1、 1、单独的一个数或一个字母也是单向式。 2、单向式中的数字因数叫做这个单向式的系数。 3、一个单向式中，所有字母的指数的和叫做这个单向式的次数。 4、几个单向式的和叫做多项式。在多项式中，每个单向式叫做多项式的项，其中，不含字母的项叫做常数项。 5、一般地，多项式里次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数。 6、单项式和多项式统称整式。 7、所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。几个常数项也是同类项。 8、吧多项式中的同类项合并成一项，即把它们的系数相加作为新的系数，而字母部分 不变，叫做合并同类项。 9、几个整式相加减，通常用括号 把 每个整式括起来，再用加减号连接：然后去
2、括号，合并同类项。 10、幂的乘方，底数不变，指数相同。 11、同底数幂相乘，底数不变，指数相加。 12、幂的乘方，底数不变，指数相乘。 13、积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。 14、单向式与单向式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单向式里含有的字母，则连同它的指数作为积的因式。 15、单向式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。 16、多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。 17、两个数的和与这两个数的差的积这两个数的平方差。这个公式叫做（乘法的）平方差公式。 18、两数和（或差
3、）的平方它们的平方和，加（或减）它们积的 2 倍。这两个公式叫做（乘法的）完全平方公式。 19、添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号。 20、同底数幂相加，底数不变，指数相减。 21、任何不等于 0 的数的 0 次幂都等于 1. 22、单向式相 除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。 23、多项式除以单向式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。 24、吧一个多项式化成了几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多
4、项式分解因式。 25、 ma+mb+mc，它的各项都有一个公共的因式 m，我们把因式 M 叫做这个多项式各项的公因式。 由 m(a+b+c)=ma+mb+mc，可得 ma+mb+mc=m(a+b+c) 这样就把 ma+mb+mc 分 解成两个因式乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式 m，另一个因式（ a b+c）是 ma+mb+mc 除以 m 所得的商，像这种分解因式的方法叫做提公因式法。 26、两个数的平方，等于这两个数的和与这两个数差的积。 27、两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的 2 倍，等于这两个数的和（或差）的平方。 十字交叉双乘法没有公式，一定要说的话 那就是利用 x2+
5、(p+q)x+pq=(x+q)(x+p)其中 PQ为常数。 1.因式分解 即和差化积，其最后结果要分解到不能再分为止。而且可以肯定一个多项式要能分解 因式，则结果唯一，因为：数域 F 上的次数大于零的多项式 f(x),如果不计零次因式的差异，那么 f(x)可以唯一的分解为以下形式： f(x)=aP1k1(x)P2k2(x)Piki(x)*, 其中 是 f(x)的最高次项的系数，P1(x),P2(x)Pi （ x）是首 1 互不相等的不可约多项式，并且 Pi(x)(I=1,2,t)是 f(x)的 Ki 重因式。 （ *）或叫做多项式 f(x)的典型分解式。证明：可参见高代 P52-53 初等数学
6、中，把多项式的分解叫因式分解，其一般步骤为：一提二套三分组等 要求为 ：要分到不能再分为止。 2.方法介绍 2.1 提公因式法： 如果多项式各项都有公共因式，则可先考虑把公因式提出来，进行因式分解，注意要每项都必须有公因式。 例 15x3+10x2+5x 解析显然每项均含有公因式 5x故可考虑提取公因式 5x，接下来剩下 x2+2x+1仍可继续分解。 解：原式 =5x(x2+2x+1) =5x(x+1)2 2.2 公式法 即多项式如果满足特殊公式的结构特征，即可采用套公式法，进行多项式的因式分解，故对于一些常用的公式要求熟悉，除教材的基本公式外，数学竞赛 中常出现的一些基本公式现整理归纳如下：
7、 a2-b2=(a+b)(a-b) a22ab+b2=(ab)2 a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2) a33a2b+3ab2b 2=(ab)3 a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=(a+b+c)2 a12+a22+an2+2a1a2+2an -1an=(a1+a2+an)2 a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-ac-bc) an+bn=(a+b)(an-1-an-2b+bn -1)(n为奇数 ) 说明由因式定理，即对一元多项式 f(x)，若 f(b)=0，则一定含有一次因式 x-b。可判断当 n为偶数时，
8、当 a=b,a=-b 时，均有 an-bn=0 故 an-bn中一定含有 a+b，a-b 因式。 例 2 分解因式： 64x6-y12 1+x+x2+x15 解析各小题均可套用公式 解 64x6-y12=（ 8x3-y6） (8x3+y6) =(2x-y2)(4x2+2xy2+y4)(2x+y2)(4x2-2xy2+y4) 1+x+x2+x15= =(1+x)(1+x2)(1+x4)(1+x8) 注多项式分解时，先 分 构造公式再解。 2.3 分组分解法 当多项式的项数较多时，可将多项式进行合理分组，达到顺利分解的目的。当然可能要综合其他分法，且分组方法也不一定唯一。 例 1 分解因式： x1
