1、构造函数解决高考导数问题 1.（ 2015课标全国理）设函数 aaxxexf x )12()( ，其中 1a ，若存在唯一的整数 0x 使得 0)( 0 xf ，则 a 的取值范围是（ ） A )1,23 e B )43,23 e C )43,23 e D )1,23 e 2. （ 2016 课标 全国 II 卷 理） 若直线 y=kx+b 是曲线 y=lnx+2 的切线，也是曲线 y=ln（ x+1）的切线，则 b= 3.（ 2016北京理）（本小题 13 分） 设函数 f (x)=x axe +bx，曲线 y=f (x)在点 (2,f (2)处的切线方程为 y=(e 1)x+4， （ I）
2、求 a,b 的值； (II) 求 f (x)的单调区间 4.（ 2017全国 III 卷文） （ 12 分） 已知函数 ()fx=lnx+ax2+(2a+1)x （ 1）讨论 ()fx的单调性； （ 2）当 a 0 时，证明 3( ) 24fx a 5. （ 2016四川卷文） （本小题满分 14 分） 设函数 f (x)=ax2 a lnx， g(x)=1x eex ，其中 a R， e=2.718 为自然对数的底数 . （ ）讨论 f (x)的单调性； （ ）证明：当 x 1 时， g(x) 0； （ ）确定 a 的所有可能取值，使得 f (x) g(x)在区间（ 1， +）内恒成立 .
3、6.（ 2016课标全国 文）（本小题满分 12 分） 已知函数 ( ) ( 1 ) ln ( 1 )f x x x a x . （ I）当 4a 时，求曲线 ()y f x 在 1, (1)f 处的切线方程； （）若当 1,x 时， ( ) 0fx ，求 a 的取值范围 . 7.（ 2017天津文）（本小题满分 14 分） 设 ,abR ， | | 1a .已知函数 32( ) 6 3 ( 4 )f x x x a a x b ， ( ) e ( )xg x f x . （）求 ()fx的单调区间； （）已知函数 ()y gx 和 xye 的图像在公共点（ x0， y0）处有相同的切线， （
4、 i）求证： ()fx在 0xx 处的导数等于 0； （ ii）若关于 x 的不等式 ( ) exgx 在区间 00 1, 1xx上恒成立，求 b 的取值范围 . 8.（ 2016江苏）（本小题满分 16 分）已知函数 f（ x） =ax+bx（ a 0， b 0， a1， b1） （ 1）设 a=2， b=12 求方程 f（ x） =2 的根； 若对于任意 x R，不等式 f（ 2x） mf（ x） 6 恒成立，求实数 m 的最大值； （ 2）若 0 a 1， b 1，函数 g（ x） =f（ x） 2 有且只有 1 个零点，求 ab 的值 9. （ 2016山东理） (本小题满分 13 分
5、 ) 已知 221( ) l n ,xf x a x x a Rx . （ I）讨论 ()fx的单调性； （ II）当 1a 时，证明 3( ) 2f x f x 对于任意的 1,2x 成立 . 10. (2017江苏文 )（本小题满分 16 分） 已知函数 32 10f x = x a x b x ( a ,b R ) 有极值，且导函数 fx 的极值点是 fx的零点 .（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值） (1)求 b 关于 a 的函数关系式，并写出定义域； (2)证明： b3a; (3)若 fx， fx 这两个函数的所有极值之和不小于 7-2 ，求 a 的取值范围 . 构造函数 解决
6、高考导数问题答案 1.（ 2015课标全国理）设函数 aaxxexf x )12()( ，其中 1a ，若存在唯一的整数 0x 使得 0)( 0 xf ，则 a 的取值范围是（ ） A )1,23 e B )43,23 e C )43,23 e D )1,23 e 【答案】 D 【解析】由题意，存在唯一的整数 x0，使得 f(x0) 0，即存在唯一的整数 x0，使 0xe (2x0 1) a(x0 1) 设 g(x) ex(2x 1)， h(x) a(x 1) g(x) ex(2x 1) 2ex ex(2x 1)， 从而当 x ， 12 时， g(x)单调递减；当 x 12， 时， g(x)单
