1、1 二次函数题 选择题： 1、 y=(m-2)xm2- m 是关于 x的二次函数，则 m=（ ） A -1 B 2 C -1 或 2 D m 不存在 2、下列函数关系中，可以看作二次函数 y=ax2+bx+c(a 0)模型的是（ ） A 在一定距离内，汽车行驶的速度与行驶的时间的关系 B 我国人中自然增长率为 1%，这样我国总人口数随年份变化的关系 C 矩形周长一定时，矩形面积和矩形边长之间的关系 D 圆的周长与半径之间的关系 4、将一 抛物线向下向右各平移 2 个单位得到的抛物线是 y=-x2，则抛物线的解析式是（ ） A y= （ x-2） 2+2 B y= （ x+2） 2+2 C y=
2、 （ x+2） 2+2 D y= （ x-2） 2 2 5、抛物线 y= 21 x2-6x+24 的顶点坐标是（ ） A （ 6， 6） B （ 6， 6） C （ 6， 6） D（ 6， 6） 6、已知函数 y=ax2+bx+c,图象如图所示，则 下列结论中正确的有（ ）个 abc a c b a+b+c c b A B C D 7、函数 y=ax2-bx+c（ a 0）的图象过点（ -1， 0），则 cba = cab = bac 的值是（ ） A -1 B 1 C 21 D -21 8、已知一次函数 y= ax+c 与二次函数 y=ax2+bx+c（ a 0），它们在同一坐标系内的大致图
3、象是图中的（ ） A B C D 二填空题： 13、无论 m 为任何实数，总在抛物线 y=x2 2mx m 上的点的坐标是 。 16、若抛物线 y=ax2+bx+c（ a 0）的对称轴为直线 x，最小值为，则关于方程 ax2+bx+c的根为 。 17、抛物线 y=（ k+1） x2+k2-9 开口向下，且经过原点，则 k 解答题： （二次函数与三角形） 1、 已知：二次函数 y= x2+bx+c，其图象对称轴为直线 x=1，且经过点（ 2， ） （ 1）求此二次函数的解析式 （ 2）设该图象与 x轴交于 B、 C 两 点（ B点在 C点的左侧），请在此二次函数 x轴下方的图象上确定一点 E，使
4、 EBC 的面积最大，并求出最大面积 1 1 0 x y y x 0 -1 x y x y x y x y 2 2、如图，在平面直角坐标系中，抛物线与 x 轴交于 A、 B 两点（ A 在 B 的左侧），与 y轴交于点 C (0， 4)，顶点为（ 1， 92） （ 1）求抛物线的函数表达式； （ 2）设抛物线的对称轴与轴交于点 D，试在对称轴上找出点 P，使 CDP 为等腰三角形，请直接写出满足条件的所有点 P 的坐标 （ 3）若点 E 是线段 AB 上的一个动点（与 A、 B 不重合），分别连接 AC、 BC，过点 E作 EF AC 交线 段 BC 于点 F，连接 CE，记 CEF 的面积为
5、 S， S 是否存在最大值？若存在，求出 S 的最大值及此时 E 点的坐标；若不存在，请说明理由 3、如图，一次函数 y 4x 4 的图象与 x 轴、 y 轴分别交于 A、 C 两点，抛物线 y 43x2 bxc 的图象经过 A、 C 两点，且与 x 轴交于点 B （ 1）求抛物线的函数表达式； （ 2）设抛物线的顶点为 D，求四边形 ABDC 的面积； （ 3）作直线 MN 平行于 x 轴，分别交线段 AC、 BC 于点 M、 N问在 x 轴上是否存在点 P，使得 PMN 是等腰直角三角形？如果存在 ，求出所有满足条件的 P 点的坐标；如果不存在，请说明理由 （二次函数与四边形） 4、已知抛
6、物线 217222y x m x m (1)试说明：无论 m 为何实数，该抛物线与 x 轴总有两个不同的交点； (2)如图，当该抛物线的对称轴为直线 x=3 时，抛物线的顶点为点 C，直线 y=x 1 与抛物线交于 A、 B 两点，并与它的对称轴交于点 D 抛物线上是否存在一点 P 使得四边形 ACPD 是正方形？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，说明理由； 平移直线 CD，交直线 AB 于点 M，交抛物线于点 N，通过 怎样的平移能使得 C、 D、 M、 N 为顶点的四边形是平行四边形 B x y O (第 2 题图 ) C A D B x y O (第 3 题图 ) C A 3 C O
