1、 1 圆 圆的有关概念与性质 1.圆上各点到圆心的距离都等于 半径 。 2.圆是 轴 对称图形,任何一条直径所在的直线都是它的 对称轴 ;圆又是 中心 对称图形, 圆心 是它的对称中心。 3.垂直于弦的直径平分 这条弦 ,并且平分 弦所对的弧 ;平分弦(不是直径)的 直径 垂直于弦,并且平分 弦所对的弧 。 4.在同圆或等圆中,如果两个圆心角,两条弧,两条弦,两条弦心距,两个圆周角中有一组量 相等 ,那么它们所对应的其余各组量都分别 相等 。 5.同弧或等弧所对的圆周角 相等 ,都等于它所对的圆心角的 一半 。 6.直径所对的圆周角是 90 , 90所对的弦是 直径 。 7.三角形的三个顶点确
2、定 1 个圆,这个圆叫做三角形的外接圆,三角形的外接圆的圆心叫 外 心,是三角形 三边垂直平分线 的交点。 8.与三角形各边都相切的圆叫做三角形的 内切圆 ,内切圆的圆心是三角形 三条角平分线的交点 的交点,叫做三角形的 内心 。 9.圆内接四边形:顶点都在圆上的四边形,叫圆内接四边形 10.圆内接四边形对角互补,它的一个外角等于它相邻内角的对角 与圆有关的位置关系 1.点与圆的位置关系共有三种: 点在圆外 , 点在圆上 , 点在圆内 ;对应的点到圆心的距离 d 和半径 r 之间的数量关系分别为: d r, d = r, d r. 3.圆与 圆的位置关系共有五种: 内含 , 相内切 , 相交
3、, 相外切 , 外离 ; 两圆的圆心距 d和两圆的半径 R、 r( R r)之间的数量关系分别为: d R+r. 4.圆的切线 垂直于 过切点的半径;经过 直径 的一端,并且 垂直于 这条 直径 的直线是圆的切线 . 5.从圆外一点可以向圆引 2 条切线, 切线长 相等,这点与圆心之间的连线 平分 这两条切线的夹角。 与圆有关的计算 1.圆的周长为 2 r , 1 的圆心角所对的弧长为 180r , n 的圆心角所对的弧长 为 180rn ,弧长公式为 180rnl n 为圆心角的度数上为圆半径 ) . 2. 圆的面积为 r2 , 1 的圆心角所在的扇形面积为 3602r , n 的圆心角所在
4、的扇形面积为 S= 360n 2 2R = rl21 (n 为圆心角的度数 ,R 为圆的半径) . 3.圆柱的侧面积公式: S= 2 r l (其中 为 底面圆 的半径 , 为 圆柱 的高 .) 4. 圆锥的侧面积公式: S= (其中 为 底面 的半径 , l 为 母线 的长 .) 圆锥的侧面积与底面积之和称为圆锥的全面积 圆单元测试 一、选择题 (本大题共 10 小题,每小题 3 分,共计 30 分 ) 1下列命题:长度相等的弧是等弧 任意三点确定一个圆 相等的圆心角所对的弦相等 外心 , 在三角形的一条边上的三角形是直角三角形,其中真命题共有 ( ) A.0 个 B.1 个 C.2 个 D
5、.3 个 2同一平面内两圆的半径是 R和 r,圆心距是 d,若以 R、 r、 d 为边长,能围成一 个三角形,则这两个圆的位置关系是 ( ) A.外离 B.相切 C.相交 D.内含 3如图,四边形 ABCD 内接于 O,若它的一个外角 DCE=70,则 BOD=( ) A.35 B.70 C.110 D.140 4如图, O的直径为 10,弦 AB的长为 8, M 是弦 AB上的动点,则 OM 的长的取值范围 ( ) A.3 OM 5 B.4 OM 5 C.3 OM 5 D.4 OM 5 5如图, O的直径 AB与弦 CD 的延长线交于点 E,若 DE=OB, AOC=84, 则 E等于 (
6、) A.42 B.28 C.21 D.20 6如图, ABC 内接于 O, AD BC 于点 D, AD=2cm, AB=4cm, AC=3cm,则 O的直径是 ( ) A.2cm B.4cm C.6cm D.8cm 7如图,圆心角都是 90的扇形 OAB 与扇形 OCD 叠放在一起, OA=3, OC=1,分别连结 AC、 BD,则图中阴影部分 的面积为 ( ) A. B. C. D. 8已知 O1与 O2外切于点 A, O1的半径 R=2, O2的半径 r=1,若半径为 4的 C与 O1、 O2都相切,则满3 足条件的 C有 ( ) A.2 个 B.4 个 C.5 个 D.6 个 9设 O
