1、大连理工大学硕士学位论文 - I - 硕 士 学 位 论 文 检测自由曲面等参数化取样点的方法与研究 Isoperimetric line sampling strategy for the inspection of sculptured surfaces 作 者 姓 名： 工 程 领 域 ： 机械工程 学 号： 指 导 教 师： 完 成 日 期： 年 月 大连理工大学 Dalian University of Technology 检测自由曲面等参数化取样点的方法与研究 - II - 摘 要 目的、方法、结果、结论 随着计算机的应用，运用数学方法定义自由曲线 /曲面得到实际应用，大大促进了
2、CAGD 的产生和发展。 应用 B 样条提供的方法可以依照构造形状的几何信息来建立对应的曲线 /曲面方程。这些数学模型可以在计算机上通过被执行计算和处理， 提取到 曲线 /曲面上大量的点和特征信息。在这过程中， 通过计算机的分析和综合，还可以实时显示并交互设计修改 所定义的形状所拥有的整体和局部信息。 这一技术对数控加 工、有限元分析、物理性能计算等起到了重要的推动作用。 本文重点结合了基于不规则截面数据线的 B 样条曲线 /曲面对自由曲线 /曲面重构进行了研究。 关键词： B样条曲线；三坐标测量机；检测；自由曲面 大连理工大学硕士学位论文 - III - Isoperimetric line
3、 sampling strategy for the inspection of sculptured surfaces Abstract Contents of the abstract. Times New Roman. Key Words： B-spline curve; CMM; Inspection; Sculptured surfaces Fair fitting method 光顺拟合 skinning method 逐层截面扫描数据法 sectional points 截面数据 interpolation 插值 computer-aided geometric design 计
4、算机辅助几何设计 parametric surfaces 参数曲面 B-splines B 样条 interaction techniques 交互技术检测自由曲面等参数化取样点的方法与研究 - IV - 目 录 摘 要 . II Abstract .III 1 绪论 . 1 1.1 研究背景及意义 . 1 1.2 自由曲面检测的研究现状 . 3 1.2.1 B 样条曲线 /曲面的研究现状 . 3 1.2.2 点到曲线 /曲面最小距离的研究现状 . 4 1.2.3 自由曲面检测的研究现状 . 5 1.3 论文主要研究内容及结构 . 6 2 B 样条曲线和曲面的基本理论 . 8 2.1 形状数学
5、描述的几种方法比较 . 8 2.2 B 样条曲线的计算 . 9 2.2.1 B 样条曲线方程及正算反算 . 9 2.2.2 节点矢量的构造 . 11 2.2.3 基函数的计算 . 16 2.2.4 B 样条 曲线插值 . 19 2.3 B 样条曲面的计算 . 21 2.3.1 B 样条曲面的定义 . 21 2.4 本章小结 . 22 3 基于截面测量数据光顺拟合 B 样条曲线 . 23 3.1 三次均匀 B 样条 . 23 3.2 最小二乘逼近 . 24 3.3 B 样条曲线的光顺拟合算法 . 24 3.2.1 算法思想概述 . 24 3.2.2 数学模型 . 25 3.2.3 算法步骤 .
