1、2011 高教社杯全国大学生数学建模竞赛 承 诺 书 我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则 . 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的 , 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用 处 和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将 受 到严肃处理 。 我们参赛选择的题号是（从 A/B/C/D 中选择一项填写）： A
2、我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话） ： 04505 所属学校（请填写完整的全名）： 德州学院 参赛队员 (打印并 签名 ) ： 1. 翟明元 2. 张小凤 3. 邹菲 指导教师 或 指导教师 组负责人 (打印并 签名 )： 赵学杰 高秀莲 日期： 2011 年 9 月 12 日 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： 2011 高教社杯全国大学生数学建模竞赛 编 号 专 用 页 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： 赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）： 评 阅 人 评 分 备 注 全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）： 全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：
3、 1 基于系 统综合评价的城市表层土壤重金属污染分析 摘要 本文针对城市表层土壤重金属污染问题，首先对各重金属元素 进行分析，然后对各种 重金属元素的基本数据进行统计分析及无量纲化处理，再对 各金属元素 进行相关性分析，最后针对各个问题建立模型并求解。 针对问题一，我们首先利用 EXCEL 和 SPSS 统计软件对各金属元素的数据进行处理，再利用 Matlab 软件绘制出 该城区内 8 种重金属元素的空间分布图最后 通过内梅罗污 染模型 ： 2/12m ax22 PPP 平均综，其中 平均P 为所有单项污染 指数的平均值 ， maxP 为土壤环境中各单项污染指数中的 最大值 。 得到各区内梅罗
4、综合污染指数，进而求得污染程度为： 功能区 生活区 工业区 山区 主干道路区 公园绿地区 综P 0904.2 2769.9 8242.0 4625.6 8688.1 污染程度 土壤、作 物受中度污染 土壤、作物受严重污染 尚清洁 土壤、作物受严重污染 超标 针对问题二 ,我们首先利用 EXCELL 软件画出 8 种元素在各个区内相对含量的柱状图，由图可以明显地看出各个区内各种元素的污染情况，然后再根据 重金属 元素 污染来源及传播特征 进行分析，可以得出工业区及生活区重金属的堆积和迁移是造成污染的主要原因 ， Cu 、 Hg 、 Zn 主要在工业区和交通区如公路、铁路等交通设施的两侧 富集，随
5、时间的推移，工业区、交通区的土壤重金属具有很强的叠加性， 受人类活动的影响较大。同时城市人口密度，土地利用率，机动车密度也是造成 重金属污染的原因。 针对问题三，我们从两个方面考虑建模 即以点为传染源和以 线为传染源。针对以点为传染源我们建立了两个模型：无约束优化模型 22 yiyxixmD ， 得到污染源的位置坐标 6782,5567 ； 有衰减的扩 散过程模型 得 位置坐标 （ 8500,5500） ，模型为： ukz ucy ubx uahu 2222222222 ， 针对以线为传染源我们建立了 lcbeuY 0 模型 ，并通过线性拟合分析 线性污染源的位置。 针对问题四，我们在已有信息
