1、 - 1 - 2015 年普通高等学校招生全国统一考试 (新课标 卷 ) 数学 (文科 ) 本试卷分第 卷 (选择题 )和第 卷 (非选择题 )两部分，共 150 分，考试时间 120 分钟 第 卷 一、选择题 (本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 ) 1已知集合 30|,21| xxBxxA ，则 BA ( ) A ( 1,3) B ( 1,0) C (0,2) D (2,3) 2若 a 为实数，且 iiai 312 ，则 a ( ) A 4 B 3 C 3 D 4 3根据下面给出的 2004 年至 2013 年我国二氧化硫年
2、排放量 (单位：万吨 )柱形图，以下结论中不正确的是 ( ) A逐年比较， 2008 年减少二氧化硫排放量的效果最显著 B 2007 年我国治理二氧化硫排放显现成效 C 2006 年以来我 国二氧化硫年排放量呈减少趋势 D 2006 年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关 4向量 1,1a ， 2,1b ，则 aba2 ( ) A 1 B 0 C 1 D 2 5设 nS 是等差数列 na 的前 n 项和，若 3531 aaa ，则 5S ( ) A 5 B 7 C 9 D 11 6.一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为 ( ) A.18
3、 B.17 C.16 D.15 7已知三点 01，A 30，B ， 32，C ，则 ABC 外接圆的圆心到原点的距离为 ( ) A.53 B. 213 C.2 53 D.43 8.右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著九章算术中的“ 更相减损术 ” 执行该程序框图，若输入的 a， b 分别为 14,18，则输出的 a ( ) 第 8 题图 A 0 B 2 C 4 D 14 9已知等比数列 na 满足 411a， 14 453 aaa ，则 2a ( ) A 2 B 1 C.12 D.18 10 已知 A， B 是球 O 的球面上两点， AOB 90 ， C 为该球面上的动点若三棱锥 OAB
4、C 体积的最大值为 36，则球 O 的表面积为 ( ) A 36 B 64 C 144 D 256 11.如图，长方形 ABCD 的边 AB 2， BC 1， O 是 AB的中点点 P 沿着边 BC， CD与 DA 运动，记 BOP x，将动点 P到 A， B 两点距离之和表示为 x 的函数 f(x)，则 y f(x)的图象大致为 ( ) 12.设函数 21 11ln xxxf ，则使得 12 xfxf 成立的 x 的取值范围是 ( ) A. 13， 1 B. ， 131-C. 13， 13 D. ， 3131-第 卷 - 2 - 二、填空题 (本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分
5、把答案填在题中横线上 ) 13已 知函数 xaxxf 23 的图象过点 4,1- ，则 a _. 14若 x， y 满足约束条件 x y 50 ，2x y 10 ，x 2y 10 ，则 yxz 2 的最大值为 _ 15已知双曲线过点 34， ，且渐近线方程为 xy 21 ，则该双曲线的标准方程为 _ 16已知曲线 xxy ln 在点 1, 处的切线与曲线 122 xaaxy 相切，则 a _. 三、解答题 (解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 ) 17 (本小题满分 12 分 ) ABC 中， D 是 BC 上的点， AD 平分 BAC ， DCBD 2 (1)求 CBsinsin (2)
6、若 60BAC ，求 B 18.(本小题满分 12 分 )某公司为了解用户对其产品的满意度，从 A， B 两地区分别随机调查了 40 个用户，根据用户对产品的满意度评分，得到 A 地区用户满意度评分的频率分布直方图和 B 地区用户满意度评分的频数分布表 图 B 地区用户满意度评分的频数分布表 满意度评分分组 50,60) 60,70) 70,80) 80,90) 90,100 频数 2 8 14 10 6 (1)在图 中作出 B 地区用户满意度评分的频率分布直方图，并通过直方图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度 (不要求计算出具体值，给出结论即可 ) 图 (2)根据用户满意度评分，将用户的
