1、创新设计图书 第 4 讲 数列中不等式的证明问题 高考定位 1.数列中不等式的证明是浙江高考数学试题的压轴题； 2.主要 考查数学归纳法、放缩法、反证法等数列不等式的证明方法，以及不等式的性质； 3.重点考查学生逻辑推理能力和创新意识 . 真 题 感 悟 (2017浙江卷 )已知数列 xn满足： x1 1， xn xn 1 ln(1 xn 1)(n N*). 证明：当 n N*时， (1)0 xn 1 xn； (2)2xn 1 xn xnxn 12 ； (3) 12n 1 xn 12n 2. 证明 (1)用数学归纳法证明： xn 0. 当 n 1 时， x1 1 0. 假设 n k(k 1，
2、k N*)时， xk 0， 那么 n k 1 时，若 xk 1 0，则 0 xk xk 1 ln(1 xk 1) 0，矛盾，故 xk 1 0， 因此 xn 0(n N*). 所以 xn xn 1 ln(1 xn 1) xn 1， 因此 0 xn 1 xn(x N*). (2)由 xn xn 1 ln(1 xn 1)得， xnxn 1 4xn 1 2xn x2n 1 2xn 1 (xn 1 2)ln(1 xn 1). 记函数 f(x) x2 2x (x 2)ln(1 x)(x 0). f(x) 2x2 xx 1 ln( )1 x 0(x 0)， 函数 f(x)在 0， )上单调递增，所以 f(x
3、) f(0) 0， 因此 x2n 1 2xn 1 (xn 1 2)ln(1 xn 1) f(xn 1) 0， 故 2xn 1 xn xnxn 12 (n N*). 创新设计图书 (3)因为 xn xn 1 ln(1 xn 1) xn 1 xn 1 2xn 1， 所以 xn 12xn 1 122xn 2 12n 1x1 12n 1. 故 xn 12n 1. 由 xnxn 12 2xn 1 xn得 1xn 112 21xn12 0， 所以 1xn 12 2 1xn 1 12 2n 1 1x1 12 2n 2， 故 xn 12n 2. 综上， 12n 1 xn 12n 2(n N*). 考 点 整
4、合 1.数学归纳法 证明一个与正整数 n 有关的命题，可按下列步骤进行： (1)(归纳奠基 )证明当 n 取第一个值 n0(n0 N*)时命题成立； (2)(归纳递推 )假设 n k(k n0， k N*)时命题成立，证明当 n k 1 时命题也成立 . 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从 n0 开始的所有正整数 n 都成立 . 2.反证法 一般地，由证明 pq 转向证明： 綈 qr t， t 与假设矛盾，或与某个真命题矛盾，从而判定 綈 q 为假，推出 q 为真的方法，叫做反证法 . 3.放缩法 放缩法是利用不等式的传递性，证明不等式的方法，要证 A0 且 a 1，创新设计图书 n N*
5、). (1)证明：当 n 2 时， anb. 证明 (1)由 an 1 2ana2n 1知， an 与 a1 的符号相同， 而 a1 a0，所以 an0， 所以 an 1 2an 1an 1，当且仅当 an 1 时， an 1 1， 下面用数学归纳法证明： 因为 a0 且 a 1，所以 a21，即有 a21，即 ak 1ak 1ak b； 若 aka221 b2k 1 a2 21 bk 1 a2 1 1 b1 bk 1 a2 1 1 b1 b（ k 1） . 创新设计图书 因为 k （ b a2）（ b 1）a2（ 1 b） 1， 所以 1 b1 b(k 1) 1 b a2a2 1 ba2，
6、所以 ak 1b. 探究提高 数学归纳法是解决和正整数有关命题的证明方法，可以借助递推公式，证明由特殊到一般的结论成立问题 .因此，可以在数 列不等式的证明中大显身手 .在本例中， (1)首先根据条件等式的结构特征推出 an0，然后用数学归纳法证明即可； (2)首先由 (1)知当 k 2 时， 1ak 1ak b，然后利用数列的递推公式证明即可 . 热点二 反证法证明数列不等式 【例 2】 (2017台州调考 )已知数列 an满足： an0， an 1 1an1(n N*). 证明 (1)由 an0， an 1 1anan 2 1an 12 an 2an 1(由题知 an 1 an 2)， 所
7、以 an 2N 时， an aN 1 anan 1 1 1an 1， 于 是 1aN 2 11 1aN 1 1， 1aN n 111aN n 1 1. 创新设计图书 累加可得 1aN n 1n 1 1aN 1 1.(*) 由假设可得 aN n 1 1aN 1 1 1 时，显然有 n 1 1aN 1 10， 因此有 1aN n 11(n N*). 法二 假设存在 aN 1(N 1， N N*)， 由 (1)可得当 nN 时， 01an 1aN 11. 于是 1 an(1 an 1) 1aN 1， 1 an 1(1 an 2) 1aN 1， 1 aN 2(1 aN 1) 1aN 1. 累乘可得 1
8、 an(1 aN 1) 1aN 1n N 1， (*) 由 (1)可得 1 anlog 1aN 1 11 aN 1 N 1 时， 则有 (1 aN 1) 1aN 1n N 11， 这显然与 (*)矛盾 . 所以 an1(n N*). 创新设计图书 探究提高 数列不等式需要对数列的范围及变化趋势进行探究，而条件又少，因此，反证法就成为解决有关问题的利器 .在本例中， (1)首先根据已知不等式由 an 1 21anan； (2)证明： an 2 32n 1； (3)设数列 1an的前 n 项和为 Sn，求证： 1 23n Sn0， an 1an. (2) 2an 1 4 a2n 2an an(an
9、 2)， an 1 2an 2 an2 32， an 2 32(an 1 2) 322(an 2 2) 创新设计图书 32n 1(a1 2) 32n 1， an 2 32n 1. (3) 2(an 1 2) an(an 2)， 12（ an 1 2） 1an（ an 2） 12 1an 2 1an， 1an 1 2 1an 2 1an， 1an 1an 2 1an 1 2， Sn 1a1 1a2 1an 1a1 2 1a2 2 1a2 2 1a3 2 1an 2 1an 1 2 1a1 2 1an 1 2 1 1an 1 2. an 1 2 32n， 0n 12. 证明 (1)由于 an 1 an a2nn（ n 1） 0， 则 an 1 an. 若 an 1 an，则 an 0，与 a1 12矛盾， 故 an 0，从而 an 1a2a3 an. 又 an 1an 1 ann（ n 1） 1 12n（ n 1） 0， 则 an 1 与 an 同号 . 又 a1 120，则 an 10，故 0an 1an. (2)由于 0an 1an， 则 an 1 an a2nn（ n 1） ananan 1n（ n 1） ，
