1、 1 圆 圆的有关概念与性质 1.圆上各点到圆心的距离都等于 半径 。 2.圆是 轴 对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的 对称轴 ；圆又是 中心 对称图形， 圆心 是它的对称中心。 3.垂直于弦的直径平分 这条弦 ，并且平分 弦所对的弧 ；平分弦（不是直径）的 直径 垂直于弦，并且平分 弦所对的弧 。 4.在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，两个圆周角中有一组量 相等 ，那么它们所对应的其余各组量都分别 相等 。 5.同弧或等弧所对的圆周角 相等 ，都等于它所对的圆心角的 一半 。 6.直径所对的圆周角是 90 ， 90所对的弦是 直径 。 7.三角形的三个顶点确
2、定 1 个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，三角形的外接圆的圆心叫 外 心，是三角形 三边垂直平分线 的交点。 8.与三角形各边都相切的圆叫做三角形的 内切圆 ，内切圆的圆心是三角形 三条角平分线的交点 的交点，叫做三角形的 内心 。 9.圆内接四边形：顶点都在圆上的四边形，叫圆内接四边形 10.圆内接四边形对角互补，它的一个外角等于它相邻内角的对角 与圆有关的位置关系 1.点与圆的位置关系共有三种： 点在圆外 ， 点在圆上 ， 点在圆内 ；对应的点到圆心的距离 d 和半径 r 之间的数量关系分别为： d r， d = r， d r. 3.圆与 圆的位置关系共有五种： 内含 ， 相内切 ， 相交
3、， 相外切 ， 外离 ； 两圆的圆心距 d和两圆的半径 R、 r（ R r）之间的数量关系分别为： d R+r. 4.圆的切线 垂直于 过切点的半径；经过 直径 的一端，并且 垂直于 这条 直径 的直线是圆的切线 . 5.从圆外一点可以向圆引 2 条切线， 切线长 相等，这点与圆心之间的连线 平分 这两条切线的夹角。 与圆有关的计算 1.圆的周长为 2 r ， 1 的圆心角所对的弧长为 180r ， n 的圆心角所对的弧长 为 180rn ，弧长公式为 180rnl n 为圆心角的度数上为圆半径 ) . 2. 圆的面积为 r2 ， 1 的圆心角所在的扇形面积为 3602r ， n 的圆心角所在
4、的扇形面积为 S= 360n 2 2R = rl21 (n 为圆心角的度数 ,R 为圆的半径） . 3.圆柱的侧面积公式： S= 2 r l （其中 为 底面圆 的半径 ， 为 圆柱 的高 .） 4. 圆锥的侧面积公式： S= （其中 为 底面 的半径 ， l 为 母线 的长 .） 圆锥的侧面积与底面积之和称为圆锥的全面积 圆单元测试 一、选择题 (本大题共 10 小题，每小题 3 分，共计 30 分 ) 1下列命题：长度相等的弧是等弧 任意三点确定一个圆 相等的圆心角所对的弦相等 外心 , 在三角形的一条边上的三角形是直角三角形，其中真命题共有 ( ) A.0 个 B.1 个 C.2 个 D
5、.3 个 2同一平面内两圆的半径是 R和 r，圆心距是 d，若以 R、 r、 d 为边长，能围成一 个三角形，则这两个圆的位置关系是 ( ) A.外离 B.相切 C.相交 D.内含 3如图，四边形 ABCD 内接于 O，若它的一个外角 DCE=70，则 BOD=( ) A.35 B.70 C.110 D.140 4如图， O的直径为 10，弦 AB的长为 8， M 是弦 AB上的动点，则 OM 的长的取值范围 ( ) A.3 OM 5 B.4 OM 5 C.3 OM 5 D.4 OM 5 5如图， O的直径 AB与弦 CD 的延长线交于点 E，若 DE=OB， AOC=84， 则 E等于 (