7、的半径为 2,圆心 O到直线 的距离 OP=m,且 m使得关于 x 的方程有实数根,则直线 与 O 的位置关系为 ( ) A.相离或相切 B.相切或相交 C.相离或相交 D.无法确定 10如图,把直角 ABC 的斜边 AC放在定直线 上,按顺时针的方向在直线 上转动两次,使它转到 A2B2C2的位置,设 AB= , BC=1,则顶点 A运动到点 A2的位置时,点 A 所经过的路线为 ( ) A. B. C. D. 二、填空题 (本大题共 5 小题,每小 4 分,共计 20 分 ) 11 (山西 )某圆柱形网球筒,其底面直径是 10cm,长为 80cm,将七个这样的网球筒如图所示放置并包装侧面,
8、则需 _的包装膜 (不计接缝, 取 3). 12 (山西 )如图,在“世界杯”足球比赛中,甲带球向对方球门 PQ进攻,当他带球冲到 A点时,同样乙已经助攻冲到 B点 .有两种射门方式:第一种是甲直接射门;第二种是甲将球传给乙,由乙射门 .仅从射门角度考虑,应选择 _种射门方式 . 13.如果圆的内接正六边形的边长为 6cm,则其外接圆的半径为 _. 14 (北京 )如图,直角坐标系中一条圆弧经过网格点 A、 B、 C,其中, B 点坐标 为 (4, 4),则该圆弧所在圆的圆心坐标为 _. 15如图,两条互相垂直的弦将 O 分成四部分,相对的两部分面积之和分别 记为 S1、 S2,若圆心到两弦的
9、距离分别为 2和 3,则 |S1-S2|=_. 三、解答题 (16 21题,每题 7 分, 22 题 8 分,共计 50 分 ) 16 (丽水 )为了探究三角形的内切圆半径 r与周长 、面积 S之间的关系,在数学实验活动中,选取等边三角形 (图甲 )和直角三角形 (图乙 )进行研究 . O是 ABC 的内切圆,切点分别为点 D、 E、 F. (1)用刻度尺分别量出表中未度量的 ABC 的长,填入空格处,并计算出周长 和面积 S.(结果精确到 0.1 厘米 ) AC BC AB r S 图甲 0.6 图乙 1.0 (2)观察图形,利用上表实验数据分析 .猜测特殊三角形的 r与 、 S 之间关系,
10、并证明这种关系对任意三角形 (图丙 )是否也成立 ? 4 17 (成都 )如图,以等腰三角形 的一腰 为直径的 O交底边 于点 ,交 于点 ,连结,并过点 作 ,垂足为 .根据以上条件写出三个正确结论 (除外 )是: (1)_; (2)_; (3)_. 18 (黄冈 )如图,要在直径为 50 厘米的圆形木板上截出四个大小相同的圆形凳面 .问怎样才能截出直 径最大的凳面,最大直径是多少厘米? 19 (山西 )如图是一纸杯,它的母线 AC 和 EF 延长后形成的立体图形是圆锥,该圆锥的 侧面展开图形是扇形 OAB.经测量,纸杯上开口圆的直径是 6cm,下底面直径为 4cm,母线长 为 EF=8cm
11、.求扇形OAB 的圆心角及这个纸杯的表面积 (面积计算结果用 表示 ) . 20如图,在 ABC 中, BCA =90,以 BC 为直径的 O交 AB 于 点 P, Q 是 AC 的中点 .判断直线 PQ 与 O 的位置关系,并说明理由 . 21 (武汉 )有这样一道习题:如图 1,已知 OA 和 OB 是 O的半径,并且 OA OB, P是 OA上任一点 (不与 O、 A重合 ), BP的延长线交O 于 Q,过 Q 点作 O 的切线交 OA的延长线于 R.说明: RP=RQ. 请探究下列变化: 变化一 :交换题设与结论 . 已知:如图 1, OA 和 OB 是 O的半径,并且 OA OB,