7、 A y x D B C O A y x D B M N l:x n 5、如图，抛物线 y mx2 11mx 24m (m 0) 与 x 轴交于 B、 C 两点（点 B 在点 C 的左侧），抛物线另有一点 A 在第一象限内，且 BAC 90 （ 1）填空： OB _ ， OC _ ； （ 2）连接 OA，将 OAC 沿 x 轴翻折后得 ODC，当四边形 OACD 是菱形时，求此时抛物线的解析式； （ 3）如图 2，设垂直于 x 轴的直线 l： x n 与（ 2）中所求的抛物线交于点 M，与 CD 交于点 N，若直线 l 沿 x 轴方向左右平移，且交点 M 始终位于抛物线上 A、 C 两点之间时
8、，试探究：当 n 为何值时，四边形 AMCN 的面积取得最大值，并求出这个最大值 6、如图所示，在平面直角坐标系中，四边形 ABCD 是直角梯形， BC AD， BAD=90， BC 与 y 轴相交于点 M，且 M 是BC 的中点， A、 B、 D 三点的坐标分别是 A（ 1 0， ）， B（ 1 2， ）， D（ 3， 0）连接 DM，并把线段 DM 沿 DA 方向平移到 ON若抛物线 2y ax bx c 经过点 D、 M、 N （ 1）求抛物线的解析式 （ 2）抛物线上是否存在点 P，使得 PA=PC，若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 （ 3）设抛物线与 x 轴的另一个交
9、点为 E，点 Q 是抛物线的对称轴上的一个动点，当点 Q 在什么位置时有 |QE-QC|最大？并求出最大值 4 7、已知抛物线 2 2 3 ( 0 )y a x a x a a 与 x轴交于 A、 B 两点（点 A 在点 B 的左侧），与 y 轴交于点 C，点 D 为抛物线的顶点（ 1）求 A、 B 的坐标 ； （ 2）过点 D 作 DH 丄 y 轴于点 H，若 DH=HC，求 a 的值和直线 CD 的解析式； （ 3）在第（ 2）小题的条件下，直线 CD 与 x 轴交于点 E，过线段 OB 的中点 N 作 NF 丄 x 轴，并交直线 CD 于点 F，则直线NF 上是否存在点 M，使得点 M
10、到直线 CD 的距离等于点 M 到原点 O 的距离？若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由 （二次函数与圆） 8、 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=ax2+bx+c（ a0）的图象经过 M（ 1， 0）和 N（ 3， 0）两点，且与 y 轴交于 D（ 0， 3），直线 l 是抛物 线的对称轴 1）求该抛物线的解析式 2）若过点 A（ 1， 0）的直线 AB 与抛物线的对称轴和 x轴围成的三角形面积为 6，求此直线的解析式 3）点 P 在抛物线的对称轴上， P 与直线 AB 和 x轴都相切，求点 P 的坐标 5 9、如图， y 关于 x 的二次函数 y= （ x+m）（ x 3m
11、）图象的顶点为 M，图象交 x轴于 A、 B 两点，交 y 轴正半轴于 D 点以 AB 为直径作圆，圆心为 C定点 E 的坐标为（ 3， 0），连接 ED（ m 0） （ 1）写出 A、 B、 D 三点的坐标； （ 2）当 m 为何值时 M 点在直线 ED 上？判定此时直线与圆的位置关系； （ 3）当 m 变化时，用 m 表示 AED 的面积 S，并在给出的直角坐标系中画出 S 关于 m的函数图象的示意图 。 10、已知抛物线 2y ax bx c 的对称轴为直线 2x ，且与 x轴交于 A、 B 两点与 y 轴交于点 C其中 AI(1， 0)， C(0，3 ) （ 1）（ 3 分）求抛物线的
12、解析式； （ 2）若点 P 在抛物线上运动（点 P 异于点 A） （ 4 分）如图 l当 PBC 面积与 ABC 面积相等时求点 P 的坐标； （ 5 分）如图 2当 PCB= BCA 时，求直线 CP 的解析式。 答案： 6 1、 解： （ 1）由已知条件得 ，（ 2分） 解得 b= ， c= ， 此二次函数的解析式为 y= x2 x ；（ 1 分） （ 2） x2 x =0， x 1= 1， x2=3， B（ 1， 0）， C（ 3， 0）， BC=4 ，（ 1分） E 点在 x轴下方，且 EBC 面积最大， E 点是抛物线的顶点，其坐标为（ 1， 3），（ 1分） EBC 的面积 = 4
