1、 1 浙江省平阳县第三中学高三数学 导数的应用测试题 类型一 利用导数研究切线问题 导数的几何意义 (1)函数 y f(x)在 x x0 处的导数 f( x0)就是曲线 y f(x)在点 (x0， f(x0)处的切线的斜率，即 k f( x0)；(2)曲线 y f(x)在点 (x0， f(x0)处的切线方程为 y f(x0) f( x0)(x x0) 例 1 (2012 年高考安徽卷改编 )设函数 f(x) aex 1aex b(a0)在点 (2， f(2)处的切线方程为 y 32x，求 a，b 的值 跟踪训练 已知函数 f(x) x3 x. (1)求曲线 y f(x)的过点 (1， 0)的切
2、线方程； (2)若过 x 轴上的点 (a， 0)可以作曲线 y f(x)的三条切线，求 a 的取值范围 类型二 利用导数研究函数的单调性 例 2 (2012 年高考山东卷改编 )已知函数 f(x) lnxxke(k 为常数， e 2.718 28 是自然对数的底数 )，曲线 y f(x)在点 (1， f(1)处的切线与 x 轴平行 (1)求 k 的值； (2)求 f(x)的单调区 间 跟踪训练 若函数 f(x) ln x 12ax2 2x 存在单调递减区间，求 实数 a 的取值范围 2 类型三 利用导数研究函数的极值与最值 例 3 (2012 年高考北京卷 )已知函数 f(x) ax2 1(a
3、0)， g(x) x3 bx. (1)若曲线 y f(x)与曲线 y g(x)在它们的交点 (1， c)处具有公共切线，求 a， b 的值； (2)当 a2 4b 时，求函数 f(x) g(x)的单调区间，并求其在区间 (， 1上的最大值 跟踪训练 (2012年珠海摸底 )若函数 f(x)2x3 3x2 1（ x0 ）eax（ x0） ，在 2， 2上的最大值为 2，则 a的取值范围是 ( ) A 12ln 2， ) B 0， 12ln 2 C ( ， 0 D ( ， 12ln 2 导数应用同步作业 一、选择题 1设 a 为实数，函数 f(x) x3 ax2 (a 2)x 的导函数是 f( x
4、)，且 f( x)是偶函数，则曲线 y f(x)在原点处的切线方程为 ( ) A y 2x B y 3x C y 3x D y 4x 2已知函数 f(x)的导函数为 f( x)，且满足 f(x) 2xf(1) lnx，则 f(1) ( ) A e B 1 C 1 D e 3函数 f(x) 3x2 lnx 2x 的极值点的个数是 ( ) A 0 B 1 C 2 D无数个 3 4 (2011 浙江高考 )设函数 f(x) ax2 bx c(a， b， c R)若 x 1 为函数 f(x)ex 的一个极值点，则下列图像不可能为 y f(x)图像的是 ( ) 二、填空题 5 (2011 嘉兴模拟 )已
5、知函数 f(x) xex，则 f( x) _；函数 f(x)的图像在点 (0， f(0)处的切线方程为 _ 6已知函数 f(x) 12mx2 lnx 2x 在定义域内是增函数，则实数 m 的取值范围为 _ 7已知函数 f(x) ax3 bx2 cx，其导函数 y f( x)的图像经过点 (1,0)， (2,0)，如图所示，则下列说法中 不 正确的是 _ 当 x 32时函数取得极小值； f(x)有两个极值点； 当 x 2时函数取得极小值； 当 x 1时函数取得极大值 三、解答题 8已知函数 f(x) ax3 3x2 1 3a(a R 且 a0) ，试求函数 f(x)的极大值与极小值 9已知函数
6、f(x) x3 ax2 bx c 在 ( ， 0)上是减函数，在 (0,1)上是增函数，函数 f(x)在 R 上 有三个零点，且 1是其中一个零点 (1)求 b的值； (2)求 f(2)的取值范围 4 10 (2011 江苏高考 )已知 a， b 是实数，函数 f(x) x3 ax， g(x) x2 bx， f( x)和 g( x)分别是 f(x)和 g(x)的导函数，若 f( x) g( x)0 在区间 I上恒成立，则称 f(x)和 g(x)在区间 I 上单调性一致 (1)设 a 0.若 f(x)和 g(x)在区间 1， ) 上单调性一致，求 b 的取值范围； (2)设 a 0且 a b.若