6、的基 础上，还应收集不同时间内的样点对应的 浓度 以及各污染源重金属的产生率。根据高斯浓度模型建立高斯修正模型，得到浓度关于时间和空间的表达式 uteCC 0 。 在本题求解过程中，我们所建立的模型与实际紧密联系，有很好的通用性和推广性。但在求点污染源时，我们假设只有一个污染源，而实际上可能有多个点污染源，从而使得误差增大，或者使污染源的位置够不准确。 关键词 内梅罗污染模型 无量纲化 相关性 回归模型 高斯浓度模型 2 一、 问题重述 俗话说：“一方水土养一方人”。 城市 是人类活动最密集 的地区， 但在 废物处理设施仍不发达的绝大多数地区 ,城市及其周边土壤依然发挥着重要的容纳和净化污染物
7、的功能 ,在强烈的环境负荷冲击下 ,土壤的服务功能面临极大的威胁 ,换言之 ,土壤的缓冲净化功能将接近极限并有被超过的危险 ,因而将导致严重土壤污染的产生 ,而其结果将是长远和危险的。 随着城市经济的快速发展和城市人口的不断增加，人类活动对城市环境质量的 影响日显突出。 人类活动影响下城市地质环境的演变模式，日益成为人们关注的焦点。 我们 将城区分为 生活区、 工业区、 山区、 主干道路 区及公园绿地区 五个部分，分别进行 土壤地质环境 的 调查 ， 对 城市环境质量 做出 评价 ，希望能 有效控制重金属污染物的排放及扩散，制定相关措施保护好我们赖以生存的周边环境，根据题意，本文需要解决的问题
8、有： (1) 给出 8 种 主要重金属元素 在该城区 的空间分布， 并 分析 该城区内 不同区域重金属的污染程度。 (2) 通过数据 分析 ，说明 重金属污染的主要原因。 (3) 分析 重金属 污染物的传播特征，由此建立模型，确定污染源的位置 。 (4)为更好地 研究城市地质环境的演变模式 ，还应收集什么信息？有了这些信息，如何建立模型解决问题？ 二、 模型假设 不考虑元素间的相互作用的影响 短期内重金属 元素的物理、化学变化及迁移对周围环境影响不大 假设附录中所给 8种重金属元素的背景值真实 不考虑历史沉积 的 重金属的影响 三、 符号说明 ix 第 i 种 元素在第 j 个采样点的浓度 （
9、 8,.2,1i ） ； x 第 i 种 元素浓度的平 均值 （ 8,.2,1i ） ； ix 第 i 种 元素在第 j 个采样点无量纲化后的数值 （ 5,.2,1j ） ； iP 第 j 个功能区重金属 i 的单项污染指数（ 5,.2,1j ） ； iC 第 j 个功能区重金属 i 含量的 实测 值 （ 5,.2,1j ） ； D 污染距离积 ； h 污染源位置 与已知采样点的距离； 3 iyix , 给定采样点的坐标； 四、 数据处理 4.1 对 重 元素的分析 城市工业“三废”排放，金属采矿和冶炼，家庭燃煤，生活垃圾，汽车尾气 排放都增加了城市土壤重金属的负荷。重金属污染环境的主要有汞、
10、 铅、铬、 锌镉、铜等。其中汞的毒性最大， 铬、铅、锌等也有相当大毒性。此外还有砷，砷虽不属于金属 .但它的毒性与重金属相似，因此归于重金属一类阐述，称为类金属。目前对我国土壤污染 比较普遍的重金属有汞、铬、砷 。根据 该城区 重金属污染的情况，下面对重金属在土壤污染中的 来源及传播途径 作简要介绍 。 4.1.1 砷元素 该元素 毒性很低，水体中含砷污染物主要来自砷和含砷金属矿的开采、冶炼，以及和砷化物为原料的玻璃、颜料、药物、纸张的生产都可产生含砷的废水，造成水体的砷污染。砷及砷化物在水中会在水生物体内累积，但累积程度比其他重金属要低。砷和砷化物，一般可通过水、大气和食物进入人体。 4.1
11、.2 镉元素 当环境受到镉污染后，镉可在生物体内富集，通过食物链进入人体引起慢性中毒。镉 的 主要污染源 是 电镀、采矿、冶炼、染料、电池和化学工业等排放的废水。 相当数量的镉通过废气、废水、废渣排入环境，造成污染。镉对土壤的污染主要有气型和 水型两种。气型污染主要来自工业废气。镉随废气扩散到工厂周围并自然沉降，蓄积于工厂周围的土壤中，可使土壤中的镉浓度达到 40ppm。水型污染主要是铅锌矿的选矿废水和有关工业（电镀、碱性电池等）废水排入地面水或渗入地下水引起。 4.1.3 铬元素 对水体污染的铬主要来源于电镀、制革、铝盐生产以及铬矿石开采所排放的废水。是我国水体中一种普遍的污染物。水体中铬污