6、25 3.4 数值算例 . 25 3.4.1 不同线型的算例 . 25 3.4.2 开曲线和闭曲线 . 26 3.4.3 周期和非周期曲线 . 26 大连理工大学硕士学位论文 - V - 3.4.4 已知条件不同的曲线 . 26 3.5 本章小结 . 26 4 基于截面测量数据光顺拟合 B 样条曲面 . 27 4.1 B 样条曲面表达 . 27 4.2 B 样条曲面的光顺拟合算法 . 27 4.2.1 算法思想概述 . 27 4.2.2 数学模型 . 27 4.2.3 算法步骤与实例 分析 . 27 4.3 数值算例 . 27 4.4 本章小结 . 27 5 基于轮廓特征的等参数线取样方法在
7、CMM 测量中的应用 . 28 5.1 CMM 检测策略 . 28 5.2 数值算例 . 28 5.2.1 第二节一级题目 . 28 5.3 自由曲线 /曲面的误差 /光顺性分析 . 28 5.4 本章小结 . 29 6 总结与展望 . 30 6.1 论文总结 . 30 6.2 工作展望 . 30 结 论 . 32 参 考 文 献 . 33 攻读硕士学位期间发表学术论文情况 . 35 致 谢 . 36 大连理工大学学位论文版权使用授权书 . 37 大连理工大学硕士学位论文 - 1 - 1 绪论 机械制造业中涉及到大量 的自由曲面 的造型、 制造与检测， 例如压铸的汽车车盖、叶轮的叶片、飞机机翼
8、等 （如图 1.1） ， 这些内容是计算机辅助几何设计（ CAGD） 领域的研究重点和关键所在。 正因为这些自由曲面在 CAD/CAM 领域，特别是航空和汽车工业， 有着如此广泛的应用，曲面造型所面临的有关提高精度、检测效率等新问题也愈发突出 ， 因此，对自由曲面的加工质量进行高精度、高效率检测变得越来越重要。 图 1.1 自由曲面 造型 的工业应用 Fig. 1.1 Industrial application of sculptured surfaces 1.1 研究背景及意义 在实际的生产和生活中，常常需要建立三维物体造型，这些造型被广泛应用于计算机辅助设计与制造、计算机动画和艺术、人体
9、模型、地表地形勘察、自然资源分布、还可以应用在军事指挥和机械产品造型方面。对于规则几何形状，可以通过数学表达式描述；对于不规则、表面呈自由曲面的物体，则可以用分割成的曲面片表示，这些曲线曲面的形状不依赖于坐标系的选取，利用直观简便的计算机辅助设计手段，就可以很轻松地离散成造 型易于调整、拼接、拟合的几何形状。常用的曲线（曲面）有 Bezier 曲线（曲面）和 B 样条曲线曲面。 自由曲面是指很难用简单的代数和几何公式表示的曲面，又称雕塑曲面或自由曲面。在实际工程中，常常由于效率和时间等问题无法测得自由曲面上全部的数据，因此需要通过一定的测量，获得自由曲面上的一些离散点集（这些点被要求能反映该曲
10、面的大致轮廓，称这些点为型值点），再通过这些点集逼近生成光滑曲面。这其中涉及到曲面拟合、重构和拼接等多种方法。 检测自由曲面等参数化取样点的方法与研究 - 2 - 目前对自由曲面的高精度检测设备主要有两种：一种是三坐标测量机（ Coordinator Measuring Machine，简称 CMM），另外一种是激光扫描为基础的“点云”数据收集、曲面造型特征求精。而第一种方法因为具有测量精度高、设备造价低、通用性强的特点被广泛应用于工程中。 如图 1.2 所示， CMM 是一种 采用 点接触 测量坐标的仪器 ， 它的工作原理是：沿着理论 目标 点的法矢方向 靠近 加工曲面， 获得测量的接触点坐
11、标，认为加工误差就是实际测量点和理论值在该方向上的投影距离。 因此，为提高检测效率，提高模拟曲面精度，使用 CMM 进行 加工曲面检测 时， 必须首先对 自由曲面进行 适当 的离散处理，构造 能使测量逐步逼近过程 能实现最终目的的合理的 检测样本 。 判断 这个检测样本 是否合理的 指标有两个：一是 应在尽量反映自由曲面的加工情况下，同时还要兼顾检测效率和检测成本。 图 1.2 扫描测量 Fig. 1.2 Scanning measurement 自由曲面（曲线）的测量实际上是利用测量者采集的离散点去准确表达曲面（曲线）的原始几何轮廓的过程：问题的重点在于如何分布曲面上测点的位置和数量，且高效
