1、 *大学 理学院 毕业论文（设计） 等价无穷小量性质的理解、推广 及应用 姓 名 * 学 号 * 年 级 专 业 数学与应用数学 系 （院） 理学院 指导教师 * 年 月 日I 摘 要 等价无穷小量 具有很好的性质 ,灵活运用这些性质 ,无论是 在求极限的运算中 ,还是在正项级数的敛散性判断中 ,都可取到预想不到的效果 ,能达到罗比塔法则所不能取代的作用 .通过举例 ,对比了不同情况下 等价无穷小量 的应用以及在应用过程中应注意的一些性质条件 ,不仅使这些原本复杂的问题简单化 ,而且可避免出现错误地应用 等价无穷小量 . 关键词 ： 等价无穷小量 ;极限 ;洛必达 法则 ;比较审敛法 ;优越性
2、 II ABSTRACT Equivalent Infinitesimal have good characters ,both in operation of test for Limit and determine whether the positive series converges or diverges , if these quality that apply flexibly can obtain more effect , the effection can not be replace by LHospital Rule. This paper give examples
3、 and compare some instance to pay attention to condition in application of Equivalent Limit , so the question can be simply and avoid error in application. Keywords: equivalent infinitesimal; limitation; lhospitals rule; comparison test; superiority. III 目 录 1 引言 . 1 2 等价无穷小量 的概念及其重要性质 . 1 2.1 等价无穷小
4、量 的概念 . 1 2.2 等价无穷小量 的重要性质 . 2 2.3 等价无穷小量 性质的推广 . 2 3 等价无穷小量 的应用 . 5 3.1 求函 数的极限 . 5 3.2 等价无穷小量 在近似计算中的应用 . 6 3.3 利用 等价无穷小量 和泰勒公式求函数极限 . 6 3.4 等价无穷小量 在判断级数收敛中的应用 . 7 4 等价无穷小量 的优势 . 8 4. 1 运用 等价无穷小量 求函数极限的优势 .8 4. 2 等价无穷小量在求函数极限 过程中 的优势 .9 5 结 论 . 12 参 考 文 献 . 13 致 谢 . 14 1 1 引言 等价无穷小量 概念是微积分理论 中最基本的
5、概念之一 ,但在微积分理论 中 等价无穷小量 的性质仅仅在 “ 无穷小的比较 ” 中出现过 ,其他地方似乎都未涉及到 .其实 ,在判断广义积分、级数的敛散性 ,特别是在求极限的运算过程中 ,无穷小具有很好的性质 ,掌握并充分利用好它的性质 ,往往会使一些复杂的问题简单化 ,可起到事半功倍的效果 ,反之 ,则会错误百出 ,有时还很难判断错在什么 地方 .因此 ,有必要对 等价无穷小量 的性质进行深刻地认识和理解 ,以便恰当运用 ,达到简化运算的目的 . 2 等价无穷小量 的概念及其重要性质 这 部分在同济大学应用数学系主编的 高等数学 、华东师范大学数学系的 数学分析 、马振明老师和吕克噗 老师
6、的 微分习题类型分析 、张云霞老师的 高等数学教学 以及 Song QB, Shen J Y. On illegal coping and distributing detection mechanism for digital goods J. Journal of Computer Research and Development 中做了详细的讲解 ,下面是我对这部分的理解与总结 .推广部分的 性质在书中未做证明 ,根据所学的知识以及数学方法我对其进行了证明 . 2.1 等价无穷小量 的概念 2.11 定义 若函数 (包括数列 )在某变化过程中以零为极限 ,则称该函数为这个变化过程中的无穷
7、小量 . 如函数 2x , sinx, 1- cosx, ln(1+x)均为当 x 0 时的无穷小量 .对于数列只有 一种情形 , 即 n , 如数列 1n 为 n时的无穷小量或称为无穷小数列 . 注意 ： 1) 绝对值非常小的数不是无穷小量 , 0 是唯一的是无穷小量的数 ; 无穷小量无限趋近于 0 而又不等于 0. 2) 无穷小量是变量 , 与它的变化过程密切相关 ,且在该变化过程中以零为极限 . 如函数 1x 当 x 时的无穷小量 ,但当 x 1时不是无穷小量 . 3）两个（相同类型）无穷小量之和、差、积仍为无穷小量 . 4）无穷小量与有界量的乘积为无穷小量 . 2.12 无穷小量的比较
8、 2 1) 若存在正数 K和 L,使得在 某 0()oUx上有 ()()fxKLgx,则称 f 与 g 为当 0xx 时的同阶无穷小 量 .特别当0()lim ( 0)()xxfx ccgx 则称 ()fx与 ()gx 是同阶无穷小 . 2) 若 ()lim()fxgx=1, 则称 ()fx与 ()gx 是 等价无穷小量 , 记为 ()fx ()gx . 3) 若 ()lim()fxgx= 0, 则称 ()fx是 ()gx 高阶无穷小 , 记作 ()fx= ( ( )ogx . 注 : 并不是任意两个无穷小均可比较 , 如当 x 0 时 , 1sinx x 与 2x 都是无 穷小量 , 但它们
9、不能进行 阶的比较 . 2.2 等价无穷小量 的重要性质 设 , 等均为同一自变量变化过程中的无穷小 , 若 , , 且 lim 存在 ,则 lim=lim （ 1 1 1 1 11 1 1 1 1l im l im ( . l im . l im . l im l im ） 若 , ,则 . 性质 表明 等价无穷小量 量的商的极限求法 .性质 表明 等价无穷 小量 的传递性 . 2.3 等价无穷小量 性质的 推广 1 , , 且 lim =c(-1),则 + +. 证明 因为 lim=11 1 l im l im ( )1 1 1 11l im l im1 1 . .cc 3 1lim 11
10、 cc 所以 + +. 而学生则往往在性质 (3)的应用上忽略了 “lim=c(-1)”这个条件 ,千篇一律认为 “, ,则有 + + 2 在同一变化过程中 , ()fx ()x , ()gx ()x ,且 1()lim(1 ( ) xx 存在 ,则 1()lim(1 ( ) gxfx = 1()lim(1 ( ) xx . 证明 因为 1() l n (1 ( ) )l im (1 ( ) ) e x p ( l im )()gx fxfx gx= l n (1 ( ) ) ( ) 1e x p ( l i m l n (1 ( ) )l n (1 ( ) ) ( ) ( )f x x xx
11、 g x x = ln (1 ( )ex p (lim )() xx= 1()lim(1 ( ) xx . 故结论得证 . 3 若 , , 且 lim ABCD 存在 ,则当 ABCD 0且 lim ABCD 存在 ,有 lim ABCD=lim ABCD. 证明 因为 11 1AAAB BBAAABBB , 又 , ,于 是 , lim lim 1AABB , li m ( 1 ) li m ( 1 ) 0AABB , 从而 4 AB=1, 即 AB AB 同理可证 CD CD . 故命题得证 . 4 设在自变量的某一变化过程中 , ()fx、 ()gx 、 ()hx 及 1()fx、 1(
12、)gx、 1()hx都是无穷小量 . 若 ()fx 1()fx、 ()gx 1()gx、且 11()lim ()fxgx 存在且 11()lim 1()fxgx ,则有 ()fg 11()fg . 若 ()fx 1()fx、 ()gx 1()gx、且 11()lim ()fxgx 存在且 11()lim 1()fxgx ,则有 ()fg 11()fg . 若 ()fx 1()fx、 ()gx 1()gx、 ()hx 1()hx且 11()lim ()fxgx 存在且 11()lim 1()fxgx ,则有 111limfgfghh . 证明 因为 11limfgfg = 11111lim 1g
13、f ffgf ff= 1111 (1 )lim 1(1 )gffgff. 又因为 11lim lim 1ffgg , 故上式等于 1. 因为 5 11limfgfg = 11111lim 1gf ffgf ff= 1111 (1 )lim 1(1 )gffgff. 又因为 11lim lim 1ffgg, 故上式等于 1. 要证 111limfgfghh 成立 ,只需证 111lim 1hfgh f g ,因为 fg 11fg , ()hx 1()hx, 所以结论得证 . 性质 （ 1）、（ 3） 的 求极限中就使 等价无穷小量 的代换有了可能性 ,从而大大地简化了 计算 .但要注意条件 “l
14、im =c(-1)”,“ ABCD0”的使用 . 注意 1） 需要注意的是在运用无穷小替换解题时 ,等价无穷小量 一般只能在对积商的某一项做替换 ,和差的替换是不行的 . 2） 以上 性质 说明我们利用无穷小量的代换性质将无穷小的等价替换推广到和与差的形式 ,并对的不定式极限的求解 作了简化 ,使其适用的函 数类范围扩大 ,从而简化函数极限的运算过程 ,对不定式极限的求解有很大的意义 . 3等价无穷小量 的应用 等价无穷小量的应用 在 冯录祥老师的 关于等价无穷小量量代换的一个注记 、 王斌老师的 用罗比塔法则求未定式极限的局限性的探讨 、华东师范大学数学系的 数学分析 、盛祥耀老师的 高等数
15、学 、马振明老师和吕克噗老师的 微分习题类型分析 、Shivakumar N, G.Molina H. SCAM: A Copy Detection Mechanism for Digital Documents A. The 2nd International Conference in Theory and Practice of Digital LibrariesC. USA Austin Texas: s. n以及 刘玉琏 老师和傅沛仁老师的 数学分析讲义 中 都有详细的分析与注解 ,在这一部分我只是按照自己的需要从中选取内容 ,再加上自己筛选例题解答例题写出来的 .请看下面的内容：
16、3.1 求函数的极限 在求极限中经常用到的 等价无穷小量 有 x sinx arcsinx tanx tanarc x ln(1 )x xe -1, 1 cosx 212x , 1xa lnxa,( x 0) . 6 例 1 求 202tanlim1 cosxxx . 解 当 x 0 时 ,1 cosx 212x , 2tanx 2x . 原式 = 20 2412limxxx= 8 . 例 2 求30 tan sinlimx xxx . 解 原式 = 30 sin 1 coslim cosx xx = 23012lim cosx xxxx ( sinx x ,1 cosx 212x ) = 1
17、2 . 此题也可用 洛必达 法则做 ,但不能用性质 做 . 所以 ,30 tan sinlimx xxx =30limx xxx =0,不满足性质 的条件 ,否则得出错误结论 0. 3.2 等价无穷小量 在近似计算中的应用 利 用 等 价 无 穷 小 ， 在 做 近 似 计 算 ， 有 时 可 以 起 到 意 想 不 到 的 效 果 ，如： 例 3 6 6564求 的 近 似 值 解 因为 0x 时 , 11n xx n . 所以 666 5 11 2 .0 0 5 2 0 86 4 6 4 . 故 6 65 6 2 . 0 0 5 1 7 564 的 准 确 值 ， 保 留 小 数 点 后 位 可 得 为 2 . 0 0 5 2 0 8 2 . 0 0 5 1 7 5 ) / 2 . 0 0 5 1 7 5 0 . 0 0 0 0 1 6相 对 误 差 为 （ 这 说 明 计 算 精 度 已 经 很 高
