1、 高等数学公式 1 / 12 高等数学公式 导数公式： 基本积分表： 三角函数的有理式积分： 2222 1 2211c o s1 2s i n ududxxtguuuxuux ， ， ， axxaaactgxxxtgxxxxctgxxtgxaxxln1)(lo gln)(c s c)(c s cs ec)(s ecc s c)(s ec)(22222211)(11)(11)(a rc c o s11)(a rc s inxarcctgxxarctgxxxxx CaxxaxdxCsh xc h x d xCc h xsh x d xCaadxaCxc tg x d xxCxdxtg xxCc t
2、g xx d xxdxCtg xx d xxdxxx)ln (lncsccscs e cs e ccscs ins e cc o s22222222CaxxadxCxaxaaxadxCaxaxaaxdxCaxa rctgaxadxCctg xxxd xCtg xxxd xCxctg xd xCxtg xd xa r c s inln21ln211c s clnc s cs e clns e cs inlnc o sln22222222 CaxaxaxdxxaCaxxaaxxdxaxCaxxaaxxdxaxInnx d xx d xI nnnna r c s i n22ln22)l n (221
3、c o ss i n222222222222222222222020高等数学公式 2 / 12 一些初等函数： 两个重要极限： 三角函数公式： 诱导公式： 函数 角 A sin cos tg ctg - -sin cos -tg -ctg 90- cos sin ctg tg 90+ cos -sin -ctg -tg 180- sin -cos -tg -ctg 180+ -sin -cos tg ctg 270- -cos -sin ctg tg 270+ -cos sin -ctg -tg 360- -sin cos -tg -ctg 360+ sin cos tg ctg 和差角公式：
4、 和差化积公式： 2s in2s in2coscos2cos2cos2coscos2s in2cos2s ins in2cos2s in2s ins inc tgc tgc tgc tgc tgtgtgtgtgtg1)(1)(s ins inc o sc o s)c o s (s inc o sc o ss in)s in (xxa rth xxxa rc h xxxa rsh xeeeec h xsh xth xeec h xeesh xxxxxxxxx11ln21)1ln (1ln (:2:2:22）双曲正切双曲余弦双曲正弦. . .5 9 0 4 57 1 8 2 8 1 8 2 8 4
5、.2)11(lim1s inlim 0exxxxxx高等数学公式 3 / 12 倍角公式： 半角公式： c o s1s i ns i nc o s1c o s1c o s12c o s1s i ns i nc o s1c o s1c o s122c o s12c o s2c o s12s i nc t gtg 正弦定理： RCcBbAa 2s ins ins in 余弦定理： Cabbac c o s2222 反三角函数性质： a r c c tg xa r c tg xxx 2a r c c o s2a r c s in 高阶导数公式 莱布尼兹（ Leibniz）公式： )()()()2()
6、1()(0)()()(!)1()1(!2)1()(nkknnnnnkkknknnuvvuk knnnvunnvnuvuvuCuv中值定理与导数应用： 拉格朗日中值定理。时，柯西中值定理就是当柯西中值定理：拉格朗日中值定理：xxFfaFbFafbfabfafbf)(F)()()()()()()()()(曲率： .1;0.)1(limMsMM:.,13202aKaKyydsdsKMMsKtgydxydss的圆：半径为直线：点的曲率：弧长。：化量；点，切线斜率的倾角变点到从平均曲率：其中弧微分公式：23333133c o s3c o s43c o ss in4s in33s intgtgtgtg22
7、2222122212s i nc o ss i n211c o s22c o sc o ss i n22s i ntgtgtgc tgc tgc tg高等数学公式 4 / 12 定积分的近似计算： bannnbannbanyyyyyyyynabxfyyyynabxfyyynabxf)(4)(2)(3)()(21)()()(1312420110110抛物线法：梯形法：矩形法：定积分应用相关公式： babadttfabdxxfabykrmmkFApFsFW)(1)(1,2221均方根：函数的平均值：为引力系数引力：水压力：功：空间解析几何和向量代数： 。代表平行六面体的体积为锐角时，向量的混合积：
