1、 经纬教育 平行四边形证明题 经典例题（附带详细答案）1如图，是平行四边形对角线上两点，求证：【答案】证明：平行四边形中，又，2如图6，四边形ABCD中，ABCD，B=D， 3 ,6 ABBC ，求四边形ABCD的周长【答案】20、解法一: AB CD 180CB又 B D 180DC ADBC即得ABCD是平行四边形 3 6AB CD BC AD= = = =， 四边形ABCD的周长 183262 解法二: 连接ACAB CD DCABAC 又 B D AC CA ， ABC CDA 3 6AB CD BC AD= = = =， 四边形ABCD的周长 183262 解法三: 连接BDAB C
2、D CDBABD 又 ABC CDA ADBCBD ADBC即ABCD是平行四边形 3 6AB CD BC AD= = = =，四边形ABCD的周长 183262 3.（在四边形ABCD中，D=60，B比A大20，C是A的2倍，求A，B，C的大小【关键词】多边形的内角和【答案】设（度），则，根据四边形内角和定理得， 解得， 4（如图，是四边形的对角线上两点，求证：（1）（2）四边形是平行四边形【关键词】平行四边形的性质,判定【答案】证明：（1），又，（2）由（1）知，四边形是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）5）25如图13-1，在边长为5的正方形中，点、分别是、边上的点，且
3、，.（1）求的值；（2）延长交正方形外角平分线（如图13-2），试判断的大小关系，并说明理由；（3）在图13-2的边上是否存在一点，使得四边形是平行四边形？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由【关键词】平行四边形的判定【答案】解：（1）四边形ABCD为正方形四 边 形 是 平 行 四 边 形 解法：在边上存在一点，使四边形是平行四边形证明：在边上取一点，使，连接、四边形为平行四边形6（2009年广州市）如图9，在ABC中，D、E、F分别为边AB、BC、CA的中点。证明：四边形DECF是平行四边形。【关键词】平行四边形的判定【答案】D.E、F分别为AB.BC.CA的中点，DFBC，DEAC，
4、四边形DECF是平行四边形.7（2009年包 ） 知二 （）的图 经 点， 线（） 交 点（1）求二 的解 ；（2）在 线（）上 一点（点在 四 ），使得为 点的三角形 为 点的三角形相 ，求点 （ 的 ）；（3）在（2） 的 ， 线上是否存在一点，使得四边形为平行四边形？若存在，请求的值四边形的；若不存在，请说明理由【关键词】二 、相 三角形、currency1、 线解：（1）根据题，得解得 （2）“，得，“，得，点在 四 ，“，得，点在 四 ，（3）设 线上存在一点，使得四边形为平行四边形，则，点的fi 为，“点的 为，点的 为，点在 线的图 上，（fl ），“点的 为，点的 为，点在 线
5、的图 上，（fl ），注：各 的其 解法或 法可 照 分 准 分题 证 给（年”） 知：如图在中， 对角线的中点 线分别交的延长线、AB、DC、BC的延长线 点E、M、N、F。（1）图形并 一对等三角形：_，请 证明；（2）在（1）中 的一对等三角形，中一三角形由一三角形经 的得？【关键词】四边形、等三角形、 （1）；证 明 ： 四 边 形 是 平 行 四 边 形又证 明 ： 四 边 形 是 平 行 四 边 形又；证 明 ： 四 边 形 是 平 行 四 边 形又（2）点 得 点为中对 得 8分(2009年 州)在给的 方 中， 小正方形的边长 是 求 平行四边形，使的四 点 对角线交点 在方