7、满意度分为 三个等级： 满意度评分 低于 70 分 70 分到 89 分 不低于 90 分 满意度等级 不满意 满意 非常满意 估计哪个地区用户的满意度等级为不满意的概率大？说明理由 19.(本小题满分 12 分 )如图，长方体 1111 DCBAAB C D 中， 16AB ，10BC , 81AA ，点 E ,F 分别在 11BA , 11CD 上， 411 FDEA .过点 E ,F 的平面 与此长方体的面相交，交线围成一个正方形 (1)在图中画出这个正方形 (不必说明画法和理由 )； (2)求平面 把该长方体分成的两部分体积的比值 20.(本小题满分 12 分 )已知椭圆 C ： 12
8、222 byax 0. ba 的离心率为 22 ，点 22， 在 C 上 (1)求 C 的方程； (2)直线 l 不过原点 O 且不平行于坐标轴， l 与 C 有两个交点 A ,B ，线段 AB 的中点为 M .证明：直线OM 的斜率与直线 l 的斜率的乘积为定值 21.(本小题满分 12 分 )已知函数 xaxxf 1ln (1)讨论 xf 的单调性； (2)当 xf 有最大值，且最大值大于 22a 时，求 a 的取值范围 请考生在第 22、 23、 24 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分作答时请写清题号 23.（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 在直角坐
9、标系 xOy 中 ,曲线1 cos ,: sin ,xtC yt （ t 为参数 ,且 0t ） ,其中 0 ,在以 O 为极点 ,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中 ,曲线 23: 2 s in , : 2 3 c o s .CC - 3 - （ I）求 2C 与 3C 交点的直角坐标； （ II）若 1C 与 2C 相交于点 A, 1C 与 3C 相交于点 B,求 AB 最大值 24.(本小题满分 10 分 )选修 4 5：不等式选讲 设 a， b， c， d 均为正数，且 a b c d.证明： (1)若 abcd，则 a b c d； (2) a b c d是 |a b|c d|的充要条件
10、 - 4 - 1、选 A 2、故选 D 3、选 D 4、选 C 5、解：在等差数列中，因为 .,552 5)(,1,3 35153531 AaaaSaaaa 故选所以 6、解：如图所示，选 D. 7、选 B. 8、故选 B. 9、解：因为 ),1(4,414531 aaaaa n 满足所以， .21241,2,2),1(4 123144424 qaaqqaaaaa 所以，所以又解得故选 C. 10、解：因为 A,B 都在球面上，又 为该球面上动点，CA O B ,90 所以 三棱锥的体积的最大值为 36612131 32 RRR ，所以 R=6，所以球的表面积为 S= 1444 2 R ，故选
11、 C. 11、解：如图，当点 P 在 BC 上时， ,t a n4t a n,t a n4,t a n,22xxPBPAxPAxPBxB O P 当 4x 时取得最大值 51 ， 以 A,B 为焦点 C,D 为椭圆上两定点作椭圆，显然，当点 P 在 C,D 之间移动时 PA+PB 51 . 又函数 )(xf 不是一次函数，故选 B. 12、解：因为函数 时函数是增函数是偶函数， ),0,1 1)1l n ()(2 xxxxf.131,)12(,12)12()( 22 xxxxxxfxf 解得 故选 A. 第二卷 一、 填空题：本大题共 4 个小题，每小题 5 分 13、答： a=-2 14、解
12、：当 x=3,y=2 时， z=2x+y 取得最大值 8. 15、解：设双曲线的方程为 .43,4),0(4 22 kkkyx ）代入方程，解得，点（ 14 22 yx双曲线的标准方程为 16、解： .122,11 xyxy ，切线方程为切线的斜率为 .8120.08,08,021)2(12222axyaaaaaaxaxxaaxyxy所以与切线平行，不符。时曲线为或解得由联立得与将二、 解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 （ 17）（本小题满分 12 分） 17、解：（ ）由正弦定理得 ,sinsin ABACCB 再由三角形内角平分线定理得 ，21BDDCABAC .21sin
13、sin CB （） 120,60 CBB A C .30,3 3t a n,s i n2)1 2 0s i n (,s i n2s i n.21s i ns i n1BBBBBCCB 展开得）得由（18、解：（ 1） B 地区频率分布直方图如图所示 0 . 0050 . 0100 . 035B 地区用户满意度评分的频率分布直方图0 . 0400 . 0300 . 0250 . 0200 . 0151009080706050O 满意度评分频率组距比较 A,B 两个地区的用户，由频率分布直方图可知： A 地区评分均值为 45x0.1+55x0.2+65x0.3+75x0.2+85x0.15+95x