12、染主要是三价铬和六价铬，它们在水体中的迁移转化有一定的规律性。 4.1.4 铜元素 铜 (Cu)及其化合物在环境中所造成的污染 称 为铜污染 。主要污染来源是铜锌矿的开采 和冶炼、金属加工、机械制造、钢铁生产等 。 冶炼排放的烟尘是大气铜污染的主要来源。世界铜的年迁移量为 :岩石风化 20 万吨 ,河流输送 11 万吨 4.1.5 汞元素 汞是在常温下唯一呈液态的金属元素。人类活动造成水体汞污染，主要来自氯碱、塑料、电池、电子等工业排放的废水。由于天然本底情况下汞在大气、土壤和水体中均有分布，所以汞的迁移转化也在陆、水、空之间发生。 4.1.6 镍元素 镍污染是由 镍及其化合物所引起的环境污染
13、。 大部分煤含有微量镍 ,通过燃烧过程被释放出来 ,这是大气中镍的主要来源。镍可以在土壤中富集。土壤中的镍主要4 来源于岩石风化，大气降尘，灌溉用水（包括含镍废水），农田施肥，植物和动物残体的腐烂等。 全世界每年镍的迁移状况是：岩石风化量为 320 000 吨，河流输送量为 19 000 吨 ,开采量为 560 000 吨，矿物燃料燃烧排放 5 600 吨。 4.1.7 铅元素 铅对环境的污染，一是由冶炼、制造和使用铅制品的工矿企业，尤其是来自有色金属冶炼过程中所排出的含铅废水、废气和废渣造成的。二是由汽车排出 的含铅废气造成的，汽油中用四乙基铅作为抗爆剂（每公斤汽油用 1 3 克），在汽油燃
14、烧过程中，铅便随汽车排出的废气进入大气 ， 成为大气的主要铅污染源 4.1.8 锌元素 锌在土壤中富集，会使植物体中也富集而导致食用这种植物的人和动物受害。金属锌本身无毒，但在焙烧硫化锌矿石、熔锌、冶炼其他含有锌杂质的金属的过程中 ,以及在铸铜过程中产生的大量氧化锌等金属烟尘，对人有直接的危害。其他如橡胶轮胎的磨损以及煤的燃烧也是大气锌污染的原因。 各种工业废水的排放是引起水体锌污染的主要原因。 4.2 对基本数据的分析 用 EXCELL 软 件和 SPSS 统计软件处理数据 如表 1所示 ： 表 1 功能区 元素 As (g/g) Cd (ng/g) Cr (g/g) Cu (g/g) Hg
15、 (ng/g) Ni (g/g) Pb (g/g) Zn (g/g) 生活区 平均值 6.27 289.96 69.02 49.40 93.04 18.34 69.11 237.01 最大值 11.45 1044.50 744.46 248.85 550.00 32.80 472.48 2893.47 最小值 2.34 86.80 18.46 9.73 12.00 8.89 24.43 43.37 标准差 2.15 183.68 107.89 47.16 102.90 5.66 72.33 443.64 变异系数 0.34 0.63 1.56 0.95 1.11 0.31 1.05 1.87
16、工业区 平均值 7.25 393.11 53.41 127.54 642.36 19.81 93.04 277.93 最大值 21.87 1092.90 285.58 2528.48 13500.00 41.70 434.80 1626.02 最小值 1.61 114.50 15.40 12.70 11.79 4.27 31.24 56.33 标准差 1.61 114.50 15.40 12.70 11.79 4.27 31.24 56.33 变异系数 0.22 0.29 0.29 0.10 0.02 0.22 0.34 0.20 山区 平均值 4.04 152.32 38.96 17.32
17、40.96 15.45 36.56 73.29 最大值 10.99 407.60 173.34 69.06 206.79 74.03 113.84 229.80 最小值 1.77 40.00 16.20 2.29 9.64 5.51 19.68 32.86 标准差 1.80 78.38 24.59 10.73 27.85 10.43 17.73 30.94 变异系数 0.44 0.51 0.63 0.62 0.68 0.67 0.49 0.42 交通区 平均值 5.71 360.01 58.05 62.21 446.82 17.62 63.53 242.85 最大值 30.13 1619.80