12、地表达原形状，这个问题部分：（ 1)当样本数据数量相同时，哪种测点分布算法能最大程度地表达曲面的原始形状； (2)当测量准确度相同 时，哪种测点分布算法可以减少采样点数。虽然数据点取得越密集，插值法越具有收敛性，但在工程实践中，都不希望很麻烦。人们希望能用尽可能少但又足以表达形状的数据点，方便地生成所要求的曲线或曲面。 由于自由曲面的设计和加工特点，采用 CMM 对自由曲面构建数学模型进行测量时，得到检测点数量检测点数量的确定除了和工艺能达到的精度和检测设备置信度相关，还大连理工大学硕士学位论文 - 3 - 和曲面的面积大小呈一定正相关。因此，检测点的分布应综合考虑曲率变化和离散后曲面片的相互
13、制约关系。考虑到非均匀有理 B 样条在表达曲面上有一定的特点，可以确定研究方法是对复杂自由 曲面应采取分片测量，同时在几何量测量中采用优化搜索的方法，在误差范围内确定最小不合格区域，去掉不合格区域后，再继续搜索，直到达到最小距离的最大值，可以基本认为是实现了用尽量少的点最大限度的还原曲面形状。 自由曲面加工中的检测取样方法确定不仅可以实现曲面重构，为后续加工曲面提供曲面模型，还能 根据微分算法的改进方法求取加工自由曲面模型的误差 ， 通过修改原理论 计算所得的 刀位轨迹可以实现曲面加工的误差补偿 ， 实验证明，这种误差补偿具有良好的稳定性和准确性。 因此， 这种技术未来一定会在我国科研领域以及
14、航空航天、汽车、造船和 模具等制造行业带来深远的影响。 2.1 自由曲面检测的研究现状 1.1.1. B 样条曲线 /曲面的研究现状 20 世纪 80 年代中期以后，随着 CAGD 成为一门应用广泛的新兴学科， B 样条作为该领域内最有发展前景的方法而变成人们研究的重点。 1991 年， NURBS（ Non-Uniform Rational B-Splines） 方法作为 国际标准化组织（ International Standardization Organization, 也就是人们熟知的 ISO） 规定的定义产品形状的唯一数学方法， 用于 表示用计算机处理的 产品模型 形状的 数据 表
15、示、设 计和 交换 的 工业 标准 。 历史上对 非均匀 B 样条 曲线 和 曲面有过突出贡献的是 Piegl 和 Tiller1。 他们所著的The NURBS Book 作为一本经典之作详细地介绍了有关曲线和曲面的基本理论，将Bezier-B 样条 -NURBS 作为学科主线， 将理论和应用的研究不断推进。 国内刘鼎元 教授等 2在 1981 年发表了有关 Bezier 曲线和 B 样条曲线光顺拟合法 的研究，提出了便于实现交互设计的权因子 。 在这基础上，刘鼎元又在文献 3中 提出 44 次的 Bezier 曲面拟合的算法。 Woodword4在 1988 年提出了一种针对截面测量数据进
16、行 B 样条 插值曲面的算法， 该算法主要针对的是拥有同样个数的截面数据类型，尤其是封闭的自由曲面类型往往容易出现波动、折皱、光顺性差等情况，因此该种方法适用范围也很受限。 综合以上文献可知，目前对自由曲 线曲 面的研究无论是 用 B 样条还是 Bezier，无论是曲线 还是 曲面拟合， 其关键主体步骤都是 曲面重构看是否在允许的误差范围内， 因此构造数学模型，求取合理的定点进行插值拟合，计算拟合精度 是 本方向研究的 关键。目前的研究工作仍面临着以下问题： （ 1） 点到曲线 /曲面的最小距离的算法仍需探讨； （ 2） 如何构造合理的曲线 /曲面数学模型进行重构曲线 /曲面 ； 检测自由曲面
17、等参数化取样点的方法与研究 - 4 - （ 3） 拟合精度的判断标准。 1.1.2. 1.2.2 点到曲线 /曲面 最小距离的 研究现状 重构自由曲线 /曲面，其实就要检测自由曲线 /曲面拟合过程中和原模型之间的误差是否在精度范围内的问题，这就势必要涉及到求取点到参数曲线和曲面的最小距离的问题。求一 个 定点到曲线 /曲面的最小距离是微分几何学和 CAD/CAM 中的基本问题，在向量空间中，通常 解决 点到曲线 /曲面的最小距离 这一问题运用的方法 是过 该定 点向 参数曲线 /曲面 进行 空间投影。 它的应用范围很广泛，在曲面求交、数控加工刀具轨迹规划、曲面匹配、轮廓度误差评定等领域中都有着
