1、 1 初三二次函数应用题练习（一） （有答案版） 一、实际问题抛物线轨迹，建立坐标系，桥洞问题等 1.对于上抛物体，在不计空气阻力的情况下，有如下关系式： 20 12h v t gt，其中 h （米）是上升高度， 0v （米 /秒）是初速度， g （米 /秒 2）是重力加速度， t （秒）是物体抛出后所经过的时间，下图是 h 与 t 的函数关系图 . 求： 0v ， g ； 几秒时，物体在离抛出点 25 米高的地方 . 解：（ 1）由图知，当 6t 时， 0h ；当 3t 时， 45h . g39345 18g6000vv ，解得 10g 300v. 20 /10/30 秒米，秒米 gv .
2、3 分 （ 2） 由（ 1）得，函数关系式是 25t30th . 当 25h 时， 253025 tt ，解得 121, 5tt 经过 1 秒 或 5 秒 的 物体在离抛出点 25 米 高的地方 . 6 分 2 如图，杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端 A 处弹跳到人梯顶端椅子 B 处，其身体(看成一点 )的路线是抛物线 23 315y x x 的一部分 . （ 1）求演员弹跳离地面的最大高度； （ 2）已知人梯高 BC 3.4 米，在一次表演中，人梯到起跳点 A 的水平距离是 4 米，问这次表演是否成功？请说明理由 解： （ 1） 223 3 5 1 93 1 ( )5 5 2 4y x
3、x x 3 05 ， 函数的最大值是 194 3 分 t)(米h45O 3 62 答：演员弹跳的最大高度是 194 米 （ 2） 234 4 3 4 1 3 . 45x y B C 当 时 ， ， 所以这次表演成功 5 分 3.如图，足球场上守门员在 O 处开出一高球，球从离地面 1 米的 A 处飞出（ A 在 y 轴上），运动员乙在距 O 点 6 米的 B 处发现球在自己头的正上方达到最高点 M ，距地面约 4 米 高球第一次落地点后又一次弹起 .据实验，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半 （ 1）求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式
4、 （ 2） 运动员乙要抢到第二个落点 D ，他应再向前跑多少米？（取 4 3 7 ， 2 6 5 ） 3. 解：（ 1）如图，设第一次落地时， 抛物线的表达式为 2( 6) 4y a x 1 分 由已知：当 0x 时 1y 即 11 3 6 4 12aa ， 2 分 表达式为 21 ( 6) 412yx 3 分 （或 21 112y x x ） （ 2） 令 210 ( 6 ) 4 012yx ， 4 3 6 1 3 4 3 6 0xx 解 得 ， （ 舍 ） 点 C 坐标为（ 13,0）。 4 分 设抛物线 CND为 21 ( ) 212y x k 将 C 点坐标代入得： 21 (1 3 )
5、 2 012 k 解得： 1 13 2 6 13k （舍去）， 2 6 4 3 2 6 6 7 5 1 8k 5 分 21 ( 1 8) 212yx y O B C D 1 M x 2 4 A3 令 210 ( 1 8 ) 212yx ， 0 1 18 2 6x （舍去）， 2 1 8 2 6 2 3x 6 分 23 6 17BD （米） 7 分 答：运动员乙要抢到第二个落点 D ，他应再向前跑 17 米 4如图，有一个抛物线形悬索桥，桥面（视为 水平的）与主悬索之间用垂直钢拉索连接。桥两端主塔塔顶的海拔高度均是 187.5 米，桥梁主塔之间的距离为 900 米，这里水平面的海拔高度是 74
6、米。若过主塔塔顶的主钢悬索（视为抛物线）最低点离桥面（视为直线）的高度为 0.5 米，桥面离水面的高度为 19 米。请你计算距离一端主塔 100 米的垂直钢拉索的长（结果精确到 0.1 米） . （提示：把实际问题转化为数学问题，可建立如下直角坐标系） 解： 4. 以桥面上位于主悬钢索最低点的正下方一点为坐标原点， 以桥面所在的直线为 x 轴建立平直角坐标系 , 1 分 则 A(0,0.5),B(-450,94.5) 2 分 由题意，设抛物线为： 2 0.5y ax. 3 分 代入求得： 47101250a 247 0.5.101250yx 5 分 离桥一端主塔 100 米处的横坐标为 x=3