12、P是 OA上任一点 (不与 O、 A 重合 ), BP 的延长线交 O 于 Q, R 是 OA 的延 长线上一点,且 RP=RQ. 说明: RQ为 O的切线 . 变化二 :运动探求 . (1)如图 2,若 OA 向上平移, 变化一中的结论还成立吗? (只需交待判断 ) 答: _. (2)如图 3,如果 P在 OA的延长线上时, BP 交 O于 Q,过点 Q作 O的切线交 OA 的延长线于 R,原题中的结 论还成立吗?为什么? 5 22 (深圳南山区 )如图,在平面直角坐标系中,矩形 ABCO 的面积为 15,边 OA 比 OC大 2.E 为 BC 的中点,以 OE 为直径的 O交 轴于 D点,
13、过点 D 作 DF AE 于点 F. (1)求 OA、 OC 的长; (2)求证: DF 为 O的切线; (3)小明在解答本题时,发现 AOE 是等腰三角形 .由此,他断定:“直线 BC 上一定存在除点 E以外的点 P,使 AOP也是等腰三角形,且点 P一定在 O外” .你同意他的看法 吗?请充分说明理由 . 三角形 . 一、选择题(每小题 3 分,共 45 分 ) 1在 ABC 中, C=90, AB 3cm, BC 2cm,以点 A 为圆心,以 2.5cm 为半径作圆,则点 C 和 A 的位置关系是( )。 A C 在 A 上 C 在 A 外 C C 在 A 内 C 在 A 位置不能确定。
14、 2一个点到圆的最大距离为 11cm,最小距离为 5cm,则圆的半径为( )。 A 16cm 或 6cm 3cm 或 8cm C 3cm 8cm 3 AB 是 O 的弦, AOB 80则弦 AB 所对的圆周角是( ) 。 A 40 140或 40 C 20 20或 160 4 O 是 ABC 的内心, BOC 为 130,则 A 的度数为( )。 A 130 60 C 70 80 5如图 1, O 是 ABC 的内切圆,切点分别是 D、 E、 F,已知 A = 100, C = 30,则 DFE 的度数是( )。 A 55 60 C 65 70 6如图 2,边长为 12 米的正方形池塘的周围是
15、草地,池塘边 A、 B、 C、 D 处各有一棵树,且 AB=BC=CD=3 米现用长 4 米的绳子将一头羊拴在其 中的一棵树上为了使羊在草地上活动区域的面积最大,应将绳子拴在 ( )。 A A 处 B B 处 C C 处 D D 处 6 图 1 图 2 7 已知两圆的半径分别是 2 和 4,圆心距是 3,那么这两圆的位置是( )。 A 内含 内切 C 相交 外切 8已知半径为 R 和 r 的两个圆相外切。则它的外公切线长为( )。 A R r R2+r2 C R+r 2 Rr 9已知圆锥的底面半径为 3,高为 4,则圆锥的侧面积为( )。 10 B 12 15 20 10如果在一个顶点周围用两
16、个正方形和 n 个正三角形恰好可以进行平面镶嵌, 则 n 的值是( )。 A 3 B 4 C 5 D 6 11下列语句中不正确的有( )。 相等的圆心角所对的弧相等 平分弦的直径垂直于弦 圆是轴对称图形,任何一条直径都是它的对称轴 长度相等的两条弧是等弧 A 3 个 2 个 C 1 个 4 个 12先作半径为 23 的第一个圆的外切正六边形,接着作上述外切正 六边形的外接圆,再作上述外接圆的外切正六边形,则按以上规律作出的第 8 个外切正六边形的边长为( )。 A 7)332( 8)332( C 7)23( 8)23( 13如图 3, ABC 中, C=90, BC=4, AC=3, O 内切
17、于 ABC ,则阴影部分面积为 ( ) A 12- 12-2 C 14-4 6- 14如图 4,在 ABC 中, BC 4,以点 A 为圆心、 2 为半径的 A 与 BC 相切于点 D,交 AB 于 E,交 AC 于 F,点 P 是A 上的一点,且 EPF 40,则图中阴影部分的面积是( )。 A 4 94 B 4 98 C 8 94 D 8 98 15如图 5,圆内接四边形 ABCD 的 BA、 CD 的延长线交于 P, AC、 BD 交于 E,则图中相似三角形有( )。 A 2 对 3 对 C 4 对 5 对 图 3 图 4 图 5 二、填空题(每小题 3 分,共 30 分) 1两圆相切,
