1、韩 山 师 范 学 院 学 生 毕 业 论 文 （ 2016 届） 韩山师范学院教务处制 题目（中文） 几何画板在数学教学中的作用及优化原则 （英文） The role of The Geometers Sketchpad and principle of optimization in mathematics teaching 系别 ： 数学与统计学院 专业 ： 数学与应用数学 班级 ： 姓名 ： 学号 : 指导教师 ： 摘要 ： 几何画板是以其“动态性”为最大特色的直观几何软件，以点、线、圆为基本元素的变换、作图等简单操作，能轻松实现数学上的数形结合，是教师教学的好工具。虽然现在的信息技术
2、比较发达，但有些数学教师并不能很好的利用信息技术辅助教学，很难让学生直观了解数学本质上的东西，如函数图像的变化过程，立体几何图形认识等。 针对以上问题，本文主要从几何画板这一信息技术软件来阐述了几何 画板在数学教学中的作用，主要从学生角度、教师角度、课程标准角度来论述其作用。同时，本文还探讨了几何画板在数学教学中应用的优化原则：适用性原则、目的性原则、循序渐进原则、辅助性原则。最后，通过一个具体案例说明几何画板在数学教学中的可行性和必要性。 关键词：几何画板 ； 数学教学 ； 直观 Abstract： The Geometers Sketchpad is the geometric softw
3、are with its biggest characteristic of “dynamic“, it based on the basic elements including point, line and round to perform various simple operations,which can easily implement the union of math and shape and its a good teaching tool for teacher. Although information technology is more developed now
4、, but some of math teacher cant make good use of information technology to auxiliary teaching, which is difficult to make students understand mathematics essence intuitively, such as the change of the process of function image, three-dimensional geometry knowledge, etc. To solve above problems, the
5、article mainly discusses from the information technology software of the Geometers Sketchpad to elaborated the function of the Geometers Sketchpad in mathematics teaching. It discusses its effect of different perspective of students, teachers, curriculum standards . At the same time, this article al
6、so discusses the Geometers Sketchpad of the application of optimization principles in mathematics teaching: applicable principle, objective principle, gradual principle, auxiliary principle. Finally, through a specific case to illustrate the feasibility and necessity of the Geometers Sketchpad in ma
7、thematics teaching. Keywords: Geometers Sketchpad; mathematical teaching; intuitive 目录 1. 几何画板在数学教学中的作用 （ ） 1.1 学生角度 （ ） 1.2 教师角度 （ ） 1.3 课程标准角度 （ ） 2.几何画板在数学教学中的优化原则 （ ） 2.1 适用性原则 （ ） 2.2 目的性原则 （ ） 2.3 循序渐进原则 （ ） 2.4 辅助性原则 （ ） 3.几何画板在数学教学中的案例 （ ） 4.小结 （ ） 附录 （ ） 参考文献 （ ） 致谢 （ ） 1 几何画板在数学教学中的作用及优化原则