6、) A.42 B.28 C.21 D.20 6如图， ABC 内接于 O， AD BC 于点 D， AD=2cm， AB=4cm， AC=3cm，则 O的直径是 ( ) A.2cm B.4cm C.6cm D.8cm 7如图，圆心角都是 90的扇形 OAB 与扇形 OCD 叠放在一起， OA=3， OC=1，分别连结 AC、 BD，则图中阴影部分 的面积为 ( ) A. B. C. D. 8已知 O1与 O2外切于点 A， O1的半径 R=2， O2的半径 r=1，若半径为 4的 C与 O1、 O2都相切，则满3 足条件的 C有 ( ) A.2 个 B.4 个 C.5 个 D.6 个 9设 O
7、的半径为 2，圆心 O到直线 的距离 OP=m，且 m使得关于 x 的方程有实数根，则直线 与 O 的位置关系为 ( ) A.相离或相切 B.相切或相交 C.相离或相交 D.无法确定 10如图，把直角 ABC 的斜边 AC放在定直线 上，按顺时针的方向在直线 上转动两次，使它转到 A2B2C2的位置，设 AB= ， BC=1，则顶点 A运动到点 A2的位置时，点 A 所经过的路线为 ( ) A. B. C. D. 二、填空题 (本大题共 5 小题，每小 4 分，共计 20 分 ) 11 (山西 )某圆柱形网球筒，其底面直径是 10cm，长为 80cm，将七个这样的网球筒如图所示放置并包装侧面，
8、则需 _的包装膜 (不计接缝， 取 3). 12 (山西 )如图，在“世界杯”足球比赛中，甲带球向对方球门 PQ进攻，当他带球冲到 A点时，同样乙已经助攻冲到 B点 .有两种射门方式：第一种是甲直接射门；第二种是甲将球传给乙，由乙射门 .仅从射门角度考虑，应选择 _种射门方式 . 13.如果圆的内接正六边形的边长为 6cm，则其外接圆的半径为 _. 14 (北京 )如图，直角坐标系中一条圆弧经过网格点 A、 B、 C，其中， B 点坐标 为 (4， 4)，则该圆弧所在圆的圆心坐标为 _. 15如图，两条互相垂直的弦将 O 分成四部分，相对的两部分面积之和分别 记为 S1、 S2，若圆心到两弦的
9、距离分别为 2和 3，则 |S1-S2|=_. 三、解答题 (16 21题，每题 7 分， 22 题 8 分，共计 50 分 ) 16 (丽水 )为了探究三角形的内切圆半径 r与周长 、面积 S之间的关系，在数学实验活动中，选取等边三角形 (图甲 )和直角三角形 (图乙 )进行研究 . O是 ABC 的内切圆，切点分别为点 D、 E、 F. (1)用刻度尺分别量出表中未度量的 ABC 的长，填入空格处，并计算出周长 和面积 S.(结果精确到 0.1 厘米 ) AC BC AB r S 图甲 0.6 图乙 1.0 (2)观察图形，利用上表实验数据分析 .猜测特殊三角形的 r与 、 S 之间关系，
10、并证明这种关系对任意三角形 (图丙 )是否也成立 ? 4 17 (成都 )如图，以等腰三角形 的一腰 为直径的 O交底边 于点 ，交 于点 ，连结，并过点 作 ，垂足为 .根据以上条件写出三个正确结论 (除外 )是： (1)_； (2)_； (3)_. 18 (黄冈 )如图，要在直径为 50 厘米的圆形木板上截出四个大小相同的圆形凳面 .问怎样才能截出直 径最大的凳面，最大直径是多少厘米？ 19 (山西 )如图是一纸杯，它的母线 AC 和 EF 延长后形成的立体图形是圆锥，该圆锥的 侧面展开图形是扇形 OAB.经测量，纸杯上开口圆的直径是 6cm，下底面直径为 4cm，母线长 为 EF=8cm
11、.求扇形OAB 的圆心角及这个纸杯的表面积 (面积计算结果用 表示 ) . 20如图，在 ABC 中， BCA =90，以 BC 为直径的 O交 AB 于 点 P， Q 是 AC 的中点 .判断直线 PQ 与 O 的位置关系，并说明理由 . 21 (武汉 )有这样一道习题：如图 1，已知 OA 和 OB 是 O的半径，并且 OA OB， P是 OA上任一点 (不与 O、 A重合 )， BP的延长线交O 于 Q，过 Q 点作 O 的切线交 OA的延长线于 R.说明： RP=RQ. 请探究下列变化： 变化一 ：交换题设与结论 . 已知：如图 1， OA 和 OB 是 O的半径，并且 OA OB，
