1、- 1 - 初中数学公式大全 初中数学公式：圆与弧的公式 正 n 边形的每个内角都等于（ n-2） 180 n 弧长计算公式： L=n 兀 R 180 扇形面积公式： S 扇形 =n 兀 R2 360=LR 2 内公切线长 =d-(R-r)外公切线长 =d-(R+r) 两圆外离 d R+r两圆外切 d=R+r两圆相交 R-r d R+r(R r)两圆内切 d=R-r(R r)两圆内含 d R-r(R r) 定理相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦 定理把圆分成 n(n 3)：依次连结各分点所得 的多边形是这个圆的内接正 n 边形经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切
2、正 n 边形 定理任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆 如果在一个顶点周围有 k 个正 n 边形的角，由于这些角的和应为 360，因此 k (n-2)180n=360化为（ n-2） (k-2)=4 弧长计算公式： L=n 兀 R 180 扇形面积公式： S 扇形 =n 兀 R2 360=LR 2146 内公切线长 =d-(R-r)外公切线长 =d-(R+r) 初中数学公式：因式分解公式 公式： a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca) 平方差公式： a 平方 -b 平方 =(a+b)(a-b) 完全平方和公式： (a+b)平方 =a
3、 平方 +2ab+b 平方 完全平方差公式： （ a-b)平方 =a 平方 -2ab+b 平方 - 2 - 两根式： ax2+bx+c=ax-(-b+ (b2-4ac)/2ax-(-b- (b2-4ac)/2a两根式 立方和公式： a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) 立方差公式： a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2) 完全立方公式： a3 3a2b+3ab2 b3=(a b)3 初中数学公式：一元二次方程公式与判别式 一元二次方程的解 -b+ (b2-4ac)/2a -b- (b2-4ac)/2a 根与系数的关系 X1+X2=-b/a X1*X2=c/a 注：韦达定理 判别式 b
4、2-4ac=0 注：方程有两个相等的实根 b2-4ac0 注：方程有两个不等的实根 b2-4ac-b a b |a-b| |a|-|b|-|a| a |a| 初中数学公式：等差数列公式 某些数列前 n 项和 - 3 - 1+2+3+4+5+6+7+8+9+ +n=n(n+1)/21+3+5+7+9+11+13+15+ +(2n-1)=n2 2+4+6+8+10+12+14+ +(2n)=n(n+1)12+22+32+42+52+62+72+82+ +n2=n(n+1)(2n+1)/6 13+23+33+43+53+63+ n3=n2(n+1)2/41*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7
5、+ +n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3 三角函数的诱导公式 常用的诱导公式有以下几组： 公式一： 设为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： sin（ 2k） sin cos（ 2k） cos tan（ 2k） tan cot（ 2k） cot 公式二： 设为任意角， +的三角函数值与的三角函数值 之间的关系： sin（） sin cos（） cos tan（） tan cot（） cot 公式三： 任意角与 -的三角函数值之间的关系： sin（） sin cos（） cos tan（） tan cot（） cot 公式四： 利用公式二和公式三可以得到 -与的三角函数值之间的关系
6、： sin（） sin cos（） cos tan（） tan cot（） cot 公式五： 利用公式一和公式三可以得到 2 -与的三角函数值之间的关系： sin（ 2） sin cos（ 2） cos tan（ 2） tan cot（ 2） cot 公式六： - 4 - /2与的三角函数值之间的关系： sin（ /2） cos cos（ /2） sin tan（ /2） cot cot（ /2） tan sin（ /2） cos cos（ /2） sin tan（ /2） cot cot（ /2） tan 诱导公式记忆口诀 规律总结 上面这些诱导公式可以概括为： 对于 k /2 (k Z)的
