1、 1 .函数与方程复习讲义 一【目标要求】 结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系， 判断一元二次方程根的存在性及根的个数 会理解函数零点存在性定理，会判断函数零点的存在性 . 二【基础知识】 1函数零点的概念： 对于函数 )(xfy ，我们把方程 0)( xf 的实数根叫做函数 )(xfy 的零点。 2函数零点与方程根的关系： 方程 0)( xf 有实数根 函数 )(xfy 的图象与 x轴 有点 函数 )(xfy 有 零点 3函数零点的存在性定理： 如果函数 )(xfy 在区间 ,ab 上的图像是一条连续不断的曲线，并且有 0)()( bfaf ，那么，函数 )(xfy 在区间 ,
2、ab 内有零点，即存在 ),(0 bax ，使得0)( 0 xf ，这个 0x 也就是方程 0)( xf 的根。 注：若 ( ) 0 ( ) 0f x f x或 恒成立，则没有零点。 三【技巧平台】 1.对函数零点的理解及补充 （ 1）若 )(xfy 在 xa 处其函数值为 0，即 ( ) 0fa ，则称 a 为函数 ()fx的零点。 （ 2）变号零点与不变号零点 若函数 ()fx在零点 0x 左右两侧的函数值异号，则称该零点为函数 ()fx 的变号零点。 若函数 ()fx在零点 0x 左右两侧的函数值同号，则称该零点为函数 ()fx的不变号零点。 若函数 ()fx在区间 ,ab 上的图像是一
3、条连续的曲线，则 0)()( bfaf 是 ()fx在区间 ,ab 内有零点 的充分不必要条件。 （ 3）一般结论：函数 )(xfy 的零点就是方程 0)( xf 的实数根。从图像上看，函数)(xfy 的零点，就是它图像与 x轴 交点的横坐标。 （ 4）更一般的结论：函数 ( ) ( ) ( )F x f x g x的零点就是方程 ( ) ( )f x g x 的实数根，也 就是函数 ()y f x 与 ()y gx 的图像交点的横坐标。 2 2.函数 )(xfy 零点个数（或方程 0)( xf 实数根的个数）确定方法 1) 代数法：函数 )(xfy 的零点 ( ) 0fx的根 2) 几何法：
4、有些不容易直接求出的函数 )(xfy 的零点或方程 0)( xf 的根，可利用)(xfy 的图像和性质找出零点。画 3) 注意二次函数的零点个数问题 0 )(xfy 有 2 个零点 ( ) 0fx有两个不等实根 0 )(xfy 有 1 个零点 ( ) 0fx有两个相等实根 0 )(xfy 无零点 ( ) 0fx无实根 对于二次函数在区间 ,ab 上的零点个数，要结合图像进行确定 4) 对于函数 ( ) ( ) ( )F x f x g x的零点个数问题，可画出两个函数图像，看其交点个数有几个，则这些交点横坐标有几个不同的值就有几个零点。 5) 方程的根或函数零点的存在性问题，要以根据区间端点处
5、的函数值乘积的正负来 确定，但要确定零点的个数还需进一步研究函数在区间上的单调性，在给定的区间上，如果函数是单调的，它至多有一个零点，如果不是单调的，可继续细分出小的单调区间，再结合这些小的区间的端点处的函数值的正负，作出正确的判断。 6) 要特别注意数形结合解出方程解的个数的问题。 3.一元二次函数的零点、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集之间的关系。 3 为学习的方便，在解一元二次不等式 和一元二次方程时，把二次项系数 a 化为正数， （ 1） 2 0 ( 0 )ax bx c a 恒成立 00a， 2 0 ( 0 )ax bx c a 恒成立 00a（ 2） 2 0ax bx c 的
6、解集为 R 00a a bc 或2 0ax bx c 的解集为 R 00a a bc 或（ 3）对于二次函数在区间 ,ab 上的最值问题 ，参照第 1.5（ 1） 和 1.5（ 2）节 4.用二分法求方程的近似解 给定精确度 ，用二分法求方程的近似解的基本步骤如下： 1.精确区间 ,ab D ，使 ( ) ( 0)f a f b.令 00,a a b b. 2.取区间 00,ab 的中点0 0 01 ()2x a b,计算 0 0 0( ), ( ), ( )f x f a f b 一般步骤 (1)如果 0( ) 0fx ,则 0x 就是 ()fx的零点 , 计算终止； (2) 如果 00(
