1、 1 北京市东城区 2017-2018 学年度第二学期高三综合练习 高三数学 （理科） 2018.4 本试卷共 4 页， 150 分 。 考试时长 120 分钟 。 考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效 。 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 。 第一部分 （选择题 共 40 分） 一、 选择 题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分 。 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项 。 （ 1） 若集合 | 3 1A x x ， | 1B x x 或 2x ，则 AB （ A） | 3 2xx （ B） | 3 1xx （ C） | 1 1xx （ D） |1 2xx （
2、2） 复数 i1iz 在复平面上对应的点位于 （ A）第一象限 （ B） 第二象限 （ C） 第三象限 （ D） 第四象限 （ 3） 已知 ,abR ，且 ab ，则下列不等式一定成立的是 （ A） 220ab （ B） cos cos 0ab （ C） 110ab（ D） 0abee （ 4） 在平面直角坐标系 xOy 中 ，角 以 Ox 为始边，终边与单位圆交于点 34( , )55 ，则tan( ) 的值为 （ A） 43（ B） 34（ C） 43（ D） 34（ 5） 设抛物线 2 4yx 上一点 P 到 y 轴的距离是 2 ，则 P 到该抛物线焦点的距离是 （ A） 1 （ B）
3、2 （ C） 3 （ D） 4 （ 6） 故宫博物院五一期间同时举办“戏曲文化展”、“明代御窑瓷器展”、“历代青绿山水画展”、“赵孟頫书画展” . 某同学决定在五一当天的上、下午各参观其中的一个，且至少参观一个画展， 则不同的 参观 方 案共 有 : （ A） 6 种 （ B） 8 种 （ C） 10 种 （ D） 12 种 （ 7） 设 na 是公差为 d 的等差数列， nS 为其前 n 项和， 则 “ 0d ” 是 “ nS 为递增数列 ”的 （ A）充分而不必要条件 （ B）必要而不充分条件 2 （ C）充分必要条件 （ D）既不充分也不必要条件 （ 8） 某次数学测试共有 4 道题目，
4、若某考生答对的题大于全部题的一半，则称 他为“学习能手”， 对于某个题目， 如果答对该题的“学习能手”不到全部“学习能手”的一半，则称该题为“难题” .已知这次测试共有 5 个“学习能手”，则“难题”的个数最多为 （ A） 4 （ B） 3 （ C） 2 （ D） 1 第二部分 （非选择题 共 110 分） 二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分 。 （ 9 ） 在 ABC 中， 角 ,ABC 所对的边分别 为 ,abc. 若 2 2 2a c b ac ，则 B = （ 10） 在极坐标系中， 圆 2cos 的 圆心到直线 sin 1 的距离为 （ 11） 若 ,xy满足 41
5、0,xyxyx则 2z x y的最大值为 （ 12） 某几何体的三视图如图所示，该几何体 的 表面积为 _. （ 13） 设 平面向量 ,abc 为非零向量 能够说明“若 鬃a b=a c ，则 b=c ”是假命题的一组 向量 ,abc 的坐标依次为 （ 14）单位圆的内接正 ( 3)nn 边形的面积记为 ()fn，则 (3)f _；下面是关于()fn的描述 : 2( ) sin2nfn n ； ()fn 的 最 大 值 为 ； ( ) ( 1)f n f n； ( ) ( 2 ) 2 ( )f n f n f n. 其中正确结论的序号为 _.（注：请写出所有正确结论的序号） 3 三、解答题共
6、 6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 （ 15） （本小题 13 分） 已知函数 22( ) s i n 2 s i n c o s c o sf x x x x x . ( ) 求 ()fx的 最小正周期 ； ( ) 求 ()fx在 0, 2 上的最大值和最小值 . 4 （ 16）（本小题 13 分） 从高一年级随机选取 100 名学生，对他们的期中考试的数学和语文成绩进行分析，成绩如图所示 . （ ） 从这 100 名学生中随机选取一人，求该生数学和语文成绩均低于 60 分 的概率 ； （ ） 从语文成绩大于 80 分的学生中随机选 取两人，记这两人中数学成绩