18、 920.84 1364.85 16000.00 142.50 181.48 3760.82 最小值 1.61 50.10 15.32 12.34 8.57 6.19 22.01 40.92 标准差 3.24 243.39 81.61 120.22 2180.27 11.79 32.53 384.78 变异系数 0.57 0.68 1.41 1.93 4.88 0.67 0.51 1.58 公园 绿平均值 6.26 280.54 43.64 30.19 114.99 15.29 60.71 154.24 最大值 11.68 1024.90 96.28 143.31 1339.29 29.10
19、227.40 1389.39 最小值 2.77 97.20 16.31 9.04 10.00 7.60 26.89 37.14 5 地区 标准差 2.02 235.84 14.84 22.68 224.28 4.97 45.84 230.92 变异系数 0.32 0.84 0.34 0.75 1.95 0.33 0.76 1.50 4.3 元素浓度的 无量纲化处理 在利用 SPSS 统计软件 数据进行聚类分析的时候，因为单位 不统一需要进行无量纲化处理，我们采用均值化方法，即每一个变量除以该变量的平均值，即 xxx ii ， (1) 标准化以后各变量的平均值都为 1，标准差为原始变量的变异系数
20、。该方法在消除量纲和数量级影响的同时， 保留了各变量取值差异程度上的信息，差异程度越大的变量对综合分析的影响也越大。 4.4 重金属 元素间的 相关性分析 研究土壤中重金属 的相关性可以推测重金属的来源是否相同 ,若重金属含量有显著的相关性 ,说明有相同来源的可能性较大 ,否则来源可能不止一个 . 我们用 积差法来计算各重 金属之间的相关系数，所谓积差法就是用两个变量的协方差与两个变量的标准差的乘积之比： 2222222yyxxyxxyyyxxyyxxryxxy 表 2 重金属 元素间的相关系数 重金属 As Cd Cr Cu Hg Ni Pb Zn As 1 Cd 0.255* 1 Cr 0
21、.189* 0.352* 1 Cu 0.160* 0.397* 0.532* 1 Hg 0.064 0.265* 0.103 0.417* 1 Ni 0.317* 0.329* 0.716* 0.495* 0.103 1 Pb 0.290* 0.660* 0.383* 0.520* 0.298* 0.307* 1 Zn 0.247* 0.431* 0.424* 0.387* 0.196* 0.436* 0.494* 1 由元素间的相关系数（ 见 表 2） 我们对这些元素进行粗略的分组，大致分为以下两组： A组： Cr， Ni， Cu B组： Pb， Cd， Zn 而对于 As、 Hg 由相关系
22、数表可见 ，其相关系数 较小， 我们认为相关参数小的元素间没有关系， 所以将其各自单独一组。 下面 我们建立回归模型图像验证它们之间的函数关系 ： 6 0 0 . 5 1 1 . 5 200 . 511 . 52Ni图 1 C r 与 Ni0 0 . 5 1 1 . 500 . 511 . 5Pb图 2 C d 与 Pb0 0 . 5 1 1 . 5 200 . 511 . 52Zn图 3 P b 与 Zn0 0 . 5 1 1 . 5 200 . 511 . 52Cu图 4 C r 与 Cu显然 Cr， Ni 和 Cu及 Pb， Cd 和 Zn 显 示属于适度空间相关性 ， 反映区域因素 （
23、 土壤母质 ）对其含量的影响较大 ，而 As、 Hg 元素则属于低空间相关性 ， 说明其受到人为因素 （ 工业布局 施肥 灌溉和土地利用方式等 ） 作用较强 。 五、 模型的 分析、 建立与求解 5.1 问题一 5.1.1 重金属的空间分布 由附件中所给的数据，我们考虑将各采样点的坐标和重金属的浓度建立对应关系，利用 Matble 软件画出等高线来体现该城区 8 种重金属的空间分布。 7 -5005555555555555555555555101010101010101015 151520y图 1 城市土壤 As 的空间分布特征0 1 2x 1 0450001000015000- 10 00-
