1、 多连域中复势的一般形式1( )zj 1( )zy和 函数 在多连通域中可能是多值的。而应力和位移总是单值的。如何选择这些复变函数，保证应力和位移的单值性？考察如图3-2所示多连通体，先考虑仅有一个内边界s k和一个外边界sm+1的情形。1 应力单值条件ks 一周，虚数增量为 由式(3-8) 14Re ( )y x zs s j+ = 知， 1( )zj 的实部单值。虚部可多值。绕 考察Ak ln (z-zk)，其中zk是边界sk之外的任意一点。( )ln( ) ln | | lnik k k k k k kA z z A z z e A z z A iq q- = - = - +绕sk一周后
2、，右边有增量 2 kiAp 。令 ( )1 1*( ) ln ( )k kz A z z zj j = - + (1) 2 kAi积分，得xy1z0z2zkzmz1s2sksmsN1ms +图3-2oz0为弹性体内的任选定点，如图3-2所示。 *01 ( )d ln( )zk kz z z c z zj = - +全纯函数。代入式(2)，并将-Akzk ln (z-zk)与ck ln(z-zk)合并写成 ln( )k kz zg - ，即得 其中 1*( )zj 全纯。 kg 为复常数。 11( ) ln( )ln( ) ( ),k kk kz A z z zz z zjg j *= -+ -
3、 + (3) 01 1*( ) ( )ln( ) ( ) ( )dzk k k k zz A z z z z z z z zj j= - - - - + +常数. (2) 式中 全纯。( )1* zjkg 为复常数， )(1 z 全纯。 又由式(3-9) 2y x xyis s t- + = 1 12 ( ) ( )z z zj y + 可知，函数 1( )zy 在多连域全纯。类似地2 位移单值条件位移单值对 1( )zj 1( )zy及 的要求。将3.2.1中的(1)、(3)、(4)三式代入式(3-10)有1 1 13( ) ( ) ( ) ( )1 1E u iv z z z zn j j
4、 yn n- 轾+ = - -臌- + 13( ) ln( ) ln( ) ( )1 1 k k k k kE u iv A z z z z z zn g jn n-+ = - + - +- + 1 1ln( ) ( ) ln( ) ( )k k k k kz A z z z z z zj g y轾- - + - - +臌1 1*( ) ln( ) ( )k kz z z zy g y= - + (4) 当z绕sk一周后，增量为：3 (2 2 ) 2 21 k k k kiA z i izA in p p g p p gn- + + +3 32 11 1k k ki A zn np g gn
5、n轾 - -骣= + + +琪犏 + +桫臌令增量为零，即3 有限多连域的复势确定应力函数(3)和(4)式中的复常数 kg kg及 ,需将式(3-11)应用于整个内边界sk,积分一周得,k kx yF iF+ 是sk上面力主矢量。z沿sk绕行的方向必须是顺时针0kA = , 且 3 01 k kn g gn- + =+ (5) ( )1 1 1( ) ( ) ( ) k kkx ysz z z z i F iFj j y轾 + + = +臌 (6) 转向 外 向右 ，将式(1),(3),(4)代入式(6)得由式(5)及式(7)求得( ) ( )1 30, , 8 8k k kk k x yk
6、k x yA F iF F iFn ng gp p+ -= = - + = -将 代入式(3)及式(4)，得( )2 ( ) k kk k x yi i F iFp g g- - = + (7) ( ) ( )( ) ( )1 111 111( ) ln ( ),83( ) ln ( ).8k kk kmx y kkmx y kkz F iF z z zz F iF z z znj jpny yp*=*=+= - + - +-= - - + (3-13) 式中 、 在多连域全纯)(*1 z)(*1 z4 限多连域的复势 考察函数 1( )zj 1( )zy及 在 限 域的性 。 点为 ， 为R
7、的 周sR ，所有内边界s1 sm在其内，对于sR之外的任意一点z 在 之外的 函数。 式(3-13)可写为( )( )1 1*1 1*1( ) ln ( ),83( ) ln ( ),8x yx yz F iF z zz F iF z znj jpny yp+= - + +-= - + (1) z z R当R 于零时为 点 用 中力 2 31 1ln( ) ln ln 1 ln 2 3k k k kk z z z zz z z zz z z z骣 骣 骣- = + - = - - - -琪 琪 琪桫 桫 桫Lln Rz s= + 1kmx xkF F= 及 mkyy kFF1及 )(*1 z
8、 *1 ( )zy 可 为 数 将式(1)中的 一式代入式(3-8)， 后 将式(2)中的 一式代入，得( ) ( ) ( )1 11 1 1 12 .8 8 n ny x x x x y n nF iF F iF n a z a zz zn ns s p p - -+ +轾+ = - + - - + +犏臌 限 应力有界由式(3-9)， z 时，应力有限，必有 1* 1*( ) , ( )n nn nz a z z b zj y-= =邋 (2) 0. ( 2)na n= (3) 0. ( 2nb n= ） (4) 于是式(5)可为其中( )( )01 101 11( ) ln ( ) (
9、),83( ) ln ( ) ( ),8x yx yz F iF z B iC z zz F iF z B iC z znj jpny yp+= - + + + +- = - + + + (5) 01 101 11( ) ( )ln ( ),83( ) ( )ln ( ) ( ),8x yx yz F iF z Bz zz F iF z B iC z znj jpny yp+= - + + +- = - + + + (3-14) 1及2为 限 的主应力，1与x之的currency1为，由“变值得fi，fl式(3-14)和(3-15) 能多连域的 sR之外 ， 有一个 时，是域复应力函数的”确f
10、l式。 限多连通域的复势可由式 fi，其中,)(,)(2210122101zbzbzzazaz(3-15) 4 , 2 2( )y x y x xyB i B iCs s s s t + = - + = + (6) ( ) 21 2 1 21 1( ), 4 2 iB B iC e as s s s -= + + = - - (3-16) 由式(3-8)及式(3-9)，在 限 ，令 z( )01 1Bz zj j* = + ( ) ( ) 01 1B iC z zy y* = + +对于 限多连域,应为01 11 01 111( ) ( )ln( ) ( )83( ) ( )ln( ) ( ) ( )8mxk yk kkmxk yk kkz F iF z z Bz zz F iF z z B iC z znj jpny yp=+= - + - + +-= - - - + + +