7、高于 80 分的人数为 x ，求 x 的分布列和数学期望 ()Ex ； （）试判断 这 100 名学生数学成绩 的方差 a 与 语文成绩 的方差 b 的大小 .（只需写出结论） 5 （ 17）（本小题 14 分） 如图 1， 在边长为 2 的正方形 ABCD 中， P 为 CD 中点，分别将 PAD ， PBC 沿 PA ，PB 所在直线折叠，使点 C 与点 D 重合于点 O ，如图 2. 在三棱锥 P OAB 中， E 为 PB 的中点 （ ） 求证： PO AB ； （ ） 求直线 PB 与平面 POA 所成角的正弦值； （） 求二面角 P AO E的大小 . 图 1 图 2 （ 18）（
8、本小题 13 分） 6 已知椭圆 2222 1( 0 )xyC a bab ：的离心率为 32 ， 且 过点 A(2， 0) ( ) 求椭圆 C 的方程； ( ) 设 M， N 是椭圆 C 上不同于点 A 的两点，且直线 AM， AN 的斜率之积等于 14. 试问直线 MN 是否过定点？若是，求出该点的坐标；若不是，请说明理由 （ 19）（本小题 14 分） 已知函数 ( ) e ( 1)xf x a x . （ I）若曲线 ()y f x 在 (0, (0)f 处的切线斜率为 0，求 a 的值； （ II）若 ( ) 0fx 恒成立，求 a 的取值范围 ； （ III）证明：当 0a 时，
9、曲线 ( ) ( 0)y f x x总在曲线 2 lnyx 的上方 . （ 20）（本小题 13 分） 在 ( 2)n n n个实数组成的 n 行 n 列的数表中， ija 表示第 i 行第 j 列的数，记12i i i inr a a a (1 )in ， 12 (1 )j j j n jc a a a j n .若 1,0,1ija (1 , )i j n . 且 1 2 1 2, , , , , , ,nnr r r c c c两两不等，则称此表为“ n 阶 H 表” .记 1 2 1 2, , , , , , ,n n nH r r r c c c . （ I） 请写出一个“ 2 阶
10、H 表”； （ II）对任意一个“ n 阶 H 表”，若整数 , nn ，且 nH ，求证： 为偶数； （ III）求证：不存在“ 5 阶 H 表” . 7 北京市东城区 2017-2018 学年度第二学期高三综合练习（一） 高三数学参考答案及评分标准 （理科） 一、选择题（共 8 小题，每小题 5 分，共 40分） （ 1） B （ 2） B （ 3） D （ 4） A （ 5） C （ 6） C （ 7） D （ 8） D 二、填空题（共 6 小题，每小题 5 分，共 30分） （ 9） 3 （ 10） 1 （ 11） 6 （ 12） 12 2 3 （ 13） (1, 0), (0,1),
11、 (0, -1)（答案不唯一） （ 14） 334 ； 三、解答题（共 6 小题，共 80 分） （ 15） （共 13 分） 解： （） 因为 22( ) s i n 2 s i n c o s c o sf x x x x x xxxxxx 2c o s2s i n)s i n( c o sc o ss i n2 22 2 sin(2 )4x . 所以 ()fx的 最小正周期为 22 . 7 分 ( ) 因为 0 2x p . 所以 324 4 4xp p p- ? ?. 当 2 42x pp-=，即 38x p= 时， ()fx取得最大值 2 ； 当 2 44x pp- = - ，即 0
12、x= 时， ()fx取得最小值 1- . 所以 ()fx在 0, 2 上的最大值为 2 ，最小值为 1- . 13 分 （ 16） （ 共 13 分 ） 解： （ I）由图知，在被选取的 100 名学生中，数学和语文成绩均低于 60 分的有 9 人，所以从 100 名学生中随机选取一人，该生数学和语文成绩均低于 60 分 的概率为 9 0.09100. 3 分 8 （ ） 由图知，语文成绩大于 80 分的学生优 10 人，这 10 人中数学成绩高于 80 分的有 4人，所以 x 的所有可能取值为 0， 1， 2. 26210 1( 0) 3CP Cx = = =, 1146210 8( 1)
13、15CCP Cx = = =, 24210 2( 2) 15CP Cx = = =，所以 x 的分布列为 x 0 1 2 p 13 815 215 故 x 的数学期望 1 8 2 4( ) 0 1 23 1 5 1 5 5E x = ? ? ?. 10 分 （）由图判断， ab . 13 分 （ 17） （ 共 14 分 ） 证明： （ ） 在正方形 ABCD 中， P 为 CD 中点， PD AD ,PC BC ， 所以在三棱锥 P OAB 中， PO OA ， PO OB . 因为 OA OB O ，所以 PO 平面 OAB . 因为 AB 平面 OAB ,所以 PO AB . 4 分 （