12、P是 OA上任一点 (不与 O、 A 重合 )， BP 的延长线交 O 于 Q， R 是 OA 的延 长线上一点，且 RP=RQ. 说明： RQ为 O的切线 . 变化二 ：运动探求 . (1)如图 2，若 OA 向上平移， 变化一中的结论还成立吗？ (只需交待判断 ) 答： _. (2)如图 3，如果 P在 OA的延长线上时， BP 交 O于 Q，过点 Q作 O的切线交 OA 的延长线于 R，原题中的结 论还成立吗？为什么？ 5 22 (深圳南山区 )如图，在平面直角坐标系中，矩形 ABCO 的面积为 15，边 OA 比 OC大 2.E 为 BC 的中点，以 OE 为直径的 O交 轴于 D点，
13、过点 D 作 DF AE 于点 F. (1)求 OA、 OC 的长； (2)求证： DF 为 O的切线； (3)小明在解答本题时，发现 AOE 是等腰三角形 .由此，他断定：“直线 BC 上一定存在除点 E以外的点 P，使 AOP也是等腰三角形，且点 P一定在 O外” .你同意他的看法 吗？请充分说明理由 . 三角形 . 一、选择题（每小题 3 分，共 45 分 ） 1在 ABC 中， C=90， AB 3cm， BC 2cm,以点 A 为圆心，以 2.5cm 为半径作圆，则点 C 和 A 的位置关系是（ ）。 A C 在 A 上 C 在 A 外 C C 在 A 内 C 在 A 位置不能确定。
14、 2一个点到圆的最大距离为 11cm，最小距离为 5cm,则圆的半径为（ ）。 A 16cm 或 6cm 3cm 或 8cm C 3cm 8cm 3 AB 是 O 的弦， AOB 80则弦 AB 所对的圆周角是（ ） 。 A 40 140或 40 C 20 20或 160 4 O 是 ABC 的内心， BOC 为 130，则 A 的度数为（ ）。 A 130 60 C 70 80 5如图 1， O 是 ABC 的内切圆，切点分别是 D、 E、 F，已知 A = 100， C = 30，则 DFE 的度数是（ ）。 A 55 60 C 65 70 6如图 2，边长为 12 米的正方形池塘的周围是
15、草地，池塘边 A、 B、 C、 D 处各有一棵树，且 AB=BC=CD=3 米现用长 4 米的绳子将一头羊拴在其 中的一棵树上为了使羊在草地上活动区域的面积最大，应将绳子拴在 （ ）。 A A 处 B B 处 C C 处 D D 处 6 图 1 图 2 7 已知两圆的半径分别是 2 和 4，圆心距是 3，那么这两圆的位置是（ ）。 A 内含 内切 C 相交 外切 8已知半径为 R 和 r 的两个圆相外切。则它的外公切线长为（ ）。 A R r R2+r2 C R+r 2 Rr 9已知圆锥的底面半径为 3，高为 4，则圆锥的侧面积为（ ）。 10 B 12 15 20 10如果在一个顶点周围用两
16、个正方形和 n 个正三角形恰好可以进行平面镶嵌， 则 n 的值是（ ）。 A 3 B 4 C 5 D 6 11下列语句中不正确的有（ ）。 相等的圆心角所对的弧相等 平分弦的直径垂直于弦 圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴 长度相等的两条弧是等弧 A 3 个 2 个 C 1 个 4 个 12先作半径为 23 的第一个圆的外切正六边形，接着作上述外切正 六边形的外接圆，再作上述外接圆的外切正六边形，则按以上规律作出的第 8 个外切正六边形的边长为（ ）。 A 7)332( 8)332( C 7)23( 8)23( 13如图 3， ABC 中， C=90， BC=4， AC=3， O 内切
17、于 ABC ，则阴影部分面积为 ( ) A 12- 12-2 C 14-4 6- 14如图 4，在 ABC 中， BC 4，以点 A 为圆心、 2 为半径的 A 与 BC 相切于点 D，交 AB 于 E，交 AC 于 F，点 P 是A 上的一点，且 EPF 40，则图中阴影部分的面积是（ ）。 A 4 94 B 4 98 C 8 94 D 8 98 15如图 5，圆内接四边形 ABCD 的 BA、 CD 的延长线交于 P， AC、 BD 交于 E，则图中相似三角形有（ ）。 A 2 对 3 对 C 4 对 5 对 图 3 图 4 图 5 二、填空题（每小题 3 分，共 30 分） 1两圆相切，