9、5+m12+m9+m6+m3+1 解原式 =（ x15+m12） +(m9+m6)+(m3+1) =m12(m3+1)+m6(m3+1)+(m3+1) =(m3+1)(m12+m6+1) =(m3+1)(m6+1)2-m6 =(m+1)(m2-m+1)(m6+1+m3)(m6+1-m3) 例 2 分解因式： x4+5x3+15x-9 解析可根据系数特征进行分组 解原式 =（ x4-9） +5x3+15x =(x2+3)(x2-3)+5x(x2+3) =(x2+3)(x2+5x-3) 2.4 十字相乘法 对于形如 ax2+bx+c 结构特征的二次三项式可以考虑用十字相乘法 , 即 x2+(b+c
10、)x+bc=(x+b)(x+c)当 x2项系数不为 1 时，同样也可用十字相乘进行操作。 例 3 分解因式： x2-x-6 6x2-x-12 解 1x2 1x-3 原式 =（ x+2） (x-3) 2x-3 3x4 原式 =（ 2x-3） (3x+4) 注： “ax4+bx2+c”型也可考虑此种方法。 2.5 双十字相乘法 在分解二次三项式时，十字相乘法是常用的基本方法，对于比较复杂的多项式，尤其是某些二次六项式，如 4x2-4xy-3y2-4x+10y-3，也可以运用十字相乘法分解因式，其具体步骤为： （ 1）用十字相乘法分解由前三次组成的二次三项式，得到一个十字相乘图 （ 2）把常数项分解
11、成两个因 式填在第二个十字的右边且使这两个因式在第二个十字中交叉之积的和等于原式中含 y的一次项，同时还必须与第一个十字中左端的两个因式交叉之积的和等于原式中含 x的一次项 例 5 分解因式 4x2-4xy-3y2-4x+10y-3 x2-3xy-10y2+x+9y-2 ab+b2+a-b-2 6x2-7xy-3y2-xz+7yz-2z2 解 原式 =（ 2x-3y+1） (2x+y-3) 2x-3y 1 2x y-3 原式 =（ x-5y+2） (x+2y-1) x-5y 2 x 2y-1 原式 =(b+1)(a+b-2) 0ab 1 a b-2 原式 =（ 2x-3y+z） (3x+y-2
12、z) 2x-3yz 3x-y-2z 说明： 式补上 oa2,可用双十字相乘法，当然此题也可用分组分解法。 如（ ab+a） +(b2-b-2)=a(b+1)+(b+1)(b-2)=(b+1)(a+b-2) 式三个字母满足二次六项式，把 -2z2 看作常数分解即可： 2.6 拆法、添项法 对于一些多项式，如果不能直接因式分解时，可以将其中的某项 拆成二项之差或之和。再应用分组法，公式法等进行分解因式，其中拆项、添项方法不是唯一，可解有许多不同途径，对题目一定要具体分析，选择简捷的分解方法。 例 6 分解因式： x3+3x2-4 解析法一：可将 -4 拆成 -1， -3 即（ x3-1） +(3x
13、2-3) 法二：添 x4,再减 x4,.即（ x4+3x2-4） +(x3-x4) 法三：添 4x,再减 4x即，（ x3+3x2-4x） +(4x-4) 法四：把 3x2 拆成 4x2-x2,即（ x3-x2） +(4x2-4) 法五：把 x3 拆为， 4x2-3x3 即 (4x3-4)-(3x3-3x2)等 解（选择法四）原式 =x3-x2+4x2-4 =x2(x-1)+4(x-1)(x+1) =(x-1)(x2+4x+4) =(x-1)(x+2)2 2 7 换元法 换元法就是引入新的字母变量，将原式中的字母变量换掉化简式子。运用此 种方法对于某些特殊的多项式因式分解可以起到简化的效果。
14、例 7 分解因式： (x+1)(x+2)(x+3)(x+4)-120 解析若将此展开，将十分繁琐，但我们注意到 (x+1)(x+4)=x2+5x+4 (x+2)(x+3)=x2+5x+6 故可用换元法分解此题 解原式 =(x2+5x+4)(x2+5x+6)-120 令 y=x2+5x+5 则原式 =(y-1)(y+1)-120 =y2-121 =(y+11)(y-11) =(x2+5x+16)(x2+5x-6) =(x+6)(x-1)(x2+5x+16) 注在此也可令 x2+5x+4=y或 x2+5x+6=y或 x2+5x=y请认真比较体会哪种换法更简单？ 2 8 待定系数法 待定系数法是解决
15、代数式恒等变形中的重要方法 ,如果能确定代数式变形后 的字母框架 ,只是字母的系数高不能确定 ,则可先用未知数表示字母系数 ,然后根据多项式的恒等性质列出 n个含有特殊确定系数的方程 (组 )，解出这个方程 (组 )求出待定系数。待定系数法应用广泛 ,在此只研究它的因式分解中的一些应用。 例 7 分解因式： 2a2+3ab-9b2+14a+3b+20 分析属于二次六项式，也可考虑用双十字相乘法，在此我们用待定系数法 先分解 2a2+3ab+9b2=(2a-3b)(a+3b) 解设可设原式 =(2a-3b+m)(a+3b+n) =2a2+3ab-9b2+(m+2n)a+(3m-3n)b+mn 比
16、较两个多项式（即原式与 *式）的系数 m+2n=14(1)m=4 3m-3n=-3(2)= mn=20(3)n=5 原式 =（ 2x-3b+4） (a+3b+5) 注对于（ *）式因为对 a,b 取任何值等式都成立，也可用令特殊值法，求 m,n 令 a=1,b=0,m+2n=14m=4 = 令 a=0,b=1,m=n=-1n=5 2.9 因式定理、综合除法分解因式 对于整系数一元多项式 f(x)=anxn+an-1xn-1+a1x+a0 由因式定理可先判断它是否含有一次因式 (x-)（其中 p， q 互质）， p 为首项系数an的约数， q 为末项系数 a0 的约数 若 f（） =0,则一定会
