AB=b，BF=c，试猜想 a，b，c 之间的一种关系，并给予证明【解答】 （1）证明：由题意得 BF=BF， BFE=BFE，在矩形 ABCD 中，ADBC，BEF=BFE，BFE=BEF，B F=BE，B E=BF；（2）答：a，b，c 三者关系不唯一，有两种可能情况：（）a，b，c 三者存在的关系是 a2+b2=c2证明：连接 BE，由（1）知 BE=BF=c，BE=BE，四边形 BEBF 是平行四边形，BE=c在ABE 中，A=90，AE 2+AB2=BE2，AE=a，AB=b，a 2+b2=c2；（）a，b，c 三者存在的关系是 a+bc证明：连接 BE，则 BE=BE由（1）
4、知 BE=BF=c，班级： 姓名：_座号：_密 封 线 第一届清北班数学试卷 第 4 页 共 28 页第一届清北班数学试卷 第 3 页 共 28 页BE=c，在 ABE 中，AE+ABBE ，a+bc3我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边（1）写出你所学过的特殊四边形中是勾股四边形的两种图形的名称；（2）如图 1，已知格点（小正方形的顶点）O （0，0） ，A （3，0） ，B（0，4） ，请你画出以格点为顶点， OA，OB 为勾股边且对角线相等的勾股四边形 OAMB；（3）如图 2，将ABC
5、 绕顶点 B 按顺时针方向旋转 60，得到DBE，连接 AD，DC，DCB=30求证：DC 2+BC2=AC2，即四边形 ABCD 是勾股四边形（1）解：正方形、长方形、直角梯形 （任选两个均可）（2）解：答案如图所示M（3，4）或 M（4，3） （3）证明：连接 EC，ABCDBE，AC=DE，BC=BE，CBE=60，EC=BC=BE， BCE=60，DCB=30，DCE=90，DC2+EC2=DE2，DC 2+BC2=AC2即四边形 ABCD 是勾股四边形、4阅读下面材料，并解决问题：（I）如图 4，等边ABC 内有一点 P 若点 P 到顶点 A，B，C 的距离分别为 3，4，5则 AP
6、B= 150 ，由于 PA，PB 不在一个三角形中，为了解决本题我们可以将ABP 绕顶点 A 旋转到ACP处，此时ACP ABP 这样，就可以利用全等三角形知识，将三条线段的长度转化到一个三角形中从而求出APB 的度数（II） （拓展运用）已知 ABC 三边长 a，b，c 满足（1）试判断ABC 的形状 等腰直角三角形 （2）如图 1，以点 A 为原点， AB 所在直线为 x 轴建立平面直角坐标系，直接出点 B，C 的坐标 B（12，0） ，C（6，6） ；（3）如图 2，过点 C 作MCN=45交 AB 于点 M，N 请证明AM2+BN2=MN2；（4）在（3）的条件下，若点 N 的坐标是（
7、8，0） ，则点 M 的坐标为（3，0） ；此时 MN= 5 并求直线 CM 的解析式（5）如图 3，当点 M，N 分布在点 B 异侧时则（3）中的结论还成立吗？第一届清北班数学试卷 第 5 页 共 28 页 第一届清北班数学试卷 第 6 页 共 28 页解：（）ABC 是等边三角形，BAC=60，ABP 绕顶点 A 旋转到ACP处，ACPABP ，PA=PA=3，PB=PC=4 ， PAP=BAC=60，APP是等边三角形，APP=60，PP =PA=3，在PPC 中，P P2+PC2=32+42=25=PC2， PPC=90，APB=APC=APP+PPC=60+90=150，APB=15
8、0；故答案是：150 ， ABP；（） （1）整理得，|a6 |+（c12） 2+ =0，由非负数的性质得，a6 =0，c 12=0，b 6 =0，解得 a=b=6 ，c=12，a2+b2=（6 ） 2+（6 ） 2=144=c2，ABC 是直角三角形，又 a=b， ABC 是等腰直角三角形；（2）AB=c=12，点 B（12，0） ，过点 C 作 CDx 轴于 D，则 AD=CD= AB= 12=6，点 C 的坐标为（6，6） ；（3）如图，把ACM 绕点 C 逆时针旋转 90得到BCM，连接MN，由旋转的性质得，AM=BM、 CM=CM、 CAM=CBM=45，ACM=BCM，MBN=AB
