1、苏教版 选修 4-2 高二数学 2.4.1逆矩阵的概念 2019年 1月 24日星期四 2019/1/24 江苏省滨海中学 徐 义 由前面学习我们知道 :二阶矩阵对应着平面上的一个几 何变换，它把点（ x ， y）变换到点（ x， y） .反过来 :若知道变换后的结果（ x， y） ,能否“找到回家的路” ,再让它变回到原来的（ x ， y）呢？ 如图示： （ x ， y） （ x， y） 走过去 走回来 创设情境 建构概念 问：“找到回家的路”的本质是什么？ 1 :TA已知矩阵 ，我们能否找到一个矩阵 ，使得连续进行的两次变换的结果与恒等变换的结果相同。 A B2 :TB变回自己 引例：对于
2、下列给出的变换矩阵 A，是否存在变换矩阵B，使得连续进行两次变换（先 TA后 TB）的结果与恒等变换的结果相同： （ 1）以 x轴为反射轴的反射变换； （ 2）绕原点逆时针旋转 600的旋转变换； （ 3）横坐标不变，沿 y轴方向将纵坐标伸长为原来的 2倍的伸压变换； （ 4）沿 y轴方向，向 x轴的投影变换； （ 5）纵坐标 y不变，横坐标依纵坐标的比例增加，且 （ x , y） （ x+2y , y）的切变变换； 创设情境 建构概念 解：（ 1）对于反射变换 TA，满足条件的变换即为其自身，即B=A； 解：（ 3）对于伸压变换 TA，存在伸压变换 TB，即 B为使平面的保持横坐标不变，纵坐
3、标沿 y轴方向压缩为原来的一半的变换矩阵； 分析情境 形成概念 （ 1）以 x轴为反射轴的反射变换； （ 2）绕原点逆时针旋转 600的旋转变换； （ 3）横坐标不变，沿 y轴方向将纵坐标伸长为原来的 2倍的伸压变换； 解：（ 2）对于旋转变换 TA，存在旋转变换 TB，即 B为绕原点顺时针旋转 的变换矩阵； 060分析情境 形成概念 解：（ 4）对于投影变换 TA，不存在满足条件的变换矩阵 B。 原因：投影变换不是一一映射； （ 4）沿 y轴方向，向 x轴的投影变换； （ 5）纵坐标 y不变，横坐标依纵坐标的比例增加，且（ x , y） （ x+2y , y）的切变变换； （ 5）对于切变变
4、换 ，存在切变变换 ，即 B为使平面的保持纵坐标不变 ,横坐标依纵坐标的比例减少 ,且（ x , y） （ x-2y , y）的变换矩阵； AT BT由引例 ,我们可以得到：有的矩阵能“找到回家的路”，（ 变回为自己 ）称它为原变换的 逆变换 ，而逆变换也对应着一个矩阵 ,但并非所有的二阶矩阵 A，都存在二阶矩阵 B，使得 AB=BA=E. 那我们该如何对逆矩阵下一个合适的定义呢？ 分析情境 形成概念 一、概念的引入 有 1,a b b a在数的运算中， 当数 时， 0a1baa其中 为 的倒数， a （或称 的 逆 ）； 在矩阵的运算中， E单位阵 相当于数的乘法运算中 的 1 你能通过类比
5、的方法给逆矩阵下个定义吗？ 分析情境 形成概念 分析情境 形成概念 定义 对于 阶矩阵 ，如果有一个 阶矩阵 ，使得 则说矩阵 是可逆的， 并把矩阵 称为 的逆矩阵 . n A,EBAAB B AnA.1AA 的逆矩阵记作B如何证明？ 思考： (1)如果 矩阵可逆，那么逆矩阵唯一吗？ A若设 和 是 的可逆矩阵， B C A 则有 , ECAACEBAAB 可得 EBB BCA ABC .CCE 所以 的逆矩阵是唯一的 ,即 A.1 ACB证明： 应用概念 探究性质 (2)如果 矩阵可逆，那么 结果是什么？ A11()A 11AA 思考： (3)定义中只有 矩阵 是否可逆？ EAB A此时 的结果是多少？ BA EBAEBAEAABAAAEAAAABAEAB1111