13、3=6 （ 1 分） 2、 （ 1） 抛物线的顶点为（ 1， 92） 设 抛物线的函数关系式为 y a ( x 1) 2 92 抛物线与 y 轴交于点 C (0， 4)， a (0 1) 2 92 4 解得 a 12 所求抛物线的函数关系式为 y 12( x 1) 2 92 （ 2） 解： P1 (1， 17)， P2 (1， 17)， P3 (1， 8)， P4 (1， 178 )， （ 3） 解：令 12( x 1) 2 92 0，解得 x1 2， x1 4 抛物线 y 12( x 1) 2 92与 x 轴 的交点为 A ( 2， 0) C (4， 0) 过点 F 作 FM OB 于点 M
14、， EF AC， BEF BAC， MFOC EBAB 又 OC 4， AB 6， MF EBAB OC 23EB 设 E 点坐标为 (x， 0)，则 EB 4 x， MF 23 (4 x) S S BCE S BEF 12 EB OC 12 EB MF 12 EB(OC MF) 12 (4x)4 23 (4 x) 13x2 23x 83 13( x 1) 2 3 a 13 0， S 有最大值 当 x 1 时， S 最大值 3 此时点 E 的坐标为 (1， 0) 3、 （ 1） 一次函数 y 4x 4 的图 象与 x 轴、 y 轴分别交于 A、 C 两点， A ( 1， 0) C (0， 4)
15、 把 A ( 1， 0) C (0， 4)代入 y 43x2 bx c 得 43 b c 0c 4解得 b 83c 4 y 43x2 83x 4 （ 2） y 43x2 83x 4 43( x 1) 2 163 顶点为 D（ 1， 163 ） 设直线 DC 交 x 轴于点 E 由 D（ 1， 163 ） C (0， 4) 易求直线 CD 的解析式为 y 43x 4 易求 E（ 3， 0）， B（ 3， 0） S EDB 12 6 163 16 S ECA 12 2 4 4 S 四边形 ABDC S EDB S ECA 12 （ 3） 抛物线的对称轴为 x 1 做 BC 的垂直平分线交抛物线于
16、E，交对称轴于点 D3 易求 AB 的解析式为 y 3x 3 D3E 是 BC 的垂直平分线 D3E AB 设 D3E 的解析式为 y 3x b D3E 交 x 轴于（ 1， 0）代入解析式得 b 3, y 3x 3 把 x 1 代入得 y 0 D3 ( 1， 0), 过 B 做 BH x 轴，则 BH 1 11 B x y O (第 3 题图 ) C A D E B x y O (第 3 题图 ) C A P M N 7 在 Rt D1HB 中，由勾股定理得 D1H 11 D1（ 1， 11 3）同理可求其它点的坐标。 可求交点坐标 D1（ 1， 11 3） , D2（ 1， 2 2） ,
17、D3 ( 1， 0), D4 ( 1, 11 3)D5（ 1， 2 2） 4、 (1) = 2 174222mm = 2 47mm= 2 4 4 3mm = 223m， 不管 m 为何实数，总有 22m 0， = 223m 0， 无论 m 为何实数，该抛物线与 x 轴总有两个不同的交点 (2) 抛物线的对称轴为直线 x=3， 3m ， 抛物线的解析式为 215322y x x = 21 322 x， 顶点 C 坐标为（ 3， 2）， 解方程组21,15322yxy x x ，解得 1110xy 或 2276xy ， 所以 A 的坐标为（ 1， 0）、 B 的 坐标为（ 7， 6）， 3x 时y
18、=x 1=3 1=2， D 的坐标为（ 3， 2），设抛物线的对称轴与 x 轴的交 点为 E，则 E 的坐标为（ 3， 0），所以 AE=BE=3，DE=CE=2， 假设抛物线上存在一点 P 使得四边形 ACPD 是正方形，则 AP、 CD 互相垂直 平分且相等，于是 P 与点 B 重合，但 AP=6， CD=4， AP CD，故 抛物线上 不存在 一点P 使得四边形 ACPD 是正方形 ( )设直线 CD 向右平移 n 个单位（ n 0）可使得 C、 D、 M、 N 为顶点的四边形是平行四边形，则直线 CD 的解析式为 x=3 n ， 直线 CD 与直线 y=x 1 交于点 M（ 3 n ，
19、 2 n ），又 D 的坐标为（ 3， 2）， C 坐标为（ 3， 2）， D 通过向下平移 4 个单位得到 C C、 D、 M、 N 为顶点的四边形是平行四边形，四边 形 CDMN 是平行四边形或四边形 CDNM 是平行四边形 （）当 四边形 CDMN 是平行四边形， M 向下平移 4 个单位得 N， N 坐标为（ 3 n ， 2n ）， 又 N 在抛物线 215322y x x 上， 2152 3 3 322n n n ， 解得 1 0n （不合题意，舍去）， 2 2n ， （）当 四边形 CDNM 是平行四边形， M 向上平移 4 个单位得 N， N 坐标为（ 3 n ， 6n ）， 又