9、C+CBN=45+45=90，MCN=45，MCN=BCN+BCM=BCN+ACM=90MCN=9045=45， MCN=MCN，在MCN 和MCN 中，MCNMCN（SAS） ，MN=M N，在 RtMNB 中， BM2+BN2=MN2， AM2+BN2=MN2；（4）设 AM=x，点 N 的坐标是（8，0） ， AN=8，BN=12 8=4，MN=8x，由（3）的结论，x 2+42=（8x） 2，解得 x=3，AM=3，MN=8 3=5， 点 M 的坐标（3，0） ；设直线 CM 的解析式为 y=kx+b，点 C（6，6） ，M（3，0） ， ，解得 ，设直线 CM 的解析式为 y=2x6
10、；（5）如图，ABC 是等腰直角三角形，CAB= CBA=45，把BCN 绕点 C 顺时针旋转 90得到ACN ，由旋转的性质得，AN=BN，CN=CN， CAN=CBN=135，MAN=13545=90，点 N在 y 轴上，MCN=45，MCN =9045=45，MCN= MCN，在MCN 和MCN中， ，MCNMCN（SAS） ，MN=MN，第一届清北班数学试卷 第 8 页 共 28 页第一届清北班数学试卷 第 3 页 共 28 页在 RtAMN中，AM 2+AN2=MN2，AM 2+BN2=MN25. 如图，Rt ABC 中，ACB=90，AC=BC=4cm ，CD=1cm，若动点E 以
11、 1cm/s 的速度从 A 点出发，沿着 ABA 的方向运动，至 A 点结束，设 E 点的运动时间为 t 秒，连接 DE，当 BDE 是直角三角形时，t 的值为 秒。【答案】 或 或 或 。52127【解析】Rt ABC 中，ACB=90，AC=BC=4cm ，ABC=45，AB= （cm） 。4BC=4cm，CD=1cm，BD=3cm。若DEB=90，则 BE= BD= （cm） 。236如图，在 x 轴上有五个点，它们的横坐标依次为1，2，3，4，5分别过这些点作 x 轴的垂线与三条直线y=ax，y=（a+1）x，y= （a+2）x 相交，其中 a0若图中阴影部分的面积是 75a，则 a
12、为 解：将 8 条直线共 15 个交点求出 （不计与坐标系的，很简单，直接写）p1（1，a） ，p 2（2，2a ） ，p 3（3，3a ） ，p 4 （4，4a） ，p 5 （5，5a ） ； q1（1， （a+1） ） ，q 5（5，5（a+1） ） ；r1（1， （a+2 ） ）r 5（5，5（ a+2） ） （p 1 离原点最近， r5 离原点最远）用梯形公式求出各阴影部分面积并求和（底为纵坐标之差，高为 1）第一届清北班数学试卷 第 9 页 共 28 页 第一届清北班数学试卷 第 10 页 共 28 页S1= r1q1= ； S2= （q 1p1+q2p2）1= ； S3= （r 2
13、q2+r3q3）1）= （2（a+2） 2（a+1） ）+（3（a+2）3（a+1） ） ）= ，同理可得 S4= ，S 5= （仿 S3 一样计算）S=S1+S2+S3+S4+S5= + + + + =12.5，S=75a， 75a=12.5，a= 7在平面直角坐标系中，点 P 从原点 O 出发，每次向上平移 2 个单位长度或向右平移 1 个单位长度（1）实验操作：在平面直角坐标系中描出点 P 从点 O 出发，平移 1 次后，2 次后，3次后可能到达的点，并把相应点的坐标填写在表格中：P 从点 O 出发平移次数可能到达的点的坐标1 次 （0，2） ，（1，0）2 次3 次（2）观察发现：任一
14、次平移，点 P 可能到达的点在我们学过的一种函数的图象上，如：平移 1 次后在函数 y= 2x+2 的图象上；平移 2 次后在函数 y=2x+4 的图象上由此我们知道，平移 n 次后在函数 y=2x+2n 的图象上 （请填写相应的解析式）（3）探索运用：点 P 从点 O 出发经过 n 次平移后，到达直线 y=x 上的点 Q，且平移的路径长不小于 50，不超过 56，求点 Q 的坐标解：（1）如图所示：P 从点 O 出发平移次数可能到达的点的坐标1 次2 次 （0，4） ， （1，2） ， （2，0）3 次 （0，6） ， （1，4） ， （2，2） ，（3，0）（2）设过（0，2） ， （1，