8、例：线速度：两向量之间的夹角：是一个数量轴的夹角。与是向量在轴上的投影：点的距离：空间,c o s)(.s i n,c o s,c o sPrPr)(Pr,c o sPr)()()(2222222212121221221221cbacccbbbaaacbacbarwvbacbbbaaakjibacbbbaaababababababababaajajaajuABABABjzzyyxxMMdzyxzyxzyxzyxzyxzyxzyxzzyyxxzzyyxxuu高等数学公式 5 / 12 （马鞍面）双叶双曲面：单叶双曲面：、双曲面：同号）（、抛物面：、椭球面：二次曲面：参数方程：其中空间直线的方程：
9、面的距离：平面外任意一点到该平、截距世方程：、一般方程：，其中、点法式：平面的方程：113,22211;,1302),(,0)()()(1222222222222222222220000002220000000000czbyaxczbyaxqpzqypxczbyaxptzzntyymtxxpnmstpzznyymxxCBADCzByAxdczbyaxDCzByAxzyxMCBAnzzCyyBxxA多元函数微分法及应用 zyzxyxyxyxyxFFyzFFxzzyxFdxdyFFyFFxdxydFFdxdyyxFdyyvdxxvdvdyyudxxuduyxvvyxuuxvvzxuuzxzyxvy
10、xufztvvztuuzdtdztvtufzyyxfxyxfdzzdzzudyyudxxududyyzdxxzdz， ， 隐函数， ， 隐函数隐函数的求导公式：时，当：多元复合函数的求导法全微分的近似计算：全微分：0),()()(0),(),(),(),(),()(),(),(),(22高等数学公式 6 / 12 ),(),(1),(),(1),(),(1),(),(1),(),(0),(0),(yuGFJyvvyGFJyuxuGFJxvvxGFJxuGGFFvGuGvFuFvuGFJvuyxGvuyxFvuvu隐函数方程组：微分法在几何上的应用： ),(),(),(30)(,()(,()(,
11、(2),(),(),(1),(0),(,0),(0),(0)()()()()()(),()()()(000000000000000000000000000000000000000000000000000zyxFzzzyxFyyzyxFxxzzzyxFyyzyxFxxzyxFzyxFzyxFzyxFnzyxMzyxFGGFFGGFFGGFFTzyxGzyxFzztyytxxtMtzztyytxxzyxMtztytxzyxzyxzyxyxyxxzxzzyzy、过此点的法线方程：、过此点的切平面方程、过此点的法向量：，则：上一点曲面则切向量若空间曲线方程为：处的法平面方程：在点处的切线方程：在点空间
12、曲线方向导数与梯度： 上的投影。在是单位向量。方向上的，为，其中：它与方向导数的关系是的梯度：在一点函数的转角。轴到方向为其中的方向导数为：沿任一方向在一点函数lyxflfljieeyxflfjyfixfyxfyxpyxfzlxyfxflflyxpyxfz),(g r a ds i nc o s),(g r a d),(g r a d),(),(s i nc o s),(),(多元函数的极值及其求法： 不确定时值时， 无极为极小值为极大值时，则：，令：设,00),(,0),(,00),(,),(,),(0),(),(22000020000000000BACBACyxAyxABACCyxfByx
13、fAyxfyxfyxf yyxyxxyx高等数学公式 7 / 12 重积分及其应用： DzDyDxzyxDyDxDDyDxDDDayxxdyxfaFayxydyxfFayxxdyxfFFFFFaaMzx o ydyxxIydyxyIxdyxdyxyMMydyxdyxxMMxd x d yyzxzAyxfzr d r drrfd x d yyxf23222232222322222D22)(),()(),()(),(,)0(),0,0(),(,),(),(),(,),(),(1),()s i n,c o s(),(， ， ，其中：的引力：轴上质点平面）对平面薄片（位于轴 对于轴对于平面薄片的转动惯
14、量：平面薄片的重心：的面积曲面柱面坐标和球面坐标： dvyxIdvzxIdvzyIdvxMdvzMzdvyMydvxMxdrrrFdddd r drrFd x d y d zzyxfdd r drdrdrrddvrzryrxzrrfzrFdzr d r dzrFd x d y d zzyxfzzryrxzyxr )()()(1,1,1s i n),(s i n),(),(s i ns i nc o ss i ns i nc o ss i n),s i n,c o s(),(,),(),(,s i nc o s22222220 0),(0222， ， 转动惯量：， 其中 重心：， 球面坐标：其中
