1、 1 直线与圆锥曲线的位置关系练习题 一、选择题 1 双曲线 C： x2a2y2b2 1(a 0， b 0)的右焦点为 F，直线 l 过焦点 F，且斜率为 k，则直线l 与双曲线 C 的左、右两支都相交的充要条件是 ( ) A k ba B k ba C k ba或 k ba D ba k ba 2 若直线 mx ny 4 与 O： x2 y2 4 没有交点，则过点 P(m， n)的直线与椭圆 x29y24 1的交点个数是 ( ) A 至多为 1 B 2 C 1 D 0 3 斜率为 1 的直线 l 与椭圆 x24 y2 1 相交于 A、 B 两点，则 |AB|的最大值为 ( ) A 2 B.
2、4 55 C.4 105 D.8 105 4 设双曲线 x2a2y2b2 1(a 0， b 0)的一条渐近线与抛物线 y x2 1 只有一个公共点，则双曲线的离心率为 ( ) A.54 B 5 C. 52 D. 5 5 已知 A， B 为抛物线 C： y2 4x 上的两个不同的点， F 为抛物线 C 的焦点，若 FA 4FB ，则直线 AB 的斜率为 ( ) A 23 B 32 C 34 D 43 6.过点 (0,2)与抛物线 y2 8x 只有一个公共点的直线有 ( C ) A 1 条 B 2 条 C 3 条 D无数条 7.直线 y kx k 1 与椭圆 x29y24 1 的位置关系为 ( A
3、 ) A相交 B相切 C相离 D不确定 8.已知双曲线 x2a2y2b2 1(a0， b0)的右焦点为 F，若过点 F 且倾斜角为 60的直线与双曲线的右支有两个交点，则此双曲线 离心率的取值范围是 ( A ) A (1,2) B (1,2 C 2， ) D (2， ) 9.过抛物线 y2 4x 的焦点 F 的直线交抛物线于 A， B两点，点 O 是原点，若 |AF| 3，则 AOB的面积为 ( C ) A. 22 B. 2 C.3 22 D 2 2 10已知对 k R，直线 y kx 1 0 与椭圆 x25y2m 1 恒有公共点，则实数 m 的取值范围是( ) A (0, 1) B (0,5
4、) C 1,5) (5， ) D 1,5) 2 11直线 l： y x 3 与曲线 y29x| x|4 1 交点的个数为 ( ) A 0 B 1 C 2 D 3 12已知双曲线 x2a2y2b2 1(a 0， b 0)的右焦点为 F，若过点 F 且倾斜角为 60的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是 ( ) A (1,2) B ( 1,2) C (2， ) D 2， ) 13斜率为 1 的直线 l 与椭圆 x24 y2 1 交于不同两点 A、 B，则 |AB|的最大值为 ( ) A 2 B. 4 55 C.4 105 D.8 105 14设离心率为 e 的双曲线 C
5、： x2a2y2b2 1(a 0， b 0)的右焦点为 F，直线 l 过焦点 F，且斜率为 k，则直线 l 与双曲线 C 的左、右两支都相交的充要条件是 ( ) A k2 e2 1 B k2 e2 1 C e2 k2 1 D e2 k2 1 二、填空题 1 直线 y kx 1 与椭圆 x25y2m 1 恒有公共点，则 m 的取值范围是 _ 2 已知 (4， 2)是直线 l 被椭圆 x236y29 1 所截得的线段的中点，则 l 的方程是 _ 3 (2013汕头模拟 )已知点 P 在直线 x y 5 0 上，点 Q 在抛物线 y2 2x 上，则 |PQ|的最小值等于 _ 4.若椭圆 x23y2m