7、调递增 又 h(x) a(x 1)必过点 (1， 0)， g(0) 1，当 g(0) h(0)时， a 0（ 1）1 0 1. 而 g( 1) 3e，当 g( 1) h( 1)时， a0 3e1（ 1） 32e， 要满足题意，则 32e a 1，选 D. 【点评】关键点拨：把 “若存在唯一的整数 x0， 使得 f(x0) 0”转化为 “若存在唯一的整数 x0，使得 0xe (2x0 1) a(x0 1)” 测训诊断：本题难度较难 ， 主要考查导数知识的应用考查转化与化归思想 2.（ 2016 课标 全国 II 卷 理） 若直线 y=kx+b 是曲线 y=lnx+2 的切线，也是曲线 y=ln(
8、x+ )的切线，则 b= 【答案】 1 ln 2 【解析】设 y kx b 切 y ln x 2 的切点为 (x1， y1)，切 y ln (x 1)的切点为 (x2， y2)由导数的几何意义和切点的特征可知kx1 b ln x1 2 y1，k 1x1， kx2 b ln（ x2 1） y2，k 1x2 1. 由 消去 x1， y1 整理可得 b 1 ln k， 由 消去 x2， y2 整理可得 b ln k k 1. 联立 可得 1 ln k ln k k 1， k 2， b 1 ln k 1 ln 2. 【点评】 关键点拨：关 于函数的切线问题，我们要利用导数的几何意义，构建等量关系还需注
9、意切点既在函数图像上，也在切线上对于切点不明确的，需要设出切点，再合理表达求解 测训诊断： (1)利用导数的几何意义求解切线问题，是高中导数知识的重要部分，应熟练掌握基本题型，在此基础上加强综合题的训练 (2)本题有一定深度，难度，考查了学生的知识迁移能力和数据处理能力，争取得分 3.（ 2016北京理）（本 题 满分 13 分） 设函数 f (x)=x axe +bx，曲线 y=f (x)在点 (2,f (2)处的切线方程为 y=(e 1)x+4， （ I）求 a,b 的值； (II) 求 f (x)的单调区间 解： (1)因为 f (x) xea-x bx，所以 f (x) (1 x)ea
10、-x b. 依题设，有 f（ 2） 2e 2，f （ 2） e 1， 即 2ea-2 2b 2e 2， ea-2 b e 1. 解得 a 2， b e. (2)由 (1)知 f (x) xe2-x ex， 由 f (x) e2-x(1 x ex-1)及 e2-x0 知， f (x)与 1 x ex-1 同号 令 g(x) 1 x ex-1，则 g(x) 1 ex-1.令 g (x) 0，得 x 1. 所以当 x ( ， 1)时， g(x)0， g(x)在区间 (1， )上单调递增 故 g(1) 1 是 g(x)在区间 ( ， )上的最小值， 从而 g(x)0， x ( ， ) 综上可知， f
11、(x)0， x ( ， ) 故 f (x) 的单调递增区间为 ( ， ) 【点评】 测训诊断： (1)本题难度易，主要考查导数的几何意义和函数单调区间的求解 (2)本题若失分，多是对导致的概念理解不清或计算出错 4.（ 2017全国 III 卷文）（ 12 分） 已知函数 ()fx=lnx+ax2+(2a+1)x （ 1）讨论 ()fx的单调性； （ 2）当 a 0 时，证明 3( ) 24fx a 解：（ 1） )0()1)(12(1)12(2)( 2 xx xaxx xaaxxf当 0a 时， 0)( xf ，则 )(xf 在 ),0( 单调递增 当 0a 时，则 )(xf 在 )21,0
12、( a 单调递增，在 ),21( a 单调递减 . （ 2）由（ 1）知，当 0a 时，m a x 1 1 1( ) ( ) l n 12 2 4f x f a a a 1 3 1 1( ) ( 2 ) l n ( ) 12 4 2 2f a a a a ， 令 tty 1ln （ 021 at ），令 011 ty ，解得 1t y 在 )1,0( 单调递增，在 ),1( 单调递减 . max (1) 0y y y ， 即 )243()(m ax axf， 243)( axf . 5.（ 2016四川卷文） （本题满分 14 分） 设函数 f (x)=ax2 a lnx， g(x)=1x e
13、ex ，其中 a R， e=2.718 为自然对数的底数 . （ ）讨论 f (x)的单调性； （ ）证明：当 x 1 时， g(x) 0； （ ）确定 a 的所有可能取值，使得 f (x) g(x)在区间（ 1， +）内恒成立 . 解： (1) f (x) 2ax 1x 2ax2 1x (x0) 当 a0时， f (x)0 时，由 f (x) 0 得 x 12a. 当 x 0， 12a 时， f (x)0， f (x)单调递增 (2)证明：令 s(x) ex-1 x，则 s(x) ex-1 1. 当 x1 时， s(x)0，所以 ex-1x，从而 g(x) 1x eex0. (3)由 (2)