18、圆心距为 9 cm,已知其中一圆半径为 5 cm,另一圆半径为 _. 2两个同心圆,小圆的切线被大圆截得的部分为 6,则两圆围成的环形面积为 _。 3边长为 6 的正三角形的外接圆和内切圆的周长分别为 _。 4同圆的外切正六边形与内接正六边形的面积之比为 _。 5矩形 ABCD 中,对角线 AC 4, ACB 30,以直线 AB 为轴旋转一周得到圆柱的表面积是 _。 6.扇形的圆心角度数 60,面积 6,则扇形的周长为 _。 7圆的半径为 4cm,弓形弧的度数为 60,则弓形的面积 为 _。 8 在半径为 5cm 的圆内有两条平行弦,一条弦长为 6cm,另一条弦长为 8cm,则两条平行弦之间的
19、距离为 _。 9 如图 6, ABC 内接于 O , AB=AC, BOC=100 , MN 是过 B 点而垂直于 OB 的直线,则 ABM=_ , CBN=_ ; 7 10如图 7,在矩形 ABCD 中,已知 AB=8 cm,将矩形绕点 A 旋转 90,到达 A B C D的位置,则在转过程 中,边CD 扫过的 (阴影部分 )面积 S=_。 图 6 图 7 三、解答下列各题(第 9 题 11 分,其余每小题 8分,共 75 分) 1如图, P 是 O 外一点, PAB、 PCD 分别与 O 相交于 A、 B、 C、 D。 (1)PO 平分 BPD; (2)AB=CD; (3)OE CD, O
20、F AB; (4)OE=OF。 从中选出两个作为条件,另两个作为结论 组成一个真命题,并加以证明。 A B P O E FCD 2如图, O1的圆心在 O 的圆周上, O 和 O1交于 A, B, AC 切 O 于 A,连结 CB, BD 是 O 的直径, D 40求: A O1B、 ACB 和 CAD 的度数。 3已知:如图 20,在 ABC 中, BAC=120, AB=AC, BC=4 3 ,以 A 为圆心, 2 为半径作 A,试问:直线 BC 与 A的关系如何?并证明你的结论。 A B C 4如图, ABCD 是 O 的内接四边形, DP AC,交 BA 的延长线于 P,求证: AD
21、DC PA BC。 5如图 ABC 中 A 90,以 AB 为直径的 O 交 BC 于 D, E为 AC边中点,求证: DE 是 O的切线。 PA BCDO8 6如图,已知扇形 OACB 中, AOB 120,弧 AB 长为 L 4, O和弧 AB、 OA、 OB 分别相切于点 C、 D、 E,求 O的周长。 7如图,半径为 2 的正三角形 ABC 的中心为 O,过 O 与两个顶点画弧,求这三条弧所围成的阴影部分的面积。 8如图, ABC 的 C Rt, BC 4, AC 3,两个外切的等圆 O1, O2各与 AB,AC, BC 相切于 F, H, E, G,求两圆的半径。 9图是用钢丝制作的
22、一个几何探究具,其中 ABC 内接于 G, AB 是 G 的直径, AB 6, AC 3现将制作的几何探究工具放在平面直角坐标系中(如图),然后点 A 在射线 OX 由点 O 开始向右滑动,点 B 在射线 OY 上也随之向点 O 滑动(如图),当点 B 滑动至与点 O 重合时运动结束 ( 1)试说明在运动过程中,原点 O 始终在 G 上; ( 2)设点 C 的坐标为( x , y ),试求 y 与 x 之间的函 数关系式 ,并写出自变量 x 的取值范围; ( 3)在整个运动过程中,点 C 运动的路程是多少? 图 图 图 B 组 一、选择题(每小题 3 分,共 24 分) 1如图,把一个量角器放