7、50, 当 x=350 时， y=57.4. 6 分 离桥一端主塔 100 米处竖直钢拉索的长约为 57.4 米 . 7 分 x y o 4 5 一座拱桥的轮廓是抛物线型 如图 所示，拱高 6 米，跨度 20 米，相邻两支柱间的距离均为 5 米 . (1)将抛物线放在所给的直角坐标系中如图 所示，求抛物线解析式 ; (2)求支柱 EF 的长度 ; (3)拱桥下地平面是双向行车道 (正中间是一条宽 2 米的隔离带 )，其中的一条行车道能否并排行驶宽 2 米、高 3 米的三辆汽车 (汽车间的间距忽略不计 )?请说明你的理由 . 解： (1)据题意 A、 B、 C 三点的坐标为 (-10,0),(1
8、0,0),(0,6) 1 分 设抛物线解析式为 y=ax2+c 将 B、 C 的坐标代入 y=ax2+c 解得6503ca 抛物线解析式为 y= 503 x2+6. 2 分 (2)设 F 点坐标 (5， yF) 则有 y= 503 52+6 3 分 =4.5 支柱 EF 的长度是 10-4.5=5.5 米 . 4 分 (3) 设 DN 是隔离带的宽， NG 是三辆车的宽度和 . 则 G 点坐标为 (7,0) 5 分 过 G 点作 GH 垂直 AB 交抛物线于 H,则 yH= 503 72+6 3.063 可知 一条行车道能并排行驶这样的三辆汽车 . 6 分 6圣路易斯拱门是座雄伟壮观的抛物线形
9、建筑物 .拱门的地面宽度为 200 米，两侧距地面高150 米处各有一个观光窗，两窗的水平距离为 100 米，求拱门的最大高度 . 5 6. 解：解法一：如图所示 建立平面直角坐标系 . -1 分 此时 ， 抛物线与 x 轴的交点为 C ( 100,0) ， D (100,0) . 设这条抛物线的解析式为 ( 1 0 0 )( 1 0 0 )y a x x .-2 分 抛物线经过点 B (50,150) ， 可得 1 5 0 ( 5 0 1 0 0 ) ( 5 0 1 0 0 )a . 解得 501a . 抛物线的解析式为 )1 0 0)(1 0 0(501 xxy . 当 0x 时， 200
10、y .-4 分 拱门的最大高度为 200 米 . -5 分 解法二：如图所示建立平面直角坐标系 . -1 分 设这条抛物线的解析式为 2axy .-2 分 设 拱 门 的 最 大 高 度 为 h 米 ， 则 抛 物 线 经 过 点).,100(),150,50( hDhB 可 得 22100 ,150 50 .ha 解得 ,.200501ha .-4 分 拱门的最大高度为 200 米 .-5 分 7 如图，有一座抛物线形拱桥，在正常 水位时水面 AB 的宽为 20 米，如果水位上升 3 米，6 则水面 CD 的宽是 10 米 （ 1） 建立如图所示的直角坐标系，求此抛物线的解析式； （ 2）
11、当水位在正常水位时，有一艘宽为 6 米的货船经过这里，船舱上有高出水面 3.6 米的长方体货物（货物与货船同宽）问：此船能否顺利通过这座拱桥？ 7解：（ 1）设抛物线解析式为 2axy 1 分 设 点 ),10( nB ， 点 )3,10( nD 2 分 由题意： an an 253100解得2514an 3 分 2251 xy 4 分 （ 2）方法一： 当 3x 时， 9251 y 3)4(259 .6 5 分 在正常水位时，此船能顺利通过这座拱桥 6 分 方法二： 当 5246.3 y 时， 225152 x 10x 310 5 分 在正常水位时，此船能顺利通过这 座拱桥 6 8. （ 2
12、011 山东滨州， 25， 12 分）如图，某广场设计的一建筑物造型的纵截面是抛物线的一部分，抛物线的顶点 O 落在水平面上，对称轴是水平线 OC。点 A、 B 在抛物线造型上，且点 A 到水平面的距离 AC=4O 米，点 B 到水平面距离为 2 米， OC=8 米。 （ 1） 请建立适当的直角坐标系，求抛物线的函数解析式； （ 2） 为了安全美观，现需在水平线 OC 上找一点 P，用质地、规格已确定的圆形钢管制作两根支柱 PA、 PB 对抛物线造型进行支撑加固，那么怎样才能找到两根支柱用料最省（支柱与地面、造型对接方式的用料多少 问题暂不考虑）时的点 P？（无需证明） （ 3） 为了施工方便