18、圆心距为 9 cm，已知其中一圆半径为 5 cm，另一圆半径为 _. 2两个同心圆，小圆的切线被大圆截得的部分为 6，则两圆围成的环形面积为 _。 3边长为 6 的正三角形的外接圆和内切圆的周长分别为 _。 4同圆的外切正六边形与内接正六边形的面积之比为 _。 5矩形 ABCD 中，对角线 AC 4， ACB 30，以直线 AB 为轴旋转一周得到圆柱的表面积是 _。 6.扇形的圆心角度数 60，面积 6，则扇形的周长为 _。 7圆的半径为 4cm，弓形弧的度数为 60，则弓形的面积 为 _。 8 在半径为 5cm 的圆内有两条平行弦，一条弦长为 6cm，另一条弦长为 8cm，则两条平行弦之间的
19、距离为 _。 9 如图 6， ABC 内接于 O ， AB=AC， BOC=100 ， MN 是过 B 点而垂直于 OB 的直线，则 ABM=_ ， CBN=_ ； 7 10如图 7，在矩形 ABCD 中，已知 AB=8 cm，将矩形绕点 A 旋转 90，到达 A B C D的位置，则在转过程 中，边CD 扫过的 (阴影部分 )面积 S=_。 图 6 图 7 三、解答下列各题（第 9 题 11 分，其余每小题 8分，共 75 分） 1如图， P 是 O 外一点， PAB、 PCD 分别与 O 相交于 A、 B、 C、 D。 (1)PO 平分 BPD； (2)AB=CD； (3)OE CD， O
20、F AB； (4)OE=OF。 从中选出两个作为条件，另两个作为结论 组成一个真命题，并加以证明。 A B P O E FCD 2如图， O1的圆心在 O 的圆周上， O 和 O1交于 A， B， AC 切 O 于 A，连结 CB， BD 是 O 的直径， D 40求： A O1B、 ACB 和 CAD 的度数。 3已知：如图 20，在 ABC 中， BAC=120， AB=AC， BC=4 3 ，以 A 为圆心， 2 为半径作 A，试问：直线 BC 与 A的关系如何？并证明你的结论。 A B C 4如图， ABCD 是 O 的内接四边形， DP AC，交 BA 的延长线于 P，求证： AD
21、DC PA BC。 5如图 ABC 中 A 90，以 AB 为直径的 O 交 BC 于 D， E为 AC边中点，求证： DE 是 O的切线。 PA BCDO8 6如图，已知扇形 OACB 中， AOB 120，弧 AB 长为 L 4， O和弧 AB、 OA、 OB 分别相切于点 C、 D、 E，求 O的周长。 7如图，半径为 2 的正三角形 ABC 的中心为 O，过 O 与两个顶点画弧，求这三条弧所围成的阴影部分的面积。 8如图， ABC 的 C Rt， BC 4， AC 3，两个外切的等圆 O1， O2各与 AB，AC， BC 相切于 F， H， E， G，求两圆的半径。 9图是用钢丝制作的
22、一个几何探究具，其中 ABC 内接于 G， AB 是 G 的直径， AB 6， AC 3现将制作的几何探究工具放在平面直角坐标系中（如图），然后点 A 在射线 OX 由点 O 开始向右滑动，点 B 在射线 OY 上也随之向点 O 滑动（如图），当点 B 滑动至与点 O 重合时运动结束 （ 1）试说明在运动过程中，原点 O 始终在 G 上； （ 2）设点 C 的坐标为（ x ， y ），试求 y 与 x 之间的函 数关系式 ，并写出自变量 x 的取值范围； （ 3）在整个运动过程中，点 C 运动的路程是多少？ 图 图 图 B 组 一、选择题（每小题 3 分，共 24 分） 1如图，把一个量角器放