20、 N 在抛物线 215322y x x 上， 2156 3 3 322n n n ， 解得 1 1 17n （不合题意，舍去）， 2 1 17n ， ( ) 设直线 CD 向左平移 n 个单位（ n 0）可使得 C、 D、 M、 N 为顶点的四边形是平行四边形，则直线 CD 的解析式为x=3 n ， 直线 CD 与直线 y=x 1 交于点 M（ 3 n ， 2 n ），又 D 的坐标为（ 3， 2）， C 坐标为（ 3， 2）， D 通过向下平移 4 个单位得到 C C、 D、 M、 N 为顶点的四边形是平行四边形，四边形 CDMN 是平行四边形或四边形 CDNM 是平行四边形 （）当 四边形
21、 CDMN 是平行四边形， M 向下平移 4 个单位得 N， N 坐标为（ 3 n ， 2 n ）， 又 N 在抛物线 215322y x x 上， 2152 3 3 322n n n ， 解得 1 0n （不合题意，舍去）， 2 2n （不合题 意，舍去）， （）当 四边形 CDNM 是平行四边形， M 向上平移 4 个单位得 N， N 坐标为（ 3 n ， 6n ）， 又 N 在抛物线 215322y x x 上， 2156 3 3 322n n n ， 解得 1 1 17n ， 2 1 17n （不合题意，舍去）， 8 C O A y x D B E C O A y x D B M N
22、l:x n E 综上所述， 直线 CD 向右平移 2 或（ 1 17 ）个单位或向左平移（ 1 17 ）个单位，可使得 C、 D、 M、 N 为顶点的四边形是平行四边形 5、解： （ 1） OB 3， OC 8 （ 2） 连接 OD，交 OC 于点 E 四边形 OACD 是菱形 AD OC， OE EC 12 8 4 BE 4 3 1 又 BAC 90， ACE BAE AEBE CEAE AE2 BE CE 1 4 AE 2 点 A 的坐标为 (4， 2) 把点 A 的坐标 (4， 2)代入抛物线 y mx2 11mx 24m， 得 m 12 抛物线 的解析式为 y 12x2 112 x 1
23、2 （ 3） 直线 x n 与抛物线交于点 M 点 M 的坐标为 (n， 12n2 112 n 12) 由（ 2）知，点 D 的坐标为（ 4， 2）， 则 C、 D 两点的坐标求直线 CD 的解析式为 y 12x 4 点 N 的坐标为 (n， 12n 4) MN（ 12n2 112 n 12）（ 12n 4） 12n2 5n 8 S 四边形 AMCN S AMN S CMN 12MN CE 12（ 12n2 5n 8） 4 (n 5)2 9 当 n 5 时， S 四边形 AMCN 9 6、 解： （ 1） BC AD， B（ -1， 2）， M是 BC 与 x轴的交点， M（ 0， 2）， D
24、M ON， D（ 3， 0）， N（ -3， 2），则9 3 029 3 0a b cca b c ，解得19132abc ， 211 293y x x ； （ 2） 连接 AC 交 y轴与 G， M是 BC 的中点， AO=BM=MC， AB=BC=2， AG=GC，即 G（ 0， 1）， ABC=90， BG AC，即 BG 是 AC 的垂直平分线，要使 PA=PC，即点 P 在 AC 的垂直平分线上，故 P 在直线 BG 上， 点 P 为直线 BG 与抛物线的交点， 设直线 BG 的解析式为 y kx b，则 21kbb ，解得 11kb ， 1yx ， 2111 293yxy x x
25、，解得 113 3 22 3 2xy ， 223 3 22 3 2xy ， 点 P（ 3 3 2 2 3 2 ， ）或 P（ 3-3 2 2 3 2 ， ）， （ 3） 221 1 1 3 92 ( )9 3 9 2 4y x x x ， 对称轴 32x ， 令 211 2093xx ，解得 1 3x ， 2 6x ， E（ 6 ， 0）， 故 E、 D 关于直线 32x 对称， QE=QD， |QE-QC|=|QD-QC|， 要使 |QE-QC|最大，则延长 DC 与 32x 相交于点 Q，即点 Q 为直线 DC 与9 直线 32x的交点， 由于 M为 BC 的中点， C（ 1， 2），设直