7、个三角函数值， 当 k 是偶数时，得到的同名函数值，即函数名不改变； 当 k 是奇数时，得到相应的余函数值，即 sin cos;cos sin;tan cot,cot tan. （奇变偶不变） 然后在前面加上把看成锐角时原函数值的符号。 （符号看象限） 例如： sin(2 ) sin(4 /2 )， k 4 为偶数，所以取 sin。 当是锐角时， 2 (270， 360 )， sin(2 ) 0，符号为“”。 所以 sin(2 ) sin 上述的记忆口诀是： 奇变偶不变，符号看象限。 公式右边的符号为把视为锐角时，角 k360 +（ k Z）， -、 180， 360 - 所在象限的原三角函数
8、值的符号可记忆 水平诱导名不变；符号看象限。 各种三角函数在四个象限的符号如何判断，也可以记住口诀“一全正；二正弦；三为切；四余弦” 这十二字口诀的意思就是说： 第一象限内任何一个角的四种三角函数值都是“”； 第二象限内只 有正弦是“”，其余全部是“”； 第三象限内切函数是“”，弦函数是“”； 第四象限内只有余弦是“”，其余全部是“” 上述记忆口诀 ,一全正 ,二正弦 ,三正切 ,四余弦 其他三角函数知识： 同角三角函数基本关系 同角三角函数的基本关系式 倒数关系 : tan cot 1 sin csc 1 - 5 - cos sec 1 商的关系： sin /cos tan sec /csc
9、 cos /sin cot csc /sec 平方关系： sin2( ) cos2( ) 1 1 tan2( ) sec2( ) 1 cot2( ) csc2( ) 同角三角函数关系六角形记忆法 六角形记忆法：（参看图片或参考资料链接） 构造以 “上弦、中切、下割；左正、右余、中间 1“的正六边形为模型。 （ 1）倒数关系：对角线上两个函数互为倒数； （ 2）商数关系：六边形任意一顶点上的函数值等于与它相邻的两个顶点上函数值的乘积。 （主要是两条虚线两端的三角函数值的乘积）。由此，可得商数关系式。 （ 3）平方关系：在带有阴影线的三角形中，上面两个顶点上的三角 函数值的平方和等于下面顶点上的三
10、角函数值的平方。 两角和差公式 两角和与差的三角函数公式 sin（） sin cos cos sin sin（） sin cos cos sin cos（） cos cos sin sin cos（） cos cos sin sin tan tan tan（） 1 tan tan tan tan tan（） 1 tan tan 倍角公式 二倍角 的正弦、余弦和正切公式（升幂缩角公式） sin2 2sin cos cos2 cos2( ) sin2( ) 2cos2( ) 1 1 2sin2( ) 2tan tan2 1 tan2( ) 半角公式 半角的正弦、余弦和正切公式（降幂扩角公式） 1
11、cos sin2( /2) 2 - 6 - 1 cos cos2( /2) 2 1 cos tan2( /2) 1 cos 万能公式 万能公式 2tan(/2) sin 1 tan2( /2) 1 tan2( /2) cos 1 tan2( /2) 2tan(/2) tan 1 tan2( /2) 万能公式推导 附推导： sin2 =2sin cos =2sin cos /(cos2( )+sin2( ).*， （因为 cos2( )+sin2( )=1） 再把 *分式上下同除 cos2( )，可得 sin2 tan2 /(1 tan2( ) 然后用 /2 代替即可。 同理可推导余弦的万能公式
12、。正切的万能公式可通过正弦比余弦得到。 三倍角公式 三倍角的正弦、余弦和正切公式 sin3 3sin 4sin3( ) cos3 4cos3( ) 3cos 3tan tan3( ) tan3 1 3tan2( ) 三倍角公式推导 附推导： tan3 sin3 /cos3 (sin2 cos cos2 sin )/(cos2 cos -sin2 sin ) (2sin cos2( ) cos2( )sin sin3( )/(cos3( ) cos sin2( ) 2sin2( )cos ) 上下同除以 cos3( )，得： tan3 (3tan tan3( )/(1-3tan2( ) sin3
13、 sin(2 ) sin2 cos cos2 sin 2sin cos2( ) (1 2sin2( )sin 2sin 2sin3( ) sin 2sin2( ) - 7 - 3sin 4sin3( ) cos3 cos(2 ) cos2 cos sin2 sin (2cos2( ) 1)cos 2cos sin2( ) 2cos3( ) cos (2cos 2cos3( ) 4cos3( ) 3cos 即 sin3 3sin 4sin3( ) cos3 4cos3( ) 3cos 三倍角公式联想记忆 记忆方法：谐音、联想 正弦三倍角： 3 元 减 4 元 3 角（欠债了 (被减成负数 )，所
14、以要“挣钱” (音似“正弦” )） 余弦三倍角： 4 元 3 角 减 3 元（减完之后还有“余”） 注意函数名，即正弦的三倍角都用正弦表示，余弦的三倍角都用余弦表示。 和差化积公式 三角函数的和差化积公式 sin sin 2sin -cos - 2 2 sin sin 2cos -sin - 2 2 cos cos 2cos -cos - 2 2 cos cos 2sin -sin - 2 2 积化和差公式 三角函数的积化和 差公式 sin cos 0.5sin（） sin（） cos sin 0.5sin（） sin（） cos cos 0.5cos（） cos（） sin sin 0.5c