15、0）点的函数解析式为：y=kx+b（k0） ，则 ，解得 ，故第一次平移后的函数解析式为：y=2x+2；答案依次为：y= 2x+2；y= 2x+4；y=2x+2n（3）设点 Q 的坐标为（x， y） ，依题意， 解这个方程组，得到点 Q 的坐标为 平移的路径长为 x+y，50 5637.5n42点 Q 的坐标为正整数， n 是 3 的倍数，n 可以取 39、42，点 Q 的坐标为（26，26） ， （ 28，28）第一届清北班数学试卷 第 12 页 共 28 页第一届清北班数学试卷 第 3 页 共 28 页8课题学习探究：（1）在图 1 中，已知线段 AB，CD，其中点分别为 E，F若 A（1
16、，0 ） ，B （3，0） ，则 E 点坐标为 ；若 C（ 2，2） ，D（2，1） ，则 F 点坐标为 ；（2）在图 2 中，已知线段 AB 的端点坐标为 A（a ，b） ， B（c，d） ，求出图中 AB 中点 D 的坐标（用含 a，b，c，d 的代数式表示） ，并给出求解过程归纳：无论线段 AB 处于直角坐标系中的哪个位置，当其端点坐标为A（a，b） ，B（c ，d） ，AB 中点为 D（x，y） 时，x= ，y= （不必证明）运用：在图 2 中，y=|x1|的图象 x 轴交于 P 点一次函数 y=kx+1 与 y=|x1|的图象交点为 A，B求出交点 A，B 的坐标（用 k 表示） ；
17、若 D 为 AB 中点，且 PD 垂直于 AB 时，请利用上面的结论求出 k的值解：探究（1）（1，0） ； （2， ） ；（2）过点 A，D，B 三点分别作 x 轴的垂线，垂足分别为A，D，B ，则 AABBDD过 A、B 分别作直线 DD的垂线，垂足分别为 H、G AH=BG，又 AH=AD；BG=DBAD=DBxa=c x， 即 D 点的横坐标是 同理又 HD=DG，d y=yb， 可得 D 点的纵坐标是AB 中点 D 的坐标为（ ， ） 运用 ， ， 第一届清北班数学试卷 第 13 页 共 28 页 第一届清北班数学试卷 第 14 页 共 28 页 ，k=09一、阅读理解：在ABC 中
18、，BC=a，CA=b，AB=c；（1）若C 为直角，则 a2+b2=c2；（2）若C 为锐角，则 a2+b2 与 c2 的关系为：a 2+b2c 2证明：如图过 A 作 ADBC 于 D，则 BD=BCCD=aCD在ABD 中：AD 2=AB2BD2在ACD 中：AD 2=AC2CD2AB2BD2=AC2CD2c2（ aCD） 2=b2CD2a2+b2c2=2aCDa0，CD0a2+b2c20，所以：a 2+b2c 2（3）若C 为钝角，试推导 a2+b2 与 c2 的关系二、探究问题：在ABC 中，BC=a=3，CA=b=4，AB=c；若 ABC 是钝角三角形，求第三边 c 的取值范围解：（
19、3）如图过 A 作 ADBC 于 D，则 BD=BC+CD=a+CD在ABD 中：AD 2=AB2BD2在ACD 中：AD 2=AC2CD2AB2BD2=AC2CD2c2（ a+CD） 2=b2CD2a2+b2c2=2aCDa0，CD0a 2+b2c20 所以： a2+b2c 2二、当C 为钝角时，根据公式： ca+b 可得，5c7；当B 为钝角时，根据公式：ba c 可得，1 c 10大家在学完勾股定理的证明后发现运用“同一图形的面积不同表示方式相同”可以证明一类含有线段的等式，这种解决问题的方法我们称之为面积法学有所用：在等腰三角形 ABC 中，AB=AC，其一腰上第一届清北班数学试卷 第
20、 16 页 共 28 页第一届清北班数学试卷 第 3 页 共 28 页的高为 h，M 是底边 BC 上的任意一点，M 到腰 AB、AC 的距离分别为 h1、h 2（1）请你结合图形来证明：h 1+h2=h；（2）当点 M 在 BC 延长线上时，h 1、h 2、h 之间又有什么样的结论请你画出图形，并直接写出结论不必证明；（3）利用以上结论解答，如图在平面直角坐标系中有两条直线 l1：y=x+3，l 2：y=3x+3，若 l2 上的一点 M 到 l1 的距离是 求点 M 的坐标【解答】 （1）证明：连接 AM，由题意得 h1=ME，h 2=MF，h=BD ，SABC=SABM+SAMC，SABM