7、) ( ) 0f a f x ,则零点位于区间 00,ax ,令 1 0 1 0,a a b x； (3) 如果 00( ) ( ) 0f a f x ,则零点位于区间 00,xb 令 1 0 1 0,a x b b。 3. 取区间 11,ab 的中点1 1 11 ()2x a b,计算 1()fx (1)如果 1( ) 0fx ,则 0x 就是 ()fx的零点 , 计 算终止； (2) 如果 11( ) ( ) 0f a f x ,则零点位于区间 00,ax ,令 2 1 2 1,a a b x； (3) 如果 11( ) ( ) 0f a f x ,则零点位于区间 00,xb 令 1 1
8、2 1,a x b b。 4判断是不是达到精确度 ,即如果 ab,则得到零点近似值 a 或 (b)； 否则就重复步骤 2-4 函数与方程复习题 1.(2015 安徽 2)下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（ ） （ A）y cosx（ B）y sinx（ C）y l（ D）2 1yx【答案】 A 4 2.( 2015 天津 8)已知函数 22 , 2 ,2 , 2 ,xxfx xx 函数 2g x b f x ，其中bR，若函数 y f x g x恰有 4 个零点，则 b的取值范围是 ( ) （ A）7,4（ B）7,4（ C）70,4（ D）,2【答案】 D【解析】 由 22 , 2 ,2
9、 , 2 ,fx 得22 2 , 0( 2 ),0xxxx ， 所以222 , 0( ) ( 2 ) 4 2 , 0 22 2 ( 2 ) , 2x x xy f x f x x x xx x x ， 即222 , 0( ) ( 2 ) 2 , 0 25 8 , 2x x xy f x f x xx x x ( ) ( ) ( ) ( 2 )y f x g x f x f x b ,所以 y f x g x恰有 4 个零点等价于方程 ( ) ( 2 ) 0f x f x b 有 4 个不同的解，即函数yb与函数( ) (2 )y f x f x的图象的 4 个公共点，由图象可知7 24 b.
10、8642246815 10 5 5 10 15【考点定位】 求函数解析、函数与方程思、数形结合 . 3.(2015 湖南 15)已知32,() ,x x afx x x a ，若存在实数 b，使函数( ) ( )g x f x b有两个零5 点，则 a的取 值范围是 . 【答案】),1()0,( . 【解析】试题分析：分析题意可知，问题等价于方程)(3 axbx 与方程)(2 axbx 的 根的个数和为 2，若两个方程各有一个根：则可知关于b的不等式组ababab31有解， 23a b a，从而1a；若方程)(3 axbx 无解，方程)(2 axbx 有 2 个根：则 可知关于b的不等式组ab
11、ab31有解，从而0a，综上，实数 a的取值范围是 ),1()0,( . 4.(2015 北京 14)设函数 214 2 1.x axfx x a x a x 若 1a，则fx的最小值为 ； 若恰有 2 个零点，则实数 a的取值范围是 【答案】 (1)1， (2)1 12 a或 2. 【解析】 1a时， 2 1 14 1 2 1. x xfx x x x ，函数()fx在( ,1)上为增函数，函数值大于 1，在31,2为减函数，在 ,为增函数，当32x时， 取得最小值为 1； （ 2） 若函数( ) 2xg x a在 1x时与 x轴有一个交点，则 0a，并且当 1时，(1) 2ga0，则 02
12、a，函数( ) 4( )( 2 )h x x a x a 与 x轴有一个交点，所以21且 1aa 1 12 a； 6 若函数( ) 2xg x a与 x轴有无交点，则函数( ) 4( )( 2 )h x x a x a 与 x轴有两个交点，当 0a时()gx与 轴有无交点， 在 1与轴有无交点，不合题意；当(1) 2 0ha 时， 2a，()hx与 x轴有两个交点， xa和 2xa，由于 a，两交点横坐标均满足 1x；综上所述 a的取值范围1 12 a或 2a. 5.(2015 江苏 13)已知函数|ln|)( xxf ， 1,2|4| 10,0)( 2 xx xg，则方程 1|)()(| x
13、gxf实 根的个数为 【答案】 4【解析】由题意得：求函数()y f x与1 ( )y g x交点个数以及函数()y f x与1 ( )y g x 交点个数之和，因为221 , 0 11 ( ) 7 , 21 ,1 2xy g x x xxx ，所以函数()y f x与1 ( )y g x有两个交点，又221 , 0 11 ( ) 5 , 23 , 1 2xy g x x xxx ，所以函数y f与 1 ( )g x 有两个交点，因此共有 4 个交点 6.(2014 山东 08）已知函数 12 xxf , kxxg .若方程 xgxf 有两个不相等的实根，则实数 k 的取值范围是 （ A） ）