15、os（） cos（） 和差化积公式推导 附推导： 首先 ,我们知道 sin(a+b)=sina*cosb+cosa*sinb,sin(a-b)=sina*cosb-cosa*sinb 我们把两式相加就得到 sin(a+b)+sin(a-b)=2sina*cosb 所以 ,sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b)/2 同理 ,若把两式相减 ,就得到 cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b)/2 同样的 ,我们还知道 cos(a+b)=cosa*cosb-sina*sinb,cos(a-b)=cosa*cosb+sina*sinb 所以 ,把两式相加 ,我们就可以得
16、到 cos(a+b)+cos(a-b)=2cosa*cosb 所以我们就得到 ,cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b)/2 - 8 - 同理 ,两式 相减我们就得到 sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b)/2 这样 ,我们就得到了积化和差的四个公式 : sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b)/2 cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b)/2 cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b)/2 sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b)/2 好 ,有了积化和差的四个公式以后 ,我们只需一个变形 ,就
17、可以得到和差化积的四个公式 . 我们把上述四个公式中的 a+b 设为 x,a-b 设为 y,那么 a=(x+y)/2,b=(x-y)/2 把 a,b 分别用 x,y 表示就可以得到和差化积的四个公式 : sinx+siny=2sin(x+y)/2)*cos(x-y)/2) sinx-siny=2cos(x+y)/2)*sin(x-y)/2) cosx+cosy=2cos(x+y)/2)*cos(x-y)/2) cosx-cosy=-2sin(x+y)/2)*sin(x-y)/2) 初中数学三角函数公式：两角和公式 两角和公式 sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B
18、)=sinAcosB-sinBcosA cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB) ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA) ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA) 初中 数学三角函数公式：倍角公式 倍角公式 tan2A=2tanA/(1-tan2A) - 9 - ctg2A=(ctg2A-1)/2ctga cos2a=cos2a-sin2a=
19、2cos2a-1=1-2sin2a 初中数学三角函数公式：半角公式 半角公式 sin(A/2)= (1-cosA)/2)sin(A/2)=- (1-cosA)/2) cos(A/2)= (1+cosA)/2)cos(A/2)=- (1+cosA)/2) tan(A/2)= (1-cosA)/(1+cosA)tan(A/2)=- (1-cosA)/(1+cosA) ctg(A/2)= (1+cosA)/(1-cosA)ctg(A/2)=- (1+cosA)/(1-cosA) 初中数学三角函数公式：和差化积 和差化积 2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B)2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B) 2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B)-2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B) sinA+sinB=2sin(A+B)/2)cos(A-B)/2cosA+cosB=2cos(A+B)/2)sin(A-B)/2) tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosBtanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB-ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB
