有限群中元素的阶的性质与子群的阶的联系.doc

精选优质文档-倾情为你奉上 有限群中元素的阶的性质与子群的阶的联系 王琴琳（）摘 要 根据有限群中元素的阶的性质讨论其元素生成的子群的阶。关键词 群 子群 元素 阶 设a为群G的一个元素，e 是G的单位元，使成立的最小正整数n称为元素a的阶。记为。如果这样的正整数不存在，则称a的阶为无限的，记为设G是一个（乘法）群而G中有一个元素G，使G中每一个元素都是a 的乘方，即，那么称G为循环群，a 叫做G的生成元，习惯上记为，也就是说，G使有生成元a 生成的。性质1 设是阶循环群中任一元，若，那么。证明 因为是与的最大公因数，所以并且有，则， 并且可知，首先看 ，若设，所以 （*）其次，又因为，所以 ，因，所以 （*）由（*）和（*）知， 即。性质2 （a）为阶循环群，的任一个正因子，（a）都有一个阶子群。证明 设，且，即,由性质1可知, 所以，以为生成元的循环群是循环群的一个阶子群。