7、 f(x)和 g(x)在以 a， b为端点的开区间上 单调性一致，求 |a b|的最大值 第三讲 导数的应用 （聚焦突破） 类型一 利用导数研究切线问题 导数的几何意义 (1)函数 y f(x)在 x x0 处的导数 f( x0)就是曲线 y f(x)在点 (x0， f(x0)处的切线的斜率，即 k f( x0)； (2)曲线 y f(x)在点 (x0， f(x0)处的切线方程为 y f(x0) f( x0)(x x0) 例 1 (2012 年高考安徽卷改编 )设函数 f(x) aex 1aex b(a0)在点 (2， f(2)处的切线 方程为 y 32x，求 a，b 的值 解析 f( x)
8、aex 1aex， f(2) ae2 1ae2 32， 解得 ae2 2 或 ae2 12(舍去 )， 所以 a 2e2，代入原函数可得 2 12 b 3， 即 b 12， 5 故 a 2e2， b 12. 跟踪训练 已知函数 f(x) x3 x. (1)求曲线 y f(x)的过点 (1， 0)的切线方程； (2)若过 x 轴上的点 (a， 0)可以作曲线 y f(x)的三条切线，求 a 的取值范围 解析： (1)由题意得 f( x) 3x2 1.曲线 y f(x)在点 M(t， f(t)处的切线方程为 y f(t) f( t)(x t)，即y (3t2 1) x 2t3，将点 (1， 0)代
9、入切线方程得 2t3 3t2 1 0，解得 t 1 或 12 ，代入 y (3t2 1)x2t3 得曲线 y f(x)的过点 (1， 0)的切线方程为 y 2x 2 或 y 14 x 14 . (2)由 (1)知若过点 (a， 0)可作曲线 y f(x)的三条切线，则方程 2t3 3at2 a 0 有三个相异的实根，记 g(t) 2t3 3at2 a. 则 g( t) 6t2 6at 6t(t a) 当 a0 时，函数 g(t)的极大值是 g(0) a，极小值是 g(a) a3 a，要使方程 g(t) 0 有三个相异的实数根，需使 a0 且 a3 a0 且 a2 10，即 a1； 当 a 0
10、时，函数 g(t)单调递增，方程 g(t) 0 不可能有三个相异的实数根； 当 a0，即 a0，即 a0，那么函数 f(x)在区间 (a， b)上单调递增；如果 f( x)0； 当 x (1， )时， h(x)0，所以当 x (0， 1)时， f( x)0； 当 x (1， )时， f( x)0 时， y ax2 2x 1 为开口向上的抛物线，所以 ax2 2x 1 0 在 (0， )上恒有解； (2)当 a0，此时 10)， g(x) x3 bx. (1)若曲线 y f(x)与曲线 y g(x)在它们的交点 (1， c)处具有公共切线，求 a， b 的值； (2)当 a2 4b 时，求函数
11、f(x) g(x)的单调区间，并求其在区间 (， 1上的最大值 解析 (1)f( x) 2ax， g( x) 3x2 b， 因为曲线 y f(x)与曲线 y g(x)在它们的交点 (1， c)处具有公共切线， 所以 f(1) g(1)，且 f(1) g(1) 即 a 1 1 b，且 2a 3 b. 解得 a 3， b 3. (2)记 h(x) f(x) g(x)当 b 14a2 时， h(x) x3 ax2 14a2x 1， h( x) 3x2 2ax 14a2. 令 h( x) 0， 得 x1 a2， x2 a6. a0 时 ， h(x)与 h( x)的变化情况如下 ： x ( , )2a
12、2a ( , )26aa 6a ( , )6a ()hx 0 0 ()hx 所以函数 h(x)的单调递增区间为 ( ， a2)和 ( a6， ) ；单调递减区间为 ( a2， a6) 当 a2 1，即 06 时， 8 函数 h(x)在区间 ( ， a2)上单调递增，在区间 ( a2， a6)上单调递减，在区间 ( a6， 1上单调递增，又因为 h( a2) h( 1) 1 a 14a2 14(a 2)20，所以 h(x)在区间 ( ， 1上的最大值为 h( a2) 1. 跟踪训练 (2012年珠海摸底 )若函数 f(x)2x3 3x2 1（ x0 ）eax（ x0） ，在 2， 2上的最大值为
