1、 1 高等数学基础复习资料 复习资料一 一、单项选择题 1.设函数 )(xf 的定义域为 )( ， ，则函数 )(xf + )( xf 的图形关于（ C）对称。 A. xy B.x 轴 C.y 轴 D.坐标原点 2.当 0x 时，变量（ D）是无穷小量。 A x1 B. xxsinC. x2 D. )1ln( x 3 下列等式中正确的是（ B） A xdxxd arc tan)1 1(2 B. 2)1( xdxxd C. dxd xx 2)2ln2( D. xdxxd cot)(tan 4下列等式成立的是（ A） A )()( xfdxxfdxd B. )()( xfdxxf C. )()(
2、xfdxxfd D. )()( xfxdf 5 下列无穷积分收敛的是（ C） A 11 dxx B. 1 1dxx C. 1 3 41 dxx D. 1 sinxdx 二、填空题 1函数 24)( 2 xxxf 的定义域是 22 xx 或 2函数 12 xxy 的间断点是 1x 3 曲线xxf 1)( 在点（ 1， 1）处的切线的斜率是 21k 4函数 )1ln( 2xy 的单调增加区间是 ，0 5 dxed x2 = dxex2 三、计算题 1 计算极限 45 86lim224 xxxxx 解：原式 =)4)(1( )4)(2(lim4 xx xxx= 12lim4 xxx=32 2 设 x
3、xxy lntan 2 ，求 y 2 解： xxxxxy 1ln2s e c 22 = xxxx ln2sec 2 3设 xxy 35 ln ，求 y 解： )(lnln35 24 xxxy = x xx 24 ln35 4 设 52cos xxy ，求 dy 解： 45)s in(c o s2 xxxy = 452sin xx dxydy = dxxx )52sin( 4 5设 53cos xxy ，求 dy 解： 42 5)s in(c o s3 xxxy = 42 5s inc o s3 xxx dxydy = dxxxx )5s inc o s3( 42 6.设 xxey 3sin ，
4、求 dy 解： 3ln3)( s ins in xx xey = 3ln3cossin xx xe dxydy = dxxe xx )3ln3c o s( sin 7 设 2cosln xy ，求 dy 解： )(c o sc o s1 22 xxy= xxx 2)s in(c o s1 22 = 2tan2 xx 8 设 )(xyy 是由方程yxyx 2sin2 确定的函数，求 y 解：方程两边同时对 x 求导得：22 22c o ss in2 y yxyyyxyx 移项合并同类项得： yxyyyxyyx s in22)2c o s( 222 再移项得：xyyx yxyyy 2c o s s
5、 in22 2229 计算不定积分 dxxxcos 3 解 ：原式 = xdxcos2 = Cxsin2 10 计算定积分 e xdxx1 ln 解：原式 = e xdxexx122 )(ln21ln2= e dxe12 212 =1412 22 exe = 41412 22 ee = 4142e 11计算定积分 20 sin xdxx 解：原式 = 20 )c o s(02c o s dxxxx =02in)00(x =1 四、应用题 1 求曲线 xy 2 上的点，使其到点 )03(，A 的距离最短 解： 设 曲线 xy 2 上的点 )( yx， 到点 )03(，A 的距离为 d ，则 22
6、)3( yxd = xx 2)3( = 952 xx 求导得：952 522 xx xd令 0d 得驻点 25x ，将 25x 带入 xy 2 中得 210y ， 有实际问题可知该问题存在最大值，所以 曲线 xy 2 上的点 )21025( ， 和点 )21025( ， 到点 )03(，A 的距离最短 五、证明题 当 0x 时，证明不等式 )1ln( xx 证明： 设 )1ln( xxy 0x 时， 0y 求导得： xy 1 11 = xx1 当 0x ， 0y 即 )1ln( xxy 为增函数 当 0x 时， 0)1ln( xxy 即 )1ln( xx 成立 复习资料 二 一、单项选择题 1
7、 设函数 )(xf 的定义域为 )( ， ，则函数 )(xf - )( xf 的图形关于（ D）对称 A. xy B.x 轴 C.y 轴 D.坐标原点 2 当 0x 时，变量（ C）是无穷小量。 4 A x1 B. xxsinC. 1xe D. 2xx3 设 xexf )( ，则 x fxfx )1()1(lim 0=（ B） A e2 B. e C. e41 D. e21 4 dxxxfdxd )( 2 （ A） A )( 2xxf B. dxxf )(21 C. )(21 xf D. dxxxf )( 2 5下列无穷积分收敛的是（ B） A 0 dxexB. 0 dxe xC. 1 1dx