14、，（ 210 （ B） ），（ 121 （ C） ），（ 21 （ D） ），（ 2 【答案】 B【解析】画出 fx的图象最低点是 2,1 ， g x kx 过原点和 2,1 时斜率最小为 12 ，斜率最大时 gx的斜率与 1f x x的斜率一致。 7.(2014 天津 14）已知函数 2( ) | 3 |f x x x， xR .若方程 ( ) | 1 | 0f x a x 恰有 4 个互异的实数根，则实数 a 的取值范围为 _. 【答案】 01a . 【解析】在同一坐标系内分别作出 y f(x)与 y a|x 1|的图像如图所示当 y a|x 1| 7 与 y f(x)的图像相切时，由 a
15、x a x2 3x，a0， 整理得 x2 (3 a)x a 0，则 (3 a)2 4a a2 10a 9 0，解得 a 1 或 a 9.故当 y a|x 1|与 y f(x)的图像有四个交点时， 09. 8.(2014 江苏 13）已知 )(fx 是定义在 R 上且周期为 3 的函数，当 )3,0x 时，|212|)( 2 xxxf axf )(y 在区间 4,3 上有 10 个零点（互不相同），则实数 a 的取值范围是 【答案】 )21,0( 【解析】根据题目条件，零点问题即转化为数形结合，通过找 )(xfy 与 ay的图象交点去推出零点，先画出 0,3上 2122 xxy 的图像，再将 x
16、 轴下方的图象对称 到上方，利用周期为 3，将图象平移至 4,3 ，发现若 )(xf 图象要与 ay 有 10 个不同的交点，则 )21,0(a 9已经函数2 1( ) ( ) s i n ,23 xf x x a Raa ，则 ()fx在 0， 2 上的零点个数为 （ B ） A 1 B 2 C 3 D 4 10下列函数中，在 (0, )2 上有零点的函数是 （ D ） A ( ) sinf x x x B 2( ) sinf x x x C 2( ) sinf x x x D 2 2( ) sinf x x x 11. 设定义在 R 上的函数3,13,|3| 1)(xxxxf ，若关于 x
17、 的方程 f2(x) +af(x) +b=O 有 5个不同实数解 ,则实数 a 的取值范围是 （ D ） A.(0,1) B.(- ,-1) C.(1， + ) D. ( - ， 2) U ( 2， 1) 8 12.已知函数4()fxx与 g(x)=x3+t，若 f(x)与 g(x)的交点在直线 y = x 的两侧，则实数 t 的取值范围是 （ B ） A. (-6， 0 B. ( -6,6) C. (4,+ ) D. ( -4,4) 13 “ m 1” 是 “ 函数 f(x) x2 2x m 有零点 ” 的 （ A ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条
18、件 14设函数 f(x) 1x， g(x) ax2 bx（ a， b R， a0 ），若 y f(x)的图象与 y g(x)的图象有且仅有两个不同的公共点 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则下列判断正确的是 （ D ） A当 a 0 时， x1 x2 0， y1 y2 0 B当 a 0 时， x1 x2 0， y1 y2 0 C当 a 0 时， x1 x2 0， y1 y2 0 D当 a 0 时， x1 x2 0， y1 y2 0 15.设函数 f（ x）（ xR）满足 f（ x） f（ x）， f（ x） f（ 2 x），且当 x 0,1时，f（ x） x2，又函数 g（ x） x
19、cos（ x），则函数 h（ x） g（ x） f（ x）在 13 , 22上的零点个数为 （ B ） A、 5 B、 6 C、 7 D、 8 16（ 2013 年重庆）若 abc ,则函数 f x x a x b x b x c x c x a 的两个零点分别位于区间 ( ) A. ,ab 和 ,bc 内 B. ,a 和 ,ab 内 C. ,bc 和 ,c 内 D. ,a 和 ,c 内 【答案】 A 17（ 2013 年湖南）函数 2lnf x x 的图像与函数 2 45g x x x 的图像的交点个数为 （ ） A.3 B.2 C.1 D.0 【答案】 B 18（ 2013 年天津数学）函
20、数 0.5( ) 2 | log | 1xf x x的零点个 数为 （ ） (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 【答案】 B 19（ 2013 上海）方程 13133 1 3 xx 的实数解为 _ 【答案】 3log 4x . 20.(2012 辽宁 11)设函数 f(x)()xR 满足 f( x )=f(x)， f(x)=f(2 x)，且当 0,1x 时，f(x)=x3.又函数 g(x)=|xcos()x |，则函数 h(x)=g(x)-f(x)在 13 , 22 上的零点个数为 （ ） (A)5 (B)6 (C)7 (D)8 【答案】 B 9 21.(2012 湖北 9)函数
21、2( ) cosf x x x 在区间 0,4 上的零点个数为 （ ） A 4 B 5 C 6 D 7 【答案】 C 22.(2012 天津 14)已知函数 112 xxy 的图象与函数 2kxy 的图象恰有两个交点，则实数 k 的取值范围是 _. 【答案】 10 k 或 41 k 23、已知 ( ) ln 2f x x x ， ( ) ln 2g x x x x 在 1, 上都有且只有一个零点， ()fx的零点为 1x ， ()gx的零点为 2x ，则 （ A ） A 2112xx B 1212xx C 1212xx D 212 xx 24.(2012 江苏 17)如图，建立平面直角坐标系
22、xoy ， x 轴在地平面上， y 轴垂直于地平面，单位长度为 1 千 米某炮位于坐标原点已知炮弹发射后的轨迹在方程221 (1 ) ( 0)20y kx k x k 表示的 曲线上，其中 k 与发射方向有关炮的射程是指炮弹落地点的横坐标 （ 1）求炮的最大射程； （ 2） 设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为 3.2千米，试问它的横坐标 a 不超过多少时， 炮弹可以击中它？请说明理由 【答案】 解：（ 1）在 221 (1 ) ( 0)20y kx k x k 中，令 0y ，得 221 (1 ) = 020kx k x。 由实际意义和题设条件知 00x k， 。 220 20
23、 20= = = 10112kx kkk ，当且仅当 =1k 时取等号。 炮的最大射程是 10 千米。 （ 2） 0a ， 炮弹可以击中目标等价于存在 0k ，使 221 (1 ) = 3. 220ka k a 成立，即关于 k 的方程 2 2 220 64 = 0a k ak a 有正根。 由 2 22= 2 0 4 6 4 0a a a 得 6a 。 此时， 2 22220 20 4 64=02a a a aka （不考虑另一根）。 10 当 a 不超过 6 千 米时， 炮弹可以击中目标。 25用“二分法”求方程 0523 xx 在区间 3,2 的实数根，取区间中点为 5.20 x ，那么
24、下一个有根的区间是 ； 2， 2.5 26用二分法求图象是连续不断的函数 )(xfy 在 )2,1(x 内零点近似值的过程中得到0)1( f ， 0)5.1( f ， 0)25.1( f ，则函数的零点落在区间（ B ） A（ 1， 1.25） B（ 1.25， 1.5） C（ 1.5， 2） D无法确定 27已知函数 )(xf 在区间 ),0( a )0( a 上有唯一的零点，在用二分法寻找零点的过程中，依次确定了零点所在的区间为 )2,0( a ， )4,0( a ， )8,0( a ，则下列说法中正确的是（ B ） A函数 )(xf 在区间 )16,0( a 内一定有零点 B函数 )(x
25、f 在区间 )16,0( a 或 )8,16( aa 有，或零点是 16a C函数 )(xf 在区间 )16,0( a 内无零点 D函数 )(xf 在区间 )16,0( a 或 )8,16( aa 有零点 28下列函数中能用二分法求零点的是（ B ） A B C D 29已知函数 )(xf 的图象是连续不断的，有如下的 x ， )(xf 对应值表 x 1 2 3 4 5 6 )(xf 123.56 21.45 -7.82 11.57 -51.76 -126.49 函数 )(xf 在区间 1， 6上的零点至少有（ B ） A 2 B 3 个 C 4 个 D 5 个 30.如果函数 32( ) 2 2f x x x x 的一个正零点附近的函数值用二分法计算，起参考数据如下 x 1 1.5 1.25 1.375 1.4375 1.40625 ()fx 2 0.625 -0.984 -0.260 0.162 -0.054 则方程 32 2 2 0x x x 的一个近似解（精确到 0.1）为 C A、 1.2 B、 1.3 C、 1.4 D、 1.5 yxOyxOyxOyxO