14、知，当 x1 时， g(x)0. 当 a0， x1 时， f (x) a(x2 1) ln xg(x)在区间 (1， )内恒成立时，必有 a0. 当 01. 由 (1)有 f 12a 0. 所以此时 f (x)g(x)在区间 (1， )内不恒成立 当 a12时，令 h(x) f (x) g(x)(x1)， 则 h(x) 2ax 1x 1x2 e1-xx 1x 1x2 1x x3 2x 1x2 x2 2x 1x2 0. 因此， h(x)在区间 (1， )内单调递增 又因为 h(1) 0，所以当 x1 时， h(x) f (x) g(x)0，即 f (x)g(x)恒成立 综上， a 12， . 【
15、点评】 关键点拨：第 (1)问中对 a 的讨论是关键，第 (3)问中恒成立求参数化归为函数求最值，最值的求解是难点 测训诊断： (1)本题难度较大，主要考查分类讨论求单调区间、构造函数证明不等式、不等式恒成立求参数取值范围问题 (2)考生失分主要体现两点： 分类讨论不全面； 在第 (3)问中不等式恒成立求参数范围转化为函数求最值时，计算过程出现失误 6.（ 2016课标全国 文）（本小题满分 12 分） 已知函数 ( ) ( 1 ) ln ( 1 )f x x x a x . （ I）当 4a 时，求曲线 ()y f x 在 1, (1)f 处的切线方程； （）若当 1,x 时， ( ) 0f
16、x ，求 a 的取值范围 . 解： (1)f (x)的定义域为 (0， )， 当 a 4 时， f (x) (x 1)ln x 4(x 1)， f (x) ln x 1x 3， f (1) 2， f(1) 0. 所以曲线 y f (x)在 (1， f(1)处的 切线方程为 2x y 2 0. (2)当 x (1， )时， f (x)0 等价于 ln x a（ x 1）x 1 0. 设 g(x) ln x a（ x 1）x 1 ，则 g(x) 1x 2a（ x 1） 2 x2 2（ 1 a） x 1x（ x 1） 2 ， g(1) 0. 当 a2， x (1， )时， x2 2(1 a)x 1x
17、2 2x 10，即 g(x)0， g(x)在 (1， )上单调递增，因此 g(x)0； 当 a2 时，令 g(x) 0 得 x1 a 1 （ a 1） 2 1， x2 a 1 （ a 1） 2 1. 由 x21 和 x1x2 1 得 x10， 所以 mf（ x） 2 4f（ x） 对于任意 x R 恒成立 而f（ x） 2 4f（ x） f (x)4f（ x） 2 f（ x） 4f（ x） 4，且f（ 0） 2 4f（ 0） 4， 所以 m4，故实数 m 的最大值为 4. (2)因为函数 g(x) f (x) 2 有且只有 1 个零点， 而 g(0) f(0) 2 a0 b0 2 0， 所以
18、0 是函数 g(x)的唯一零点 因为 g(x) axln a bxln b，又由 01 知 ln a0， 所以 g(x) 0 有唯一解 x0 logba ln aln b . 令 h(x) g(x)，则 h(x) (axln a bxln b) ax(ln a)2 bx(ln b)2， 从而对任意 x R， h(x)0，所以 g(x) h(x)是 (， )上的单调增函数 于是当 x ( ， x0)时， g(x)g(x0) 0. 因而函数 g(x)在 ( ， x0)上是单调减函数，在 (x0， )上是单调增函数 下证 x0 0. 若 x0alog2a 2 0，且函数 g(x)在以x02和 log
19、a2 为端点的闭区间上的图像不间断，所以在x02和 loga2 之间存在 g(x)的零点，记为 x1. 因为 00，同理可得，在x02和 loga2 之间存在 g(x)的非 0 的零点，矛盾 因此， x0 0. 于是ln aln b 1，故 lg a ln b 0，所以 ab 1. 【解析】 【点评】关键点拨：注意分离参数方法在解与函数有关的不等式求参问题中的应用；根据函数零点个数求参数值时，注意应用零点存在定理，利用换元法求解时一定要注意新元的取值范围 测训诊断： (1)本题难度大，主要考查指数函 数、基本不等式、利用导数研究初等 函数的单调性及零点问题，考查学生综合运用数学思想分析问题、解决问题的能力以及运算求解能力，