6、的 点上在图 中 一平行四边形，使的周长是 ； 在图 中 一平行四边形，使的周长不是 ：图 、图 在答题 上 【关键词】平行四边形的性质，判定【答案】解：（ ）（）10（2009年中）在中，为 ，（1）求的 （ 的 ）；（2）“取 值， 相【关键词】 平行四边形证明线相等【答案】（1）分别 两点， 分别为点，点，是的 四边形是平行四边形，在中，CD的 PF为（2），为的 ，且，“， 相 点，即，“， 相11 年 市 （ 题分 8 分）如图：点 A.D.B.E 在 一 线上，AD=BE，AC=DF，ACDF，请 图中 一 E相等的角，并 证明（不 的 线）【关键词】平行四边形的判定【答案】解法1
7、：图中CBAE 证明：ADBEADDBBEDB即ABDE ACDF AFDE 又ACDFABCDEF CBAE 解法2：图中FCBE 证明：ACDF，ACDF四边形ADFC是平行四边形 CFAD，CFAD ADBE CF BE，CFBE 四边形BEFC是平行四边形 FCBE 12（2009年 市）如图，在 形ABCD中，点由B 沿BD方向匀速，速度为1cm/s； ，线EF由DC 沿DA方向匀速，速度为1cm/s，交 Q，连接PE若设间为（s）（）解答 列问题：（1）“为 值，？（2）设的为（cm2），求 之间的 关系 ；（3）是否存在某一刻，使？若存在，求此的值；若不存在，说明理由（4）连接，
8、在上述 程中，五边形的是否 生currency1？说明理由【关键词】等三角形的性质 判定、相 三角形判定和性质、平行四边形 关的计算【答案】解：（1）而，“（2）平行且等 ，四边形是平行四边形，B，交 ， ，交 ，又，（3）若，则 ，解得（4）在和中，在 程中，五边形的不13 (2009年达州)如图10，O的弦ADBC, 点D的线交BC的延长线 点E，ACDE交BD 点H，DO延长线分别交AC.BC 点G、F.(1)求证：DF 平分AC；（2）求证：FCCE；（3）若弦AD5，AC8，求O的半 . 【关键词】,平行四边形,勾股定理【答案】（1）DE是O的线，且DF ODF DE又AC DEDF
9、 ACDF 平分AC （2）由（1）知：AG=GC又AD BCDAG= FCG又AGD= CGFAGD CGF （ASA）AD=FCAD BC 且AC DE四边形ACED是平行四边形AD=CEFC=CE5分（3）连结AO； AG=GC，AC=8cm，AG=4cm在Rt AGD 中，由勾股定理得 GD=AD2-AG2=52-42=3cm 设的半 为r，则AO=r，OG=r-3在Rt AOG 中，由勾股定理得 AO2=OG2+AG2：r2=(r-3)2+42解得 r=256 O的半 为256cm.经典例题（附带答案2）例 一平行四边形的一内角是邻角的3倍，那么这平行四边形的四内角各是多少度？分 根
10、据平行四边形的对角相等，邻角互补 求四内角的度 解 设平行四边形的一内角的度 为x，则的邻角的度 为3x，根据题，得 ，解得 ， 这平行四边形的四内角的度 分别为45， 35，45， 35例 知：如图， 的周长为6cm，对角线AC、BD相交 点O，的周长比 的周长多 cm，求这平行四边形各边的长分 由平行四边形对边相等，知 平行四边形周长的一半3cm，又由 的周长比 的周长多 cm，知 cm，由此两，求得各边的长解 四边形 为平行四边形， ， ， 答：这平行四边形各边长分别为 cm， cm， cm， cm说明：学习 题 得两结论：（ ）平行四边形两邻边之和等 平行四边形周长的一半（）平行四边形
11、被对角线分 四小三角形，相邻两三角形周长之差等 邻边之差例 3 知：如图，在 中， 交 点O， O点EF交AB、CD E、F，那么OE、OF是否相等，说明理由分 图形， ， 而说明 证明 在 中， 交 O， ， ， ， 例4 知：如图，点E在矩形ABCD的边BC上，且 ， 为F。求证： 分 图形， 是 角三角形，且锐角，斜边 ，因此这两 角三角形等。在这图形中，若连结AE，则 等，因此 确定图中许多 的相等关系。证明 四边形ABCD是矩形， ， ，又 ， 。 例5 O是 ABCD对角线的交点， 的周长为5， ，则 _，若 的周长之差为 5，则 _，ABCD的周长=_. 解答： ABCD中， ，