15、：柱面坐标：曲线积分： )()()()()(),(),(),(,)()(),(22tytxdtttttfdsyxfttytxLLyxfL 特殊情况： 则： 的参数方程为：上连续，在设长的曲线积分）：第一类曲线积分（对弧高等数学公式 8 / 12 。，通常设的全微分，其中：才是二元函数时，在：二元函数的全微分求积注意方向相反！减去对此奇点的积分，应。注意奇点，如，且内具有一阶连续偏导数在，、是一个单连通区域；、无关的条件：平面上曲线积分与路径的面积：时，得到，即：当格林公式：格林公式：的方向角。上积分起止点处切向量分别为和，其中系：两类曲线积分之间的关，则：的参数方程为设标的曲线积分）：第二类曲
16、线积分（对坐0),(),(),(),()0,0(),(),(21212,)()()c o sc o s()()(),()()(),(),(),()()(00),(),(00 yxdyyxQdxyxPyxuyxuQ d yP d xyPxQyPxQGyxQyxPGy d xx d yd x d yADyPxQxQyPQ d yP d xd x d yyPxQQ d yP d xd x d yyPxQLdsQPQ d yP d xdttttQtttPdyyxQdxyxPtytxLyxyxD LD LD LL LL曲面积分： dsRQPR d x d yQ d z d xP d y d zd z d
17、 xzxzyxQd z d xzyxQd y d zzyzyxPd y d zzyxPd x d yyxzyxRd x d yzyxRd x d yzyxRd z d xzyxQd y d zzyxPd x d yyxzyxzyxzyxfdszyxfzxyzxyxyDDDDyx)c o sc o sc o s(),(,),(,),(),(),(,),(),(),(),(),(),(1),(,),(22系：两类曲面积分之间的关号。，取曲面的右侧时取正号；，取曲面的前侧时取正号；，取曲面的上侧时取正，其中：对坐标的曲面积分：对面积的曲面积分：高斯公式： dsAdvAdsRQPdsAdsnAzRyQ
18、xPdsRQPR d x d yQ d z d xP d y d zdvzRyQxPnnd i v)c o sc o sc o s(. . .,0d i v,d i v)c o sc o sc o s()(成：因此，高斯公式又可写，通量：则为消失的流体质量，若即：单位体积内所产生散度：通量与散度：高斯公式的物理意义高等数学公式 9 / 12 斯托克斯公式 曲线积分与曲面积分的关系： dstAR d zQ d yP d xARQPzyxAyPxQxRzPzQyRRQPzyxRQPzyxd x d yd z d xd y d zR d zQ d yP d xd x d yyPxQd z d xxR
19、zPd y d zzQyR的环流量：沿有向闭曲线向量场旋度：， ， 关的条件：空间曲线积分与路径无上式左端又可写成：kjir o tc o sc o sc o s)()()(常数项级数： 是发散的调和级数：等差数列：等比数列：nnnnqqqqq nn1312112)1(321111 12 级数审敛法： 散。存在，则收敛；否则发、定义法：时，不确定时，级数发散时，级数收敛，则设：、比值审敛法：时，不确定时，级数发散时，级数收敛，则设：别法）：根植审敛法（柯西判、正项级数的审敛法nnnnnnnnnnsuuusUUulim;3111lim2111lim1211。的绝对值其余项，那么级数收敛且其和如果
20、交错级数满足莱布尼兹定理：的审敛法或交错级数1113214321,0lim)0,( nnnnnnnnurrusu uuuuuuuuuu 绝对收敛与条件收敛： 高等数学公式 10 / 12 时收敛时发散级数： 收敛； 级数：收敛；发散，而调和级数：为条件收敛级数。收敛，则称发散，而如果收敛级数；肯定收敛，且称为绝对收敛，则如果为任意实数；，其中111)1(1)1()1()2()1()2()2()1(232121pnpnnnuuuuuuuupnnnn幂级数： 0010)3(lim)3(1111111221032RRRaaaaRRxRxRxRxaxaxaaxxxxxxxnnnnnnnn时，时，时，的
21、系数，则是，其中求收敛半径的方法：设称为收敛半径。，其中时不定时发散时收敛，使在数轴上都收敛，则必存收敛，也不是在全，如果它不是仅在原点 对于级数时，发散时，收敛于函数展开成幂级