21、= ABME= ABh1，SAMC= ACMF= ACh2，又 SABC= ACBD= ACh，AB=AC ， ACh= ABh1+ ACh2，h 1+h2=h（2）解：如图所示：h 1h2=h（3）解：在 y= x+3 中，令 x=0 得 y=3；令 y=0 得 x=4，所以 A（4，0） ，B （0，3）同理求得 C（1，0） AB= =5，AC=5，所以 AB=AC，即ABC 为等腰三角形（）当点 M 在 BC 边上时，由 h1+h2=h 得：+My=OB，M y=3 = ，把它代入 y=3x+3 中求得：M x= ，所以此时 M（ ， ） （）当点 M 在 CB 延长线上时，由 h1h
22、2=h 得：My =OB，M y=3+ = ，把它代入 y=3x+3 中求得：M x= ，所以此时 M（ ， ） 综合（） 、 （）知：点 M 的坐标为 M（ ， ）或（ ， ） 第一届清北班数学试卷 第 17 页 共 28 页 第一届清北班数学试卷 第 18 页 共 28 页11 （2013 秋 宁波期末）如图 1，一次函数 y=2x+4 与 x 轴，y 轴分别相交于 A，B 两点，一次函数图象与坐标轴围成的ABO，我们称它为此一次函数的坐标三角形把坐标三角形面积分成相等的二部分的直线叫做坐标三角形的等积线（1）求此一次函数的坐标三角形周长以及分别过点 A、B 的等积线的函数表达式；（2）如
23、图 2，我们把第一个坐标三角形ABO 记为第一代坐标三角形第一代坐标三角形的等积线 BA1，AB 1 记为第一对等积线，它们交于点 O1，四边形 A1OB1O1 称为第一个坐标四边形求点 O1 的坐标和坐标四边形 A1OB1O1 面积；（3）如图 3第一对等积线与坐标轴构成了第二代坐标三角形BA1OAOB 1 分别过点 A，B 作一条平分 BA1O， AOB1 面积的第二对等积线 BA2，AB 2，相交于点 O2，如此进行下去，请直接写出 On 的坐标和第 n 个坐标四边形面积（用 n 表示） 解：（1）令 y=0，则 2x+4=0，解得，x= 2，令 x=0，则 y=4，点 A（2，0） ，
24、B （0，4） ，OA=2，OB=4，由勾股定理得，AB= = =2 ，所以，周长为 6+2 ，AB1、BA 1 是等积线，A 1（1，0） ，B 1（0，2） ，等积线的函数表达式：y=4x+4，y=x+2；（2）联立 ，解得 ，O 1（ ， ） ，坐标四边形 A1OB1O1 面积=S AOB1SAA1O1，= 22 （2 1） ，=2 ，= ；第一届清北班数学试卷 第 20 页 共 28 页第一届清北班数学试卷 第 3 页 共 28 页（3）由题意得，OA n= ，OB n= ，所以，等积线 BAn 的解析式为：y=2 n+1x+4，ABn 的解析式为：y= x+ ，联立 解得 ，点 On
25、（ ， ） ，坐标四边形面积=S AOBnSAAnOn，= 2 （2 ） ，= = = 12已知直线 y= x+4 与 x 轴和 y 轴分别交与 B、A 两点，另一直线经过点 B 和点 D（11，6） （1）求 AB、BD 的长度，并证明ABD 是直角三角形；（2）在 x 轴上找点 C，使ACD 是以 AD 为底边的等腰三角形，求出C 点坐标；（3）一动点 P 速度为 1 个单位/秒，沿 ABD 运动到 D 点停止，另有一动点 Q 从 D 点出发，以相同的速度沿 DBA 运动到 A 点停止，两点同时出发，PQ 的长度为 y（单位长） ，运动时间为 t（秒） ，求 y 关于 t 的函数关系式解：
26、（1）令 x=0，y=4 ，令 y=0，则 x+4=0，解得 x=3，所以，A（0，4） ，B（3，0） ，由勾股定理得，AB= =5，BD= =10，过点 D 作 DHy 轴于 H，DH=11，AH=2，由勾股定理得，AD= = = ，AB2=25，BD 2=100，AB 2+BD2=AD2，ABD 是直角三角形；（2）设 OC 长为 x，由等腰三角形以及勾股定理得到 x2+42=（11 x）2+62，解得 x= ，所以，C（ ，0） ；（3）设 t 秒时相遇，由题意得， t+t=5+10，解得 t=7.5，点 P 在 AB 上时， 0t5，PB=5 t，BQ=10t ，PQ= = = ，点 P、Q 都在 BD 上重合前，5t 7.5，PQ=5+10 tt=152t，