8、xD. 11 dxx 二、填空题 1 函数)1ln(92 x xy的定义域是 231 xx 且 2 函数 0sin 01 xx xxy ，的间断点是 0x 3 曲线 1)( xxf 在点（ 1,2）处的切线斜率是 21k 4曲线 xxf )( 在点 1x 处的切线斜率是 21k 5 函数 1)1( 2 xy 的单调减少区间是 1 ， 6 dxx)(sin = Cxsin 三、计算题 1 计算极限 xxx 5sin6sinlim0 解： 原式 =5655sin66sinlim0 xxxxx=5655sinlim66sinlim00 xxxxxx =56 2计算极限 xxx 5sin2sinlim
9、0 解：原式 =5255sin22sinlim0 xxxxx=5255sinlim22sinlim00 xxxxxx =52 5 3计算极限 xxx 3sin5sinlim0 解：原式 =3533sin55sinlim0 xxxxx=3533sinlim55sinlim00 xxxxxx =35 4计算极限 xxx 2sin3sinlim0 解：原式 =2322sin33sinlim0 xxxxx=2322sinlim33sinlim00 xxxxxx =23 5 设2 2sin xxyx ，求 y 解： y =42 2)2( s in)2ln2( c o s x xxxx xx =312s
10、in22ln2c o s x xxx xx 6 设 xey 2sin ，求 y 解： )(s ins in2 xx eey = xxx eee c o ssin2 = xx ee 2sin 7 设 )(xyy 是由方程 yexy cos 确定的函数，求 dy 解：方程两边同时对 x 求导得： yexyxy y s inc o s 移项合并同类项得： xyyex y s in)(c o s 再移项得：yex xyy cossin所以 dy = dxy = dxex xyycossin8 计算不定积分 xdxx 3cos 解： 设 xu ， xdxdv 3cos ，则 dxdu ， xv 3sin
11、31 ，所以由分部积分法得 原式 = xd xxx 3s in313s in31 = Cxxx 3c o s913s in31 9 计算定积分 e dxx x1 ln2 解：原式 = e xdx1 )ln2()ln2(=1)ln2(21 2 ex= 2429 =25 四、应用 题 6 1 圆柱体上底的中心到下底的边沿的距离为 l ，问当底半径和高分别为多少时，圆柱体的体积最大？ 解：假设圆柱体的底半径为 x ，体积为 V ，则高为 22 xl ，所以圆柱体的体积为 ShV 31 = 22231 xlx 求导得： V =22222 223132 xl xxxlx = )32(3 3222 xxl
12、xl 令 V =0 得驻点 lx 36 （ 0x ） 又由实际问题可知，圆柱体的体积存在着最大值，所以当底半径和高分别为 l36 和 l33 时，圆柱体的体积最大 五、证明题 当 0x 时，证明不等式 xx arctan 证明：设 xxy arctan 0x 时， 0y 求导得：21 11 xy =221 xx 当 0x ， 0y 即 xxy arctan 为增函数 当 0x 时， 0arc tan xxy 即 xx arctan 成立 复习资料三 一、 单项选择题 1 下列各函数对中 ，（ C）中的两个函数相等 A 2)()( xxf ， xxg )( B 2)( xxf ， xxg )(
13、C 3ln)( xxf ， xxg ln3)( D 2ln)( xxf ， xxg ln2)( 2 当 0x 时，下列变量中（ A）是无穷小量 A )1ln( 2 x B xxsin C x1sin D xe1 3 当 0x 时，下列变量中（ A）是无穷小量 A )1ln( 2 x B xxsin C x1sin D xe 4 当 0x 时，下列变量中（ A）是无穷小量 7 A )1ln( 2 x BxxsinCx1sinD xe1 5 函数 622 xxy 在区间 （ 2， 5）内满足（ D） A先单调 下降 再单调上升 B单调下降 C先单调上升再单调下降 D单调上升 6 若 )(xf 的一
14、个原函数是 x1 ，则 )(xf =（ B） A21xB32xC x1 D xln 7若 )(xf 的一个原函数是 x1 ，则 )(xf =（ A） A21xB32xC x1 D xln 8 下列无穷积分收敛的是（ D） A 0 sinxdxB 1 1dxxC 11 dxx D 0 2 dxe x 二、填空题 1 若函数 02 01)( 2 xxxxfx， ，则 )0(f 1 2 函数002s in)(xkxx xxf， ，在 0 处连续，则 k 2 2函数1111)( 2xaxxxxf， ，在 )0( ， 内连续，则 a 2 3 曲线 2)( xxf 在点（ 2， 2）处的切线斜率是 41k