8、 1. 几何画板在数学教学中的作用 1.1 学生角度 1.1.1 培养学生的观察能力 通过几何画板辅助数学教学，使抽象的数学形象化、直观化， 几何画板能制作出由教师控制视角的各种立 体几何图形，学生能从 直观 观察这些几何体 上的线段与截面，培养学生的观察能力，发展空间想象能力，从而提高学生的创新意识 。 如 在讲解下 题 时 ，传统的数学教学难以将本题解释得透彻，学生百闻不如一见 : 【 例 1.1.1_1】 如图 1，该几何体可以说明为什么有两个面平行，其 余各面都是平行四边形的几何体不一定是棱柱；如图 2，该几何体可以说明为什么有两个面平行，其余各面都是梯形的几何体不一定是棱台。 当然
9、，虽然利用其他的计算机软件也可以实现以上例子的效果，但有些 立体 几何体的解释不仅仅需要简单的呈现出其形状，还需要它的形成过程。利用几何画板，便可很轻松地完成，让学生对立体几何图形的外观及性质更加清晰明了。如： 【 例 1.1.1_2】 如图 3 和图 4， 图 3中的几何体用一个截面所截后形成图 4的 2 个几何体，其中，图 4 中左边的几何体可以说明为什么有两个面平行，其余 4个面 都是等腰梯形的几何体不一定是棱台。 图 2. 图 1. 2 教师只需按下按钮 显示截面 ，学生便可看到该立体几何图形中间的截面（如图 3），再按 分开 ，便可看到该立体几何图形被截成了 2 部分。这样既直观，又
10、操作简便，学生也方便理解，有利用学生的空间想象能力、观察力的培养。 1.1.2 让学生更好理解函数及其图像 传统的数学教学，只能用粉笔和黑板 画出平面直角坐标系，通过确定几个特殊的点，再将这些点顺次地连接起来，教师再主动告诉学生某一函数 的图像。而利用几何画板辅助数学，不但可以在同一直角坐标系中快速地作出不同函数的图像，还可以比较这些函数之间的联系，帮助学生更好的理解函数及其图像，更好的掌握函数的性质及特点。如： 【 例 1.1.2_1】 在几何画板中在同一直角坐标系中，表示出二次函数的不同形式2yx= , 2 4yx=+, 2( 4)yx=- ,以及当参数 a,h,k 变化时函数 2()y
11、a x h k= - +的 变化情况等。 解 :（ 1） 建立坐标系（方形网格） （ 2） 选择【绘图】 -【绘制新函数】命令，弹出“新建函数”对话框，在其中输入2yx= （即 2yx= ）；同样的方法绘制函数 2 4yx=+， 2( 4)yx=- 。 （ 3） 点击已生成的函数图像，选择【显示】 -【显示标签】，标注各个函数。 （ 4） 作 y轴的两点 a,k,作 x轴上的点 h （ 5） 选中点 a,k,然后选 择【度量】 -【纵坐标】命令，得到各点的纵坐标；选中点h，然后选择【度量】 -【横坐标】命令，得到点 h 的横坐标 （ 6） 选择【绘图】 -【绘制新函数】命令，弹出“新建函数”对
12、话框，在其中输入“ 2* ( )a h ky x x y-+”（即 2()a x h k-+）然后按“确定”按钮关闭对话框，即可得到函数2()y a x h k= - +的图像 （ 7） 拖动点 a,h,k 可在屏幕上看到抛物线方程 2()y a x h k= - +及函数图 像的变化情况（如图 6） 图 3. 图 4. 3 学生通过观察 比较同一平面直角坐标系中不同的二次函数图像 ，再加上教师的适当解说，能更清楚地理解二次函数图像的特点，学生在 a,h,k 的变化过程中加深对二次函数的理解，更好地掌握二次下左右平移的知识难点。这样的数学教学变得生动有趣，不仅增加了课堂的教学容量，还能够开阔学
13、生的思路，提高学生的数学素养。 【 例 1.1.2_2】求方程 2 2xx = 的解的个数。 （作图思路同上例） 学生在求解该方程解的个数时，一般思路是正 确的，但容易出现画图的错误（如图7）， 从而得出有 2个交点，故方程有 2 个解的错误结论。 而通过几何画板可轻松地作出正确地图像 （如图 8） ， 学生可以非常清楚地看到还有一个交点（ 4， 16）所以方程 有 3个解。 基于此，教师作为学习的引导者，适时地让学生反思反思错解的原因是画图失真，而且又没有考虑到指数函数的指数爆炸增长的特点，因而漏解。 图 6 图 7 图 8 4 1.1.3 让学生经历数学概念产生的过程 传统的数学教学中，教
14、师多用讲授法给学生灌输定义、公式、定理等，只注重知识的运用，而忽略知识产生的过程。新课程标 准改革中就提到，要让学生经历知识产生的过程，而数学是比较抽象的一门学科，很多知识无法只是通过“黑板 +粉笔”就能给学生精彩地呈现出来，利用几何画板， 把数学中很多抽象的概念借助几何画板的作图功能和动态演示功能讲能更清晰明了，利于突破教学难点，让学生知其所然，知其所以然。如： 【 例 1.1.3_1】 直线的倾斜角与直线斜率的关系 tank=a中， a 值变化时 k 值的变化情况。 如 图 9，只需用鼠标按住点 G，控制直线 GB 绕点 B 旋转改变倾斜角 a 的大小，在同一平面直角坐标系中同时显示 k