23、置在 BAC 的上面，则 BAC 的度数是（ ） （ A） 30o（ B） 60o（ C） 15o（ D） 20o 9 OPyx（第 1 题） （第 2 题） （第 3 题） 2如图，实线部分是半径为 9m 的两条等弧组成的游泳池若每条圆弧所在的圆都 经过另一个圆的圆心，则游泳池的周长为（ ） （ A） 12 m（ B） 18 m（ C） 20 m（ D） 24 m 3如图， P( x ， y )是以坐标原点为圆心， 5 为半径的圆周上的点，若 x ， y 都是整数，则这样的点共有（ ） （ A） 4（ B） 8（ C） 12（ D） 16 4 用一把带有刻度尺的直角尺 ， （ 1） 可以画出
24、两条平行的直线 a 和 b， 如图 ； （ 2） 可以画出 AOB 的平分线 OP，如图 ； （ 3） 可以检验工件的凹面是否为半圆 ， 如图 ； （ 4） 可以量出一个圆的半径 ， 如图 这四种说法正确的有 （ ） 图 图 图 图 （ A） 4 个（ B） 3 个（ C） 2 个（ D） 1 个 5如图，这是中央电视台“曲苑杂谈”中的一幅图案，它是一扇形，其中 AOB 为 120o， OC 长为 8cm， CA 长为 12cm，则阴影部分的面积为（ ） （ A） 264 cm （ B） 2112 cm （ C） 2114 cm （ D） 2152 cm （第 5 题） （第 6 题） （第
25、7 题） 6如图，小华从一个圆形场地的 A 点出发，沿着与半径 OA 夹角为 的方向行走，走到场地边缘 B 后，再沿与半径OB 夹角为 的方向折向行走按照这种方式，小华第五次走到场地边缘时处于弧 AB 上，此时 AOE 56o，则 的度数是（ ） （ A） 52o（ B） 60o（ C） 72o（ D） 76o 7小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃片应该是（ ） （ A）第块（ B）第块（ C）第块（ D）第块 8已知圆锥的底面半径为 1cm，母线长为 3cm，则其全面积为（ ） （ A） （ B） 3 （ C） 4
26、（ D） 7 二、填空题（每小题 3 分，共 18 分） 9某单位拟建的大门示意图如图所示，上部是一段直径为 10 米的圆弧形，下部是矩形 ABCD，其中 AB 3.7 米， BC 6 米，则 弧 AD 的中点到 BC 的 距离是 _米 321321Oyx1（第 9 题） （第 10 题） （第 11 题） 10如图，一宽为 2cm 的刻度尺在圆上移动，当刻度尺的一边与圆相切时，另一边与圆两个交点处的读数恰好为“ 2”和“ 8”（单位： cm），则该圆的半径为 _cm 10 11如图， 1 的正切值等于 _ 12一个小熊的头像如图所示图中反映出圆与圆的四种位置关系，但是其中有一种位置关系没有反
27、映出来请你写出这种位置关系，它是 _ （第 12 题） （第 13 题） （第 14 题） 13如 图， U 型池可以看作一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是半径为 4m 的半圆，其边缘 AB CD 20m，点 E 在 CD 上， CE 2m，一滑板爱好者从 A 点滑到 E 点，则他滑行的最短距离约为_m（边缘部分的厚度忽略不计，结果保留整数） 14 三个直立于水平面上的形状完全相同的几何体（下底面为圆面，单位： cm）如图所示则三个几何体的体积和为 cm3（计算结果保留 ） 三、解答题（每小题 6 分，共 18 分 ） 15如图， AB 为 O 直径， BC 切 O 于 B， CO 交 O 交于 D， AD 的延长线交 BC 于 E，若 C = 25，求 A 的度数 16 如图， AB 是 OD 的弦，半径 OC、 OD 分别交 AB 于点 E、 F，且 AE BF，请你找出线段 OE 与 OF 的数量关系，并给予证明 17如图， P 为正比例函数 xy 23 图象上的一个动点， P 的半径为 3，设点 P 的坐标为（ x ， y ） （ 1）求 P 与直线 2x 相切时点 P 的坐标； （ 2）请直接写出 P 与直线 2x 相交、相离时 x 的取值范围 四、解答题（每小题 8 分，共 24 分）