14、0.05=67.5 分 B 地区评分 均值为 55x0.05+65x0.2+75x0.35+85x0.25+95x0.15=76.5 分 xPOD CBA- 5 - A 地区用户评价意见较分散， B 地区用户评价意见相对集中。 （ 2） A 地区的用户不满意的概率为 0.3+0.2+0.1=0.6， B 地区的用户不满意的概率为 0.05+0.20=0.25， 所以 A 地区的用户 满意度等级为不满意的概率大 。 19、 解： （ I） 在 AB 上取点 M,在 DC 上取点 N，使得AM=DN=10,然后连接 EM,MN,NF,即组成正方形 EMNF，即平面。 （ II） 两部分几何体都是高
15、为 10 的四棱柱，所以体积之比等于底面积之比，即 .97126 1041121 E M B BA M E ASSVV 20、解、 （ I） 如图所示，由题设得 ,22ac 又点的坐标满足椭圆的方程，所以 12422 ba， 联立解得： .148,4,8 2222 yxCba 的方程为：所以切线 （ II） 设 A,B 两点的坐标为 ., 2211 mnknmMyxyx om ）的坐标为（点），（ ,82,82 22222121 yxyx则 上面两个式子相减得： .2222121.0)()(2 21 2112 1221222122 nmnmyy xxxx yyxxyy 变形得 .21)2(12
16、 12 mnnmmnxx yykk oml （定值） 21、解： 已知 ln 1f x x a x . .),1()1,0)(00)(0.1)()1(上是减函数上是增函数，在在（时，函数当）上是增函数；，在（时，函数当aaxfaxfaaxxf（ II） 由（ 1）知，当 .ln1)1(1)(0 aaafaxxfa 时取得最大值在时，函数 .01ln,22ln1 aaaaa 整理得由 .1,0(,10),1()(,0)1(0)(,0)(,00,11,1ln)(）即上述不等式即函数。又）是增，在（）（则设aagaggxgxgxaxxgxxxg 请考生在 22、 23、 24 题中任选一题作答 ,如
17、果多做 ,则按所做的第一题计分 ,作答时请写清题号 22、 （ I） 证明：由切线的性质得 AE=AF，所以 AEF 是等 腰三角形，又 AB=AC, 所以 EFA B CA E FACAFABAE , .BC （ II） 解： , ROGOEAGAEOEOE 则连接 22)32(4,2 222 OMRRRROA ， .,6030,.31030c o s,5121,321都是等边三角形， A E FA B CB A CB A DABOEADABRADODMNMD .3 31660s i n322160s i n31021 22 E B C FS 四边形 23.在直角坐标系 xOy 中 ,曲线1
18、 cos ,: sin ,xtC yt （ t 为参数 ,且 0t ） ,其中 0 , 在以 O 为极点 ,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中 ,曲线 23: 2 s in , : 2 3 c o s .CC （ I）求 2C 与 3C 交点的直角坐标； （ II）若 1C 与 2C 相交于点 A, 1C 与 3C 相交于点 B,求 AB 最大值 . 解： （ I） 曲线 23: 2 s in , : 2 3 c o s .CC 的直 角坐标方程是 .032:;0: 222221 xyxCyyxC .23230,0,.23,2 3.0,021 ），、（）交点的直角坐标为（联立解得 CCyxyx （
19、 II） 曲线 .001 ），（的极坐标方程为 RC FED 1 C 1B 1A 1D CBAC ( 2 , 2 )YXOMBANMGOFED CBA- 6 - .465.)3s i n (4c o s32s i n2,c o s32,s i n2取得最大值，最大值为时，当所以）的极坐标为（点）的极坐标为（因此点ABABBA24.（本小题满分 10 分） 选修 4-5：不等式证明选讲 设 , , ,abcd 均为正数 ,且 a b c d .证明： （ I）若 ab cd ,则 a b c d ； （ II） a b c d 是 a b c d 的充要条件 . 24、证明： （ I） 因为 ,2,2 22 cddcdcabbaba ）（ 由题设知 ., dcbacdabdcba （ II） （必要性） .4)(4)(,)()(, 2222 cddcabbadcbadcba 变形得则若 .1, dcbacdabdcba ）得由（ （充分性）若 22, dcbadcba 则 .444.,2222222dcbadccddcabdcabbabacdabdcbacddcabba 成立的充要条件。是所以， dcbadcba