15、 4 函数 1)1( 2 xy 的单调增加区间是 ，1 5 dxxdxd 2sin 2sinx 三、计算题 1 计算极限)3sin( 9lim23 xxx 解 :原式 =)3sin( )3)(3(lim3 x xxx= )3(lim)3s in ( 3lim 33 xxx xx= )33(1 =6 2 设 xxey x lntan ，求 y 8 解： xxexey xx 1s e cta n 2 2 设 2sin xxy ，求 y 解： 2c o s22 1 xxxy 3 设 xy 2cosln ，求 y 解： y = )s in(c o s2c o s12 xxx = xx2cos2sin4
16、 设 )(xyy 是由方程 3yee xy 确定的函数，求 dy 解：方程两边同时对 x 求导得： yyeye xy 23 移项合并同类项得： xy eyye )3( 2 再移项得：23ye ey yx所以 dy = dxy = dxye eyx235计算不定积分 dxxxln1 解： 原式 = xdx lnln1 = Cx )ln(ln 6 计算定积分 e dxxx1 2ln 解：利用分部积分法得 原式 = e dxxexx 1 211ln=111 exe= )11(1 ee = e21 四、应用题 1 在抛物线 xy 42 上求一点，使其与 x 轴上的点 )03(，A 的距离最短 解：设曲
17、线 xy 42 上的点 )( yx， 到点 )03(，A 的距离为 d ，则 22)3( yxd = xx 4)3( 2 = 922 xx 求导得：922 222 xx xd=9212 xx x9 令 0d 得驻点 1x ，将 1x 带入 xy 42 中得 2y ，由实际问题可知该问题存在最大值，所以曲线 xy 42 上的点 )21(， 和点 )21( ， 到点 )03(，A 的距离最短 五、证明题 1 证明：若 )(xf 在 aa， 上 可积并为奇函数，则 aa dxxf )(=0 证明： )(xf 在 aa， 上可积并为奇函数，即有 )()( xfxf aaaa dxxfdxxfdxxf
18、00 )()()(设 tx ，则 dtdx ，当 ax 时， at ； 0x 时， 0t ，则上式中的右边第一式计算得： 0 )(a dxxf = 0 )(a dttf =0 )(a dttf = a dttf0 )( = a dxxf0 )( 代回上式中得 0)( aa dxxf，证毕 复习资料 四 一、单项选择题 1 函数 2 xx eey 的图形关于（ A）对称 A. 坐标原点 B.x 轴 C.y 轴 D. xy 1函数 2 xx eey 的图形关于（ C）对称 A. xy B.x 轴 C.y 轴 D. 坐标原点 2 在下列指定的变化过程中，（ C）是无穷小量 A. )(1sin xxx
19、 B. )0(1sin xx C. )0)(1ln( xx D. )(1 xex 3 设 )(xf 在 0x 处可导，则 hxfhxfh 2)()2(lim 000（ C） A. )( 0xf B. )(2 0xf C. )( 0xf D. )(2 0xf 4 若 dxxf )( = CxF )( ，则 dxxfx )(ln1 =（ B） A. )(lnxF B. CxF )(ln C. CxFx )(ln1 D. CxF )1( 5 下列积分计算正确的是（ D） A. 0sin11 xdxxB. 102 dxe xC. 02 2sin xdxD. 0cos11 xdxx6 下列积分计算正确的
20、是（ D） A. 0sin11 xdxxB. 10 dxe xC. 0 2sin xdxD. 0cos11 2 xdxx10 二、填空题 1 函数24)1ln( xxy 的定义域是 21 x 2 函数241 xy 的定义域是 22 x 3 若函数00)1()(21xkxxxxf x，在 0x 处连续，则 k e 4. 若函数00)1()(31xkxxxxf x，在 0x 处连续，则 k e 5 曲线 1)( 3 xxf 在 )2,1( 处的切线斜率是 3k 6 函数 xy arctan 的单调增加区间是 )( ， 7 若 Cs ind)( xxxf ，则 )(xf xsin 8. 若 Cc o sd)( xxxf ，则 )(xf xsin 9若 Cs ind)( xxxf ，则 )(xf xcos 三、计算题 1 计算极限 1 )1sin(lim21 x xx 解：原式 =)1)(1( )1sin(lim 1 xx xx 21 2 设 xexy cosln ，求 y 解： xx eexy sin1 3 计算不定积分 xxex d21 解： 原式 = Cexde xx 11 )1( 4 计算定积分 e1 dln xx 解： 由分部积分法得