13、，现需计算出点 O、 P 之间的距离，那么两根支柱用料最省时点 O、 P第 7 题图 7 之间的距离是多少？（请写出求解过程） 【答案】 解：（ 1）以点 O 为原点、射线 OC 为 y 轴的正半轴建立直角坐标系 1 分 设抛物线的函数解析式为 2y ax , 2 分 由题意知点 A 的坐标为（ 4， 8）。且点 A 在抛物线上， 3 分 所以 8=a 24 ，解得 a=12 ,故所求抛物线的函数解析式为 212yx 4 分 （ 2）找法：延长 AC,交建筑物造型所在抛物线于点 D, 5 分 则点 A、 D 关于 OC 对称。 连接 BD 交 OC 于点 P，则点 P 即为所求。 6分 （ 3
14、）由题意知点 B 的横坐标为 2，且点 B 在抛物线上， 所以点 B 的坐标为（ 2， 2） 7 分 又知点 A 的坐标为（ 4， 8），所以点 D 的坐标为（ -4， 8） 8 设直线 BD 的函数解析式为 y=kx+b， 9 则 有 2248kbkb 10 解得 k=-1,b=4. 故直线 BD 的函数解析式为 y=-x+4， 11 把 x=0 代入 y=-x+4，得点 P 的坐标为（ 0， 4） 两根支柱用料最省时，点 O、 P 之间 的距离是 4 米。 12 二、最值问题 1. （ 2011 广东株洲， 8， 3 分） 某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为 x轴，出水点为
15、原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线 y=-x2+4（单位：米）的一部分，则水喷出的最大高度是 ( ) A 4 米 B 3 米 C 2 米 D 1 米 8 【答案】 D 2. （ 2011 山东聊城， 12， 3 分）某公园草坪的防护栏是由 100 段形状相同的抛物线组成的为了牢固起见，每段护栏需要间距 0.4m 加设一根不锈钢的支柱，防护栏的最高点距底部0.5m（如图），则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为（ ） A 50m B 100m C 160m D 200m 【答案】 C 3. （ 2011 河北， 8， 3 分）一小球被抛出后，距离地面的高度 h（米）和飞行时间
16、 t（秒）满足下列函数关系式： 61t5h 2 ）（ ，则小球距离地面的最大高度是（ ） A 1 米 B 5 米 C 6 米 D 7 米 【答案】 C 4如图， 一个中学生推铅球，铅球在点 A 处出手，在点 B 处落地，它的运行路线是一条抛物线，在平面直角坐标系中，这条抛物线的解析式为： 3532121 2 xxy （ 1）请 用配方法把 3532121 2 xxy 化成 khxay 2)( 的形式； （ 2）求出铅球在运行过程中达到最高点时离地面的距离，并求出这个学生推铅球的 成绩（单位：米） 4解：（ 1） 3)4(121 2 xy 2 分 9 （ 2） 由（ 1） 可知抛物线顶点坐标是（
17、 4， 3）， 则 铅球在运行过程中达到最高点时离地面的距离是 3 米 3 分 将 3532121 2 xxy 化为 )10)(2(121 xxy ， 则点 B 坐标是（ 10， 0） 所以，这个学生推铅球的成绩是 10 米 5 分 5 心理学家发现，学生对概念的接受能力 y 与提出的概念所用的时间 x（单位：分）之间满足函数关系 y= 0.1x2+2.6x 43（ x 30）， y 值越大，表示接受能力越强 （ ） x 在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？ x 在什么范围内，学生的接受能力逐步降低？（ ）第几分时，学生的接受能力最强？ 解： （） y= 0.1x2+2.6x 43 = 0.