15、值随着 a 值变化而变化的值，形成变化的轨迹。 几何画板把函数 tank=a的图像直观地呈现在学生面前，学生的认识从感性认识到理性认识，思路更加清晰。学生变为学习知识的主动者，而教师为引导者，师生一起观察， 可得出关系式 tank=a中 a 值变化时 k 值的变化情况，从而 让学生 经历了该知识点的产生 过程，更好地理解直线的斜率与倾斜角的内在联系，真正的把握了数学的本质。 1.2 教师角度 1.2.1 创设直观的教学情境，激发学生学习兴趣 传统的数学教学，教学只是凭借黑板、粉笔、部分实体教具，而数学的概念比较抽图 9 5 象，单凭教师口头讲解难以理解。几何画板是一个形象化、直 观化的教学工具
16、教师利用它创设直观的教学情境，激发学生的学习兴趣， 使课堂中学生富有主动性和参与性，从而提高教学质量。 如，在讲解 直线的斜率的应用时，可以创设以下直观的教学情境，激发学生的学习兴趣： 【 例 1.2.1_1】 如 图 10， 面积为 13 13=169 的正方形裁剪成图中标出的四块几何图形，然后重新拼接成一个长方形，计算可知长方形的面积为 8 21 168，比正方形少了一个单位面积，你知道这是为什么吗？ 这样的例子直观，又能激发学生的求知欲，学生可能从感性的认识思考 :从动画演示的分割观察，视乎面积是不变的，但实际计 算后怎么就少了一个单位面积？从而造成了学生的认知冲突，让学生迫切地想要知道
17、问题所在。此时教师可诱发学生思考：在拼图的过程中，我们是否拼得天衣无缝？是否毫无重叠？ 这样的情境直观又充满趣味 性，能起到事半功倍的效果 ，此时学生可能会想到应该有部分图形重合了所以面积才减少了，接着教师适时诱导，自然便水到渠成。学生很可能意识到用直线的斜率的知识来解释该问题，从而达到教学目的。 利用几何画板，能轻松实现师生间的互动与合作学习，对学生的主体性发挥、创造力的培养有着重要的意义。 1.2.2 优化课堂教 学，让数学“动”起来 传统的数学教学中，为了解决数形结合的问题，教师多以手绘图教学，但手工绘图有不精确、速度慢的弊端，应用几何画板，不但能快速、准确地绘图，还可以让其“动”起来，
18、 它特大的特色 “动态性”，即可以用鼠标手动图形上的任一元素（点、线、圆），而事先给定的所有代数或几何关系都保持不变，这样更有利于在数据和图形的变化中把握不变，深入数学的精髓，突破传统教学的难点， 让教学不再枯燥无味，不再呆板。如： 【 例 1.2.2_1】研究参数 a,h,k 对抛物线 2()y a x h k= - +的影 响。 解 :（ 1） 建立坐标系（方形网格） （ 2） 作 y轴的两点 a,k,作 x轴上的点 h 图 10 6 （ 3） 选中点 a,k,然后选择【度量】 -【纵坐标】命令，得到各点的纵坐标；选中点h，然后选择【度量】 -【横坐标】命令，得到点 h 的横坐标 （ 4）
19、 选择【绘图】 -【绘制新函数】命令，弹出“新建函数”对话框，在其中输入“ 2* ( )a h ky x x y-+”（即 2()a x h k-+）然后按“确定”按钮关闭对话框，即可得到函数2()y a x h k= - +的图像 （如图 11） （ 5） 拖动点 a,h,k 可在屏幕上看到抛物线方程 2()y a x h k= - +及函数图像的变化情况（如图 12） 通过几何画板，只需用鼠标上下移动点 a,k，左右移动点 h，便可得到 2y ax= ，2y ax k=+， 2()y a x h=-， 2()y a x h k= - +等，函数图像便可一目了然，学生也可在 a,h,k“动
20、”态过程中加深对二次函数的理解。利用几何画板反复动态演示，学生便可更好地理解二次函数图像上下左右平移变换的知识难点，从而突破教学难点，大大课堂效率。 不仅如此，几何画板除了在代数数学中“动”起来，还能在平面解析几何 （如上例1.1.3_1） 、立体几何中 “ 动 ” 起来（如上例 1.1.1_2） 1.2.3 增加教学容量，提高教学质量 数学教学，除了讲授新课，练习课也是比较重要的，而练习的讲解直接影响学生对知识的运用情况。一个教师习题讲得通俗易懂，直击重点对学生来说犹为重要。但数学的很多练习用传统的教学难以达到最佳效果， 如一节 需要作图 的练习课中， 有些习题对图像的精准度要求比较高的，对于 传统的教学用 “ 粉笔 +直尺”并不能 很精准而快速地把 相关 图像呈现在学生面前 ，其教学效率并不高。而当今，用几何画板辅助数学教学，恰恰能弥补该弊端 ，如： 【 例 1.2.3_1】 线性规划习题课（如图 13） 图 11 图 1.1.2_2 图 12