23、置在 BAC 的上面,则 BAC 的度数是( ) ( A) 30o( B) 60o( C) 15o( D) 20o 9 OPyx(第 1 题) (第 2 题) (第 3 题) 2如图,实线部分是半径为 9m 的两条等弧组成的游泳池若每条圆弧所在的圆都 经过另一个圆的圆心,则游泳池的周长为( ) ( A) 12 m( B) 18 m( C) 20 m( D) 24 m 3如图, P( x , y )是以坐标原点为圆心, 5 为半径的圆周上的点,若 x , y 都是整数,则这样的点共有( ) ( A) 4( B) 8( C) 12( D) 16 4 用一把带有刻度尺的直角尺 , ( 1) 可以画出
24、两条平行的直线 a 和 b, 如图 ; ( 2) 可以画出 AOB 的平分线 OP,如图 ; ( 3) 可以检验工件的凹面是否为半圆 , 如图 ; ( 4) 可以量出一个圆的半径 , 如图 这四种说法正确的有 ( ) 图 图 图 图 ( A) 4 个( B) 3 个( C) 2 个( D) 1 个 5如图,这是中央电视台“曲苑杂谈”中的一幅图案,它是一扇形,其中 AOB 为 120o, OC 长为 8cm, CA 长为 12cm,则阴影部分的面积为( ) ( A) 264 cm ( B) 2112 cm ( C) 2114 cm ( D) 2152 cm (第 5 题) (第 6 题) (第
25、7 题) 6如图,小华从一个圆形场地的 A 点出发,沿着与半径 OA 夹角为 的方向行走,走到场地边缘 B 后,再沿与半径OB 夹角为 的方向折向行走按照这种方式,小华第五次走到场地边缘时处于弧 AB 上,此时 AOE 56o,则 的度数是( ) ( A) 52o( B) 60o( C) 72o( D) 76o 7小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了,其中四块碎片如图所示,为配到与原来大小一样的圆形玻璃,小明带到商店去的一块玻璃片应该是( ) ( A)第块( B)第块( C)第块( D)第块 8已知圆锥的底面半径为 1cm,母线长为 3cm,则其全面积为( ) ( A) ( B) 3 ( C) 4
26、( D) 7 二、填空题(每小题 3 分,共 18 分) 9某单位拟建的大门示意图如图所示,上部是一段直径为 10 米的圆弧形,下部是矩形 ABCD,其中 AB 3.7 米, BC 6 米,则 弧 AD 的中点到 BC 的 距离是 _米 321321Oyx1(第 9 题) (第 10 题) (第 11 题) 10如图,一宽为 2cm 的刻度尺在圆上移动,当刻度尺的一边与圆相切时,另一边与圆两个交点处的读数恰好为“ 2”和“ 8”(单位: cm),则该圆的半径为 _cm 10 11如图, 1 的正切值等于 _ 12一个小熊的头像如图所示图中反映出圆与圆的四种位置关系,但是其中有一种位置关系没有反
27、映出来请你写出这种位置关系,它是 _ (第 12 题) (第 13 题) (第 14 题) 13如 图, U 型池可以看作一个长方体去掉一个“半圆柱”而成,中间可供滑行部分的截面是半径为 4m 的半圆,其边缘 AB CD 20m,点 E 在 CD 上, CE 2m,一滑板爱好者从 A 点滑到 E 点,则他滑行的最短距离约为_m(边缘部分的厚度忽略不计,结果保留整数) 14 三个直立于水平面上的形状完全相同的几何体(下底面为圆面,单位: cm)如图所示则三个几何体的体积和为 cm3(计算结果保留 ) 三、解答题(每小题 6 分,共 18 分 ) 15如图, AB 为 O 直径, BC 切 O 于 B, CO 交 O 交于 D, AD 的延长线交 BC 于 E,若 C = 25,求 A 的度数 16 如图, AB 是 OD 的弦,半径 OC、 OD 分别交 AB 于点 E、 F,且 AE BF,请你找出线段 OE 与 OF 的数量关系,并给予证明 17如图, P 为正比例函数 xy 23 图象上的一个动点, P 的半径为 3,设点 P 的坐标为( x , y ) ( 1)求 P 与直线 2x 相切时点 P 的坐标; ( 2)请直接写出 P 与直线 2x 相交、相离时 x 的取值范围 四、解答题(每小题 8 分,共 24 分)