6、 1 与直线 x 2y 2 0 有两个不同的交点，则 m 的取值范围是 . 5.已知两定点 M( 2,0)， N(2,0)，若直线上存在点 P，使得 |PM| |PN| 2，则称该直线为 “ A型直线 ” ，给出下列直线： y x 1； y 3x 2； y x 3； y 2x.其中是 “ A型直线 ” 的序号是 . 三、解答题 1设 F1， F2分别是椭圆 E： x2 y2b2 1(0b0)的左、右顶点分别为 A， B，点 P 在椭圆上且异于 A， B 两点， O为坐标原点 (1)若直线 AP 与 BP 的斜率之积为 12，求椭圆的离心率； (2)若 |AP| |OA|，证明直线 OP 的斜率
7、 k 满足 |k| 3. 4 4.已知 i， j 是 x， y 轴正方向的单位向量，设 a xi (y 1)j， b xi (y 1)j， 且满足 |a| |b| 2 2. (1)求点 P(x， y)的轨迹 C 的方程； (2)设点 F(0,1)，点 A， B， C， D 在曲线 C 上，若 AF与 FB共线， CF与 FD共线， 且 AFCF 0.求四边形 ACBD 的面积的最小值和最大值 5 (2013佛山质检 )在平面 直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C： x23 y2 1.如图 8 9 3 所示，斜率为 k(k 0)且不过原点 的直线 l 交椭圆 C 于 A， B 两点，线段 AB
8、的中点为 E，射线 OE交椭圆 C 于点 G，交直线 x 3 于点 D( 3， m) (1)求 m2 k2的最小值； (2)若 |OG|2 |OD|OE|，求证：直线 l 过定点 5 直线与圆锥曲线的位置关系练习题 解析及答案 一、选择题 1 【解析】 由双曲线的几何意义， ba k ba.【答案】 D 2 【解析】 由题意知： 4m2 n2 2，即 m2 n2 2， 点 P(m， n)在椭圆 x29y24 1 的内部，因此直线与椭圆有 2 个交点 【答案】 B 3 【解析】 设椭圆与直线相交于 A(x1， y1)， B(x2， y2)两点， 由x2 4y2 4，y x t. 消去 y，得 5
9、x2 8tx 4(t2 1) 0，则有 x1 x285t， x1x24（ t2 1）5 . |AB| 1 k2|x1 x2| 2 （ 85t） 2 4 4（ t2 1）5 4 25 5 t2， 当 t 0 时， |AB|max 4 105 .【答案】 C 4 【解析】 双曲线 x2a2y2b2 1 的一条渐近线为 ybax， 由方程组y bax，y x2 1消去 y 得， x2 bax 1 0 有唯一解，所以 (ba)2 4 0， ba 2， e ca a2 b2a 1（ba）2 5.【答案】 D 5 【解析】 焦点 F(1， 0)，直线 AB 的斜率必存在，且不为 0. 故可设直线 AB 的
10、方 程为 y k(x 1)(k 0)，代入 y2 4x 中化简得 ky2 4y 4k 0. 设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则 y1 y2 4k， y1y2 4， 又由 FA 4FB 可得 y1 4y2， 联立 式解得 k 43.【答案】 D 6、 解析： 易知 y 轴与抛物线切于原点满足条件；直线 y 2 与抛物线的对称轴平行也满足条件；另外画出图形，易知有一条直线与抛物线切于 x 轴上方，故这样的直线有 3 条选C. 7. 选 A. 8、 解析： 双曲线渐近线斜率小于直线的斜率，即 ba0 64m2 4m4m 30，解得 143. 5 解析： 由条件知考虑给出直线与双曲线 x
11、2 y23 1 右支的交点情况，作图易知 直线与双曲线右支有交点，故填 . 三、解答题 1 解： (1)由椭圆定义知 |AF2| |AB| |BF2| 4， 又 2|AB| |AF2| |BF2|，得 |AB| 43. (2)l 的方程为 y x c，其中 c 1 b2. 设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则 A， B 两点坐标满足方程组 y x c，x2 y2b2 1，化简得 (1 b2)x2 2cx 1 2b2 0.则 x1 x2 2c1 b2， x1x2 1 2b21 b2 . 因为直线 AB 的斜率为 1，所以 |AB| 2|x2 x1|，即 43 2|x2 x1|. 则
12、89 (x1 x2)2 4x1x2 41 b21 b2241 2b21 b2 8b41 b22，解得 b22 . 2 解： (1)设抛物线 C 的方程为 y2 2mx，由 4x y 20 0，y2 2mx， 得 2y2 my 20m 0. 0， m0 或 mb0，故 (1 k2)24k2 4，即 k2 14，因此 k23，所以 |k| 3. 4.解析： (1) |a| |b| 2 2， x2 y 12 x2 y 12 2 2. 由椭圆的定义可知，动点 P(x， y)的轨迹是以点 F1(0， 1)， F2(0,1)为焦点，以 2 2为长轴的椭圆 点 P(x， y)的轨迹 C 的方程为： x2 y
13、22 1. (2)由条件知 AB 和 CD 是椭圆的两条弦，相交于焦点 F(0,1)，且 AB CD，直线 AB、CD 中至少有一条存在斜率，不妨设 AB 的斜率为 k，又 AB 过点 F(0,1)，故 AB 的方程为 y kx 1，将此式代入椭圆方程得 (2 k2)x2 2kx 1 0，设 A、 B 两点的坐标分别为 (x1， y1)，(x2， y2)，则 x1 k 2k2 22 k2 ， x2 k 2k2 22 k2 ， 从而 |AB|2 (x1 x2)2 (y1 y2)2 81 k222 k22 ，亦即 |AB|2 21 k22 k2 . 9 当 k 0 时， CD 的斜率为 1k，同上
14、 可推得 |CD|2 2 1 1k 22 1k 2， 故四边形 ABCD 面积 S 12|AB|CD| 1281 k2 1 1k22 k2 2 1k24 2 k2 1k25 2k2 2k2. 令 u k2 1k2，得 S 42 u5 2u 2 1 15 2u . u k2 1k2 2，当 k 1 时 u 2， S 169 ，且 S 是以 u 为自变量的增函数， 169 S 2. 当 k 0 时， CD 为椭圆长轴， |CD| 2 2， |AB| 2， S 12|AB|CD| 2. 故四边形 ABCD 面积的最小值和最大值分别为 169 ， 2. 5 【解】 (1)设直线 l 的方程为 y kx
15、 t(k 0)由题意知 t 0. 由方程组y kx t，x23 y2 1， 得 (3k2 1)x2 6ktx 3t2 3 0.由题意知 0，所 以 3k2 1 t2. 设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，由根与系数的关系，得 x1 x2 6kt3k2 1， 所以 y1 y2 2t3k2 1.所以 xE 3kt3k2 1， yE t3k2 1， 此时 kOE yExE 13k.所以 OE 所在直线的方程为 y 13kx. 由题意知 D( 3， m)在直线 OE 上，所以 m 1k，即 mk 1， 所以 m2 k2 2mk 2，当且仅当 m k 1 时等号成立此时由 0，得 0 t 2.
16、 因此当 m k 1 且 0 t 2 时， m2 k2 取最小值 2. (2)证明 由 (1)知 OD 所在直线的方程为 y 13kx，将其代入椭圆 C 的方程，并由 k 0， 解得 G( 3k3k2 1， 13k2 1)又 E( 3kt3k2 1， t3k2 1)， D( 3， 1k)， 由距离公式及 t 0，得 |OG|2 ( 3k3k2 1)2 ( 13k2 1)2 9k2 13k2 1， |OD| （ 3） 2（ 1k） 2 9k2 1k ， |OE| （ 3kt3k2 1） 2（ t3k2 1） 2 t 9k2 13k2 1 . 由 |OG|2 |OD|OE|，得 t k.因此直线 l 的方程为 y k(x 1) 所以直线 l 恒过定点 ( 1， 0)