18、1(x 13)2+59.9 2 分 当 x 13 时，学生的接受能力逐步增强； 3 分 当 13 x 30 时，学生的接受能力逐步降低 4 分 （说明：不写等号不扣分） （）当 x=13 时， y 有最大值， 即第 13 分钟时，学生的接受能力最强 5 分 6 如图 1 是一个供滑板爱好者滑 行使用的 U 型池，图 2 是该 U 型池的 横截面（ 实线 部分）示意图，其中四边形 AMND 是矩形，弧 AmD 是半圆 （ 1）若半圆 AmD 的 半径是 4 米， U 型池边缘 AB = CD =20 米，点 E 在 CD 上， CE = 4米，一滑板爱好者从点 A 滑到点 E，求他滑行的最短距离
19、（结果可保留根号）； （ 2）若 U 型池 的 横截面 的周长为 32 米 ， 设 AD 为 2x， U 型池 的强度 为 y，已知 U 型池的强度 是 横截面的面积 的 2 倍 ，当 x 取何值时， U 型池 的强度最大 解 ： 6 解： （ 1） 如图是滑道的平面展开图 在 Rt EDA 中 ，半圆 AmD 的弧长 4 , 2 0 4 1 6ED 2 分 滑行的最短距离 2 2 216 ( 4 ) 4 16AE 3 分 （ 2） AD 为 2x 半圆 AmD 的半径为 x， 则 半圆 AmD 的弧长为 x 32 2 2x A M x 2 162A M x （ 320 4x ） 4 分 y
20、2 222 2 ( 1 6 ) ( 3 4 ) 6 422 xx x x x 5 分 图 1 图 2 第 6 题 MNND AmMEDC BAEDCAB10 当 6 4 3 22 ( 3 4 ) 3 4x 时 ， U 型池 强度最大 所以当 3234x 时 ， U 型池 强度最大 6 分 注： 2 162A M x （ 3204x ） 中无自变量范围不扣分。 当 x=32时时，矩形框架 ABCD 的面积 S 最大，最大面积为 3 平方米 （ 3）当不锈钢材料总长度为 a 米，共有 n 条竖档时， BC=a-nx3 ，矩形框架 ABCD 的面积 S=x a-nx3 =-n3x2+a3x 来源 :
21、学科网 当 x=-a32（ -n3）= a2n时， S= a212n 当 x= a2n时，矩形框架 ABCD 的面积 S 最大，最大面积为 a212n平方米 7. （ 2011 湖北武汉市， 23， 10 分） （本题满分 10 分）星光中学课外活动小组准备围建一个矩形生物苗圃园其中一边靠墙，另外三边用长为 30 米的篱笆围成已知墙长为 18 米（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为 x 米 （ 1）若平行于墙的一边的长为 y 米，直接写出 y 与 x 之间的函数关系式及其自变量 x 的取值范围； （ 2）垂直于墙的一边的长为多少米时，这个苗圃 园的面积最大，并求出这个最大值； （ 3
22、）当这个苗圃园的面积不小于 88 平方米时，试结合函数图像，直接写出 x 的取值范围 【答案】 解：（ 1） y=30 2x(6 x 15) （ 2）设矩形苗圃园的面积为 S 则 S=xy=x(30 2x)= 2x2 30x 来源 :学科网 S= 2(x 7.5)2 112.5 由（ 1）知， 6 x 15 当 x=7.5 时 ,S 最大值 112.5 即当矩形苗圃园垂直于墙的边长为 7.5 米时，这个苗圃园的面积最大，最大值为 112.5 （ 3） 6 x 11 9. （ 2011 贵州贵阳， 25， 12 分） 用长度一定的不锈钢材料设计成外观为矩形的框架（如图 1 2 3 中的一种） 设竖档 AB=x 米，请根据以上图案回答下列问题：（题中的不锈钢材料总长度均指各图中所有黑线的长度和，所有横档和竖档分别与 AD、 AB 平行） （ 1）在图 1 中，如果不锈钢材料总长度为 12 米，当 x 为多少时，矩形框架 ABCD 的面积为 3 平方米？（ 4 分）