14、 ） 取 AB 中点 F， 连接 OF， 取 AO 中点 M， 连接 BM. 过点 O 作 AB 的平行线 OG. 因为 PO 平面 OAB， 所以 PO OF， PO OG. 因为 OA OB， F 为 AB的中点 ， 所以 OF AB. 所以 OF OG. 如图所示 ， 建立空间直角坐标系 O xyz. A( )1， 3， 0 ， B( ) 1， 3， 0 ， P( )0， 0， 1 ， M(12， 32 ， 0) 因为 BO BA， M 为 OA 的中点 ， 所以 BM OA. 因为 PO 平面 OAB， PO 平面 POA， 所以 平面 POA 平面 OAB. 因为平面 POA 平面
15、OAB OA， BM 平面 OAB， 所以 BM 平面 POA. 因为 BMuur (32， 32 ， 0)所以平面 POA 的法向量 m ( )3， 1， 0 . BPur (1， 3， 1) 设直线 BP 与平面 POA 所成角为 ， 9 则 15sin c o s5BPBPBPa= = =u uru ur u urmm,m. 所以直线 BP 与平面 POA 所成角的正弦值为 155 . 10 分 （） 由 ( )知 1 3 1,222E， 1 3 1,222OE ， 1, 3,0OA . 设平面 OAE 的法向量为 n ，则有 0,0.OAOE nn 即 3 0,3 0.xyx y z
16、令 1y ，则 3x ， 23z . 即 3, 1, 2 3n . 所以 21c o s ,2 4 2 mnmn mn. 由题知二面角 P AO E 为锐角 ， 所以它的大小为 3p . 1 4 分 （ 18） （ 共 13 分 ） 解 ：（ I） 由已知有 222, 3.2aaba 解得 2,1.ab 椭圆 C 的方程为 2 2 14x y. 4 分 （ II）若直线 MN 斜率存在 ， 设直线 MN 方程为 y kx n. 由 22,1,4y kx nx y 消去 y ，得 2 2 2(1 4 ) 8 4 4 0k x k n x n . 当 0 ，设 1 1 2 2( , ), ( ,
17、)M x y N x y， 则12 2814knxx k . ， 212 24414nxx k . . 由 121212 2 4A M A N yykk xx 以及 11y kx n， 22y kx n整理，得 221 2 1 2( 1 4 ) ( 4 2 ) ( ) ( 4 4 ) 0k x x n k x x n . 10 将 ， 代入上式，整理，得 2 20n kn，解得 0n 或 2nk . 当 0n 时，直线 y kx n过 (0,0) ；当 2nk 时，直线 y kx n过 (2,0) （舍） . 若 直线 MN 斜率不存在，则直线 ,AMAN 斜率互为相反数 . 不妨设 11,2
18、2AM ANkk ，于是直线 1: ( 2)2AM y x 与椭圆交于 (0,1)M ， 由对称性可知直线 AN 与椭圆交于 (0, 1)N . 所以直线 MN 也过 (0,0) . 综上， 直线 MN 过定点 (0,0) . 13 分 19） （ 共 14 分 ） 解 ： （ I） 函数 ( ) e ( 1)xf x a x 的 定义域为 R . 因为 ( ) e ( 1)xf x a x ， 所以 ( ) exf x a. 由 (0) 1 0fa 得 1a . 4 分 （ II） ( ) e ( R )xf x a x . 当 0a 时，令 ( ) 0fx 得 lnxa . lnxa 时，
19、 ( ) 0fx ； lnxa 时， ( ) 0fx . ()fx在 ( ,ln )a 上单调递减，在 (ln ,+ )a 上单调递增 . 所以当 lnxa 时， ()fx有最小值 ( l n ) (1 l n ) l nf a a a a a a . “ ( ) 0fx 恒成立”等价于“ ()fx最小值大于等于 0”，即 ln 0aa. 因为 0a ，所以 01a. 当 0a 时， ( ) e 0xfx符合题意； 当 0a 时，取0 11x a ，则 110 1( ) e ( 1 1 ) e 1 0aaf x a a ，不符合题意 . 综上，若 ( ) 0fx 对 xR 恒成立，则 a 的取值范围为 0,1 . 9 分 （ III） 当 0a 时，令 ( ) ( ) ( 2 l n ) e l n 2 ( 0 )xh x f x x x x ，可求 1( ) exhx x.