17、有（ x-）再用综合除法，将多项式分解 例 8 分解因式 x3-4x2+6x-4 解这是一个整系数一元多项式，因为 4 的正约数为 1、 2、 4 可能出现的因式为 x1,x2,x4, f(1)0,f(1)0 但 f(2)=0,故 (x-2)是这个多项式的因式，再用综合除法 21-46-4 2-44 1-220 所以原式 =(x-2)(x2-2x+2) 当然此题也可拆项分解，如 x3-4x2+4x+2x-4 =x(x-2)2+(x-2) =(x-2)(x2-2x+2) 分解因式的方法是多样的，且其方法之间相互联系，一道题很可能要同时运用多种方法才可能完成，故在知晓这些方法之后，一定要注意各种方
18、法灵活运用，牢固掌握 ! - 1 过两点有且只有一条直线 2 两点之间线段最短 3 同角或等角的补角相等 4 同角或等角的余角相等 5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 7 平行公理 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 8 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行 9 同位角相等，两直线平行 10 内错角相等，两直线平行 11 同旁内角互补，两直线平行 12 两直线平行，同位角相等 13 两直线平行，内错角相等 14 两直线平 行，同旁内角互补 15 定理 三角形两边的和大于第三边 16 推论 三角形两边的差小
19、于第三边 17 三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于 180 18 推论 1 直角三角形的两个锐角互余 19 推论 2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 20 推论 3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 21 全等三角形的对应边、对应角相等 22 边角边公理 (SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 23 角边角公理 ( ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 24 推论 (AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 25 边边边公理 (SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等 26 斜边、直角边公理 (HL) 有斜边和一条直
20、角边对应相等的两个直角三角形全等 27 定理 1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 28 定理 2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上 29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合 30 等腰三角形的性质定理 等腰三角形的两个底角相等 (即等边对等角） 31 推论 1 等腰三角形顶角的平分线平分底 边并且垂直于底边 32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合 33 推论 3 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于 60 34 等腰三角形的判定定理 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边） 35 推论 1 三个角都
21、相等的三角形是等边三角形 36 推论 2 有一个角等于 60的等腰三角形是等边三角形 37 在直角三角形中，如果一个锐角等于 30那么它所对的直角边等于斜边的一半 38 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半 39 定理 线段垂直 平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等 40 逆定理 和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 41 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合 42 定理 1 关于某条直线对称的两个图形是全等形 43 定理 2 如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线 44 定理 3 两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段
22、或延长线相交，那么交点在对称轴上 45 逆定理 如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称 46勾股 定理 直角三角形两直角边 a、 b的平方和、等于斜边 c的平方，即 a2+b2=c2 47 勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长 a、 b、 c 有关系 a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形 48 定理 四边形的内角和等于 360 49 四边形的外角和等于 360 50 多边形内角和定理 n边形的内角的和等于（ n-2） 180 51 推论 任意多边的外角和等于 360 52 平行四边形性质定理 1 平行四边形的对角相等 53 平行四边形性质定理 2 平行四边形的对边相等 54 推论 夹在两条平行线间的平行线段相等 55 平行四边形性质定理 3 平行四边形的对角线互相平分 56 平行四边形判定定理 1 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 57 平行四边形判定定理 2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 58 平行四边形判定定理 3 对角线互相平分的四边形是平行四边形