13、 2，则 a的取值范围是 ( ) A 12ln 2， ) B 0， 12ln 2 C ( ， 0 D ( ， 12ln 2 解析： 当 x0 时， f( x) 6x2 6x，易知函数 f(x)在 ( ， 0上的极大值点是 x 1，且 f( 1) 2，故只要在 (0， 2上， eax2 即可，即 axln 2 在 (0， 2上恒成立，即 a ln 2x 在 (0， 2上恒成立，故 a 12ln 2. 答案： D 导数应用同步作业 一、选择题 1设 a 为实数，函数 f(x) x3 ax2 (a 2)x 的导函数是 f( x)，且 f( x)是偶函数，则曲线 y f(x)在原点处的切线方程为 (
14、) A y 2x B y 3x C y 3x D y 4x 解析：由已知得 f( x) 3x2 2ax a 2，因为 f( x)是偶函数，所以 a 0，即 f( x) 3x2 2，从而 f(0) 2，所以曲线 y f(x)在原点处的切线方程为 y 2x. 答案： A 2已知函数 f(x)的导函数为 f( x)，且满足 f(x) 2xf(1) lnx，则 f(1) ( ) A e B 1 C 1 D e 解析： f( x) 2f(1) 1x，令 x 1，得 f(1) 2f(1) 1， f(1) 1. 答案： B 9 3函数 f(x) 3x2 lnx 2x 的极值点的个数是 ( ) A 0 B 1
15、 C 2 D无数个 解析：函数定义域为 (0， ) ， 且 f( x) 6x 1x 2 6x2 2x 1x ， 由于 x0， g(x) 6x2 2x 1 中 200 恒成立，故 f( x)0 恒成立， 即 f(x)在定义域上单调递增，无极值点 答案： A 4 (2011 浙江高考 )设函数 f(x) ax2 bx c(a， b， c R)若 x 1 为函数 f(x)ex 的一个极值点，则下列图像不可能为 y f(x)图像的是 ( ) 解析：若 x 1 为函数 f(x)ex 的一个极值点，则易得 a c.因选项 A、 B 的函数为 f(x) a(x 1)2，则f(x)ex f( x)ex f(x
16、)(ex) a(x 1)(x 3)ex， x 1 为函数 f(x)ex的一个极值点满足条件； 选项 C 中，对称轴 x b2a 0，且开口向下， a 0， b 0. f( 1) 2a b 0.也满足条件； 选项 D 中，对称轴 x b2a 1，且开口向上， a 0， b 2a. f( 1) 2a b 0.与图矛盾 答案： D 二、填空题 5 (2011 嘉兴模拟 )已知函数 f(x) xex，则 f( x) _；函数 f(x)的图像在点 (0， f(0)处的切线方程为 _ 解析： f( x) 1e x xe x (1 x)ex； f(0) 1， f(0) 0，因此 f(x)在点 (0， f(0
17、)处的切线方程为 y 0 x 0，即 y x. 答案： (1 x)ex y x 6已知函数 f(x) 12mx2 lnx 2x 在定义域内是增函数 ，则实数 m 的取值范围为 _ 解析： f( x) mx 1x 20 对一切 x0 恒成立， 10 m (1x)2 2x，令 g(x) (1x)2 2x， 则当 1x 1 时，函数 g(x)取得最大值 1，故 m1. 答案： 1， ) 7已知函数 f(x) ax3 bx2 cx，其导函数 y f( x)的图像经过 点 (1,0)， (2,0)，如图所示，则下列说法中 不 正确的是 _ 当 x 32时函数取得极小值； f(x)有两个极值点； 当 x
18、2时函数取得极小值； 当 x 1时函数取得极大值 解析：从图像上可以看到：当 x (0,1)时， f( x) 0；当 x (1,2)时， f( x) 0；当 x (2， ) 时，f( x) 0，所以 f(x)有两个极值点 1 和 2，且当 x 2 时函数取得极小值，当 x 1 时函数取得极大值只有 不正确 答案： 三、解答题 8已知函数 f(x) ax3 3x2 1 3a(a R 且 a0) ，试求函数 f(x)的极大值与极小值 解：由题设知 a0 ， f( x) 3ax2 6x 3ax(x 2a) 令 f( x) 0，解之得 x 0或 x 2a. 当 a0 时，随 x 的变化， f( x)与 f(x)的变化情况如下： x ( ， 0) 0 (0， 2a) 2a (2a， ) f( x) 0 0 f(x) 极大值 极小值 f(x)极大值 f(0) 1 3a， f(x)极小值 f(2a) 4a2 3a 1. 当 a0 时，随 x 的变化， f( x)与 f(x)的变化情况如下： x ( ， 2a) 2a (2a， 0) 0 (0， ) f( x) 0 0 f(x) 极小值 极大值