18、十分重要的地位 。因此，研究有效且精确的点到参数曲线 /曲面最小距离的方法十分必要。 牛顿迭代法是最初被提出来并广泛使用的一种求点到参数曲线 /曲面最小距离的方法。 Mortenson 在 5中曾经提出点到不同类型曲线 /曲面的最小距离的度量方程，并采用牛顿 -拉斐尔算法 找到多项式的根 求解方程。 文献 6提出求点到参 数曲线 /曲面最小距离最关键的问题是求解非线性方程组，作者提出通过构造辅助方程的方法可解。 之后，文献 7提出了一种计算点到曲面的投影的二阶算法 作为改进。 牛顿型求解点到曲线 /曲面最小距离的方法具有计算精度高、速度快、算法思想简单易懂、易于编程的特点，因此该类型 在 CA
19、D/CAM 领域被广泛采用。 但是，这些利用牛顿型的计算 方法 虽然 有这么多优点 ，但是由于对初始值很敏感，稳定性和有效性并不是那么理想。 在求解过程 中要想实现对于最优解的收敛必须使每一步迭代的初始值都是良好的，否则就会在逐步迭代的过程中发生离散或者循环的情况，尤其是当 目标 解 位于临近边界位置或端点位置时。 为了解决这一问题， 一方面，文献 8提供了一种实用的算法用于找到牛顿算法中良好的初值。另一方面， 2001 年 Piegl 和 Tiller9给出了一种求取点到非均匀 B 样条曲面（ NURBS）投影的方法，该算法的思想是：将非均匀 B 样条曲面分解成多个四边形曲面片，将定点投影到
20、最近的曲面片上，然后根据这个最近的曲面片还原定点的参数值。之后， Ma 和 Hewitt 在文献 10中提出了将 NURBS 曲线分割成 Bezier 曲线段、将 NURBS曲面分割成 Bezier 曲面片的细分算法，这种方法算法的主要步骤 有三步 ：首先分析出被分割出的曲线段或曲面片的控制顶 点与定点的关系，之后根据 Bezier 曲线或曲面的强凸包性搜索出待定的曲线段 /曲面片，最后通过分别计算定点到待定曲线段 /曲面片上的待定点的距离，比较得出距离最小的点作为该待定曲线段 /曲面片上的牛顿型迭代初始点。 很显然，综合以上文献研究，求取点到参数曲线 /曲面的投影或交点问题关键就在于两个方面
21、，第一，找到合适的初始值进行迭代；第二，用牛顿型迭代算法或其他迭代算大连理工大学硕士学位论文 - 5 - 法进行方程组计算 精确 求解。 值得注意的是，这些初始值一般是通过离散的曲线 /曲面获得，如果同时存在多根时将无法保证能够获得全部的解。 1.1.3. 1.2.3 自由曲面 检测的研究现状 生产 自由曲面 的过程通常包括自动刀具轨迹生成、后置处理、数控加工以及最终的曲面检测几个步骤。而检测复杂 自由曲面 的精确度主要受到以下几个因素影响：计算机辅助制造系统算法误差、机床传动系统误差以及在这过程中产生的测量误差。 总体来说，目前检测自由曲面的主要方法是利用三坐标测量机实现数字化模型来检测和作
22、者预期达到的 CAD 模型之间存在的误差范围。 由于物体三维数据的获取方法多种多样，且应用计算机辅助设计和制造的环境类型也很繁复，必须根据不同的输入输出要求，采取合适的方法，才能有效的进行被测物体表面尤其是 复杂自由曲面的重构，满足使用者的需求。现阶段用于检测 自由曲面 的方法，无论是在论文中提及到的，还是应用在工业生产中的，都是在生产曲面上进行离散样本取点，通过估计和所构建的 CAD 模型之间的误差来确定检测结果。但是，这种取样方法受限于生产曲面和具体实例曲面之间的差别。 用三坐标测量机检测的难点主要在于取样点的分布，这种方法一般来说三个步骤。首先，模拟出要被测量的特征，在普通测量数据基础上
23、添加轮廓误差模式。其次，提出多种取样模式。第三，构建替代曲面，比较它和所建模型之间的误差，特征模型和替代曲面之间的最大误差通常被 用来确定取样的方法。在机械工程领域， 这种根据部分数据点还原设计的过程叫做逆向工程。 逆向工程主要是针对传统的正向设计过程而言的，从已存在实物模型入手，首先通过各种测量手段获得数字化信息，然后利用曲面重构技术快速准确地建立 CAD 模型，再在工程分析的基础上，对产品进行数控加工。 图三为逆向工程系统流程图。 图三 逆向工程流程图 目前文献中已经有很多关于原始形状取样的研究。这些研究的主题不外乎形状误差、取样方法，和替代曲面算法的交叉。一些文章的主题跟三维曲线、平面、锥形、球