24、 50000000005005 005 0 05 0 05005005 0 05005005005001000y图 2 城市土壤 Cd 的空间分布特征0 1 2x 1 0450001000015000-800-600 -400-20000000200400600y图 3 城市土壤 Cr 的空间分布特征0 1 2x 1 0450001000015000-1000-5000000005 005 00y图 4 城市土壤 Cu 的空间分布特征0 1 2x 1 0450001000015000从图中可以看出：该城市土壤中 As 元素的分布没有出现明显的富集，整体有从西向东递减的趋势 (见图 1)。说明人
25、类活动对 As 元素的分布影响不大。所以可以推断城市土壤中这种元素主要是自然来源 ,另外它的浓度在中国土壤背景值范围内 ,这说明它的含量可能主要受成土母质影响。 该城市土壤中 Cd元素的分布没有出现明显的富集，整体浓度偏差不大（见图 2）。对比数据可以看出，整个城市除边缘部分外 Cd 的浓度都明显高于背景值的范围。可知该城市 Cd污染很严重。 该城市土壤中 Cr和 Cu 两种 元素含量的空间分布规律比较相似 (见图 3、图 4),表现为 ,在西南部形成一个明显峰值 ,并且西部 Cr 和 Cu 的浓度远远超出背景值的范围。从整体上看，两种元素的浓度在东部和中部都为零，显然西部高于中东部。 8 0
26、0000000000000000200020002000200040006 00 0y图 5 城市土壤 Hg 的空间分布特征0 1 2x 1 0450001000015000-80-60-40-20- 2000002020202020202020202020202020202020202040406080y图 6 城市土壤 Ni 的空间分布特征0 1 2x 1 0450001000015000050 5050505050505050505050505050501001 0 01001 0 01 001001501 5 01502002002 0 0250250250300300350y图 7
27、城市土壤 Pb 的空间分布特征0 1 2x 1 0450001000015000-1000-50000000000005 005005 005005001 0 0 0y图 8 城市土壤 Zn 的空间分布特征0 1 2x 1 0450001000015000该城市土壤中 Hg 和 Zn 两种元素含量的空间分布规律比较相似 (见图 5、图 8),表现为 ,一个峰值区出现在西南部，一个峰值区出现在中南部，另外一个峰值区出现在中部。当然，两图也存在着不同之处。 Hg 元素除峰值区外，其他部分的浓度大都为零，而 Zn元素除峰值区外，还有整个的西部浓度远远超出背景值的范围，其余部分的浓度为零。 该城市土壤
28、中 Ni 和 Pb 两种元素含量的空间分布规律比较相似 (见图 6、图 7)，虽然 Pb 比 Ni 多出一个明显峰值区，但可以看到两种元素的峰值区都分布在西南部。并且两元素在西部的浓度明显高出背景值范围，而在东部的浓度都非常接近背景值的范围，整体有从西向东递减的趋势。 同时， 土壤中 重金属元素 的空间分布还显示出各元素 的异常分布区具有地理趋势的相似性， 指示其可能受共同的污染源影响 5.1.2 不同功能区的污染程度 为了求得各功能区的污染程度，我们建立了内梅罗多因子污染综合评价模型，我们首先求得 单项污染指数式为 : iii SCP , (2) 式中 : iP 为 区域重金属 i 的单项污染指数； iC 为 重金属 i 含量的 实测 值； iS 为重金属 i含量的起始评价值，其中起始评价值为所给重金属元素的背景值加上两倍的标准差，即2 ii aS ；若 1iP ，则表示该区域受到污染。 多项污染综合指数式为 : 2/12m ax2 2 PPP 平均综, (3)
