1、 第九章 常微分方程的数值解法 1、 引言 2、初值问题的数值解法 -单步法 3、龙格 -库塔方法 4、 收敛性与稳定性 5、初值问题的数值解法 多步法 6、方程组和刚性方程 7、习题和 总结 主 要 内 容 主 要 内 容 研究的问题 数值解法的意义 1、 引 言 现实世界中大多数事物 内部联系非常复杂 找出其状态和状态变化规律之间的相互联系，也即一个或一些函数与他们的导数之间的关系 此种关系的数学表达就为 微分方程 1.什么是微分方程 ? 其状态随着 时间、地点、条件 的不同而不同 如何利用数值方法求解微分方程（组）的问题。 2.数值求解微分方程的意义 如何建立 数学 模型 已在建模课程中
2、得到讨论，各类微分方程本身和他们的解所具有的特性 已在常微分方程及数学物理方程中得以解释 ， 本章专门讨论 寻找解析解的过程称为求解微分方程组。 一个或一组具有所要求阶连续导数的解析函数，将 它代入微分方程（组），恰使其所有条件都得到满 足的解称为 解析解 (或古典解 ),称为真解或解。 3.什么是微分方程 (组 )的解析解 ? 3.什么是微分方程 (组 )的解析解 ? 4.什么是微分方程的数值解 ? 虽然求解微分方程有许多解析方法 ,但解析方法 只能够求解一些特殊类型的方程 ,从实际意义 上来讲 我们更关心的是某些 特定的自变量在某一个 定义范围内的 一系列离散点 上的近似值 . 寻找数值解
3、的过程称为数值求解微分方程。 把这样一组近似解称为 微分方程在该范围内的 数值解 在大量的实际方程中出现的函数起码的连续性都 无法保证，更何况要求阶的导数 求解数值解 很多微分方程 根本求不到 问题的解析解！ 重要手段。 常微分方程的数值解法常用来求近似解 根据提供的算法 通过计算机 便捷地实现 5.常微分方程数值解法的特点 数值解法得到的近似 解 (含误差 )是一个 离散的函数表 . 00( , ) ( 1.1 )( ) ( 1.2)y f x y a x by x y 本章主要讨论一阶常微方程的初值问题 6.基本知识 其中 f (x,y)是已知函数， (1.2)是定解条件也称为 初值条件。 各种数值解法 则称 f (x,y) 对 y 满足李普希兹条件， L 称为Lipschitz常数 . 常微分方程的理论指出： 当 f (x,y) 定义在区域 G=(axb, y ) 若存在正的常数 L 使： 1 2 1 2| ( , ) ( , ) | | | ( 1 . 3 )f x y f x y L y y 12 , ,x a b y y使 得 对 任 意 的 及 都 成 立就可保证方程解的存在唯一性 (Lipschitz)条件