26、线 CD 的解析式为 y=kx+b， 则 302kbkb ，解得 13kb ， 3yx ， 当 32x 时， 39322y ，故当 Q 在（ 39 22 ， ）的位置时， |QE-QC|最大， 过点 C 作 CF x轴，垂足为 F，则 CD= 2 2 2 22 2 2 2CF D F 7、 解：（ 1） 由 y=0 得， ax2-2ax-3a=0， a0， x2-2x-3=0， 解得 x1=-1， x2=3， 点 A的坐标（ -1， 0），点 B 的坐标（ 3， 0）； （ 2） 由 y=ax2-2ax-3a，令 x=0，得 y=-3a， C（ 0， -3a）， 又 y=ax2-2ax-3a=
27、a（ x-1） 2-4a， 得 D（ 1， -4a）， DH=1， CH=-4a-（ -3a） =-a， -a=1， a=-1， C（ 0， 3）， D（ 1， 4）， 设直线 CD 的解析式为 y=kx+b，把 C、 D 两点的坐标代入得， ，解得 ， 直线 CD 的解析式为 y=x+3； （ 3） 存在 由（ 2）得， E（ -3， 0）， N（ - ， 0） F（ ， ）， EN= ， 作 MQ CD 于 Q，设存在满足条件的点 M（ ， m），则 FM= -m， EF= = ， MQ=OM= 由题意得： Rt FQM Rt FNE， = ，整理得 4m2+36m-63=0， m2+9m
28、= ， m2+9m+ = + （ m+ ） 2= m+ = m1= ， m2=- ， 点 M的坐标为 M1（ ， ）， M2（ ， - ） 8、 解： （ 1） 抛物线 y=ax2+bx+c（ a0）的图象经过 M（ 1， 0）和 N（ 3， 0）两点，且与 y 轴交于 D（ 0， 3）， 假设二次函数解析式为： y=a（ x 1）（ x 3）， 将 D（ 0， 3），代入 y=a（ x 1）（ x 3），得： 3=3a， a=1， 抛物线的解析式为： y=（ x 1）（ x 3） =x2 4x+3； （ 2） 过点 A（ 1， 0）的直线 AB 与抛物线的对称轴和 x轴围成的三角形面积为 6
29、， ACBC=6， 抛物线 y=ax2+bx+c（ a0）的图象经过 M（ 1， 0）和 N（ 3， 0）两点， 二次函数对称轴为 x=2， AC=3， BC=4， B 点坐标为：（ 2， 4），一次函数解析式为； y=kx+b， ，解得： ， y= x+ ； （ 3） 当点 P 在抛物线的对 称轴上， P 与直线 AB 和 x轴都相切， MO AB， AM=AC， PM=PC， AC=1+2=3， BC=4， AB=5， AM=3， BM=2， MBP= ABC， BMP= ACB， 10 xyOA BCEPP2P3第 24 题 图 1 ABC CBM， ， ， PC=1.5， P 点坐标为
30、：（ 2， 1.5） 9、 解： （ 1） A（ m， 0）， B（ 3m， 0）， D（ 0， m） （ 2） 设直线 ED 的解析式为 y=kx+b，将 E（ 3， 0）， D（ 0， m）代入得： 解得， k= ， b= m 直线 ED 的解析式为 y= mx+ m 将 y= （ x+m）（ x 3m）化为顶点式： y= （ x+m） 2+ m 顶点 M 的坐标为（ m， m）代入 y= mx+ m 得： m2=m m 0， m=1所以，当 m=1 时， M 点在直线 DE 上连接 CD， C 为 AB 中点， C 点坐标为 C（ m， 0） OD= ， OC=1， CD=2， D 点在
31、圆上 又 OE=3， DE2=OD2+OE2=12， EC2=16， CD2=4， CD2+DE2=EC2 FDC=90 直线 ED 与 C 相切 （ 3） 当 0 m 3 时， S AED= AE OD= m（ 3 m） S= m2+ m 当 m 3 时， S AED= AE OD= m（ m 3） 即 S= m2_ m 10、解： （ 1） 由题意，得0322abccba ，解得143abc抛物线的解析式为 2 43y x x 。 （ 2） 令 2 4 3 0xx ，解得 1213xx， B（ 3, 0） 当点 P 在 x轴上 方时，如图 1，过点 A 作直线 BC 的平行线交抛物线于点 P， 易求直线 BC 的解析式为 3yx ，设直线 AP 的解析式为 y x n ， 直线 AP 过点 A（ 1,0），代入求得 1n 。直线 AP 的解析式为 1yx