12、 . 的周长 . 在 ABCD中， . 的周长 的周长 ABCD的周长说明： 题考查平行四边形的性质，解题关键是将 的周长的差currency1为两 线的差. 例6 知：如图， ABCD的周长是 ，由钝角 点D向AB，BC引两 高DE，DF，且 ， . 求这平行四边形的. 解答：设 . 四边形ABCD为平行四边形， . 又四边形ABCD的周长为36， ， 解由，组 的方程组，得 . . 说明： 题考查平行四边形的性质公 ，解题关键是把几 问题currency1为方程组的问题. 经典例题（附带详细答案3）例1 （2006年河北）如图1，平行四边形ABCD中，AD=5，AB=3，AE平分BAD交B
13、C边 点E，则线BE、EC的长度分别是（ ）。A、2和3 B、3和2 C、4和1 D、1和4解 ：因四边形ABCD是平行四边形，故AD/BC，AD=BC。 DAE= BEA 。又AE平分BAD，故BAE= DAE= BEA 。 AB=BE=3，CE=53=2。故选B。例2 （2006年枣庄市）如图2，平行四边形ABCD中，对角线AC和BD相交 点O，如果AC=12，BD=10，AB=m，那么m的取值范围是（ ）A、10m12 B、2m22 C、1m11 D、5m6解 ：因四边形ABCD是平行四边形，故 AO=CO，DO=BO，又AC=12，BD=10，则AO=6，BO=5。故65m6+5，即1
14、m11。故选C。例3 （2006年北京市海淀区）如图3，平行四边形ABCD中，E、F分别是BC和AD上的点，并且BE=DF。求证：。证明：因四边形 ABCD 是平行四边形，故 AB=CD，B= D 。又 BE=DF， ABE CDF （SAS）。点：平行四边形具 性质：两组对边分别平行；两组对边分别相等；两组对角分别相等；对角线互相平分。二、考查平行四边形的判定例4 （2006年攀枝花市）如图4，AD=BC， 使四边形ABCD是平行四边形，还需补充的一 是_。解 ：选择AD/BC，AB=CD，A+ B=80 ，C+ D=180 等 中的一。此题是答案不唯一的开放题，的 灵活多，主 考查平行四边
15、形的判定方法。例5 如图5，四边形ABCD中，AB/DC、E是BC的中点，AE、DC的延长线相交 点F，连接AC、BF。四边形ABFC是什么四边形？说明的理由。解 ：因AB/DC，故CFA= BAF 。又E是BC的中点，故CE=BE。又CEF= BEA ，则CEF BEA 。则EF=EA。故四边形ABFC是平行四边形。点：平行四边形的判定方法 很多：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形。证明四边形是平行四边形， 根据题目给的 图形的特点，选择适
16、“的判定方法。三、考查性质 判定的综合应 例6 如图6，在平行四边形ABCD中，点E、F在BD上，且BF=DE。（1）写图中 认为等的三角形；（2）延长AE交BC的延长线 点G，延长CF交DA的延长线 点H（请补图形），并证明四边形AGCH是平行四边形。解 ：（1）图中等的三角形 ABE CDF ，AED CFB ，ABD CDB 。（2）补的图形如图7 。因四边形ABCD是平行四边形，故 AB/CD，AB=CD，ABD= CDB 。又BF=DE，故BF+FE=DE+FE，即BE=DF。 ABE CDF ，故AEB= DFD ，HC/AG。又HA/CG，故四边形AGCH是平行四边形。点：平行四边形是一种重 的四边形，中考中 之相关的试题较多。此题综合考查了平行四边形的性质、平行四边形的判定等三角形等知识。（1） 先 图中 的三角形，然根据三角形等的 平行四边形的特征进行分 判断。（2）是补图证明题，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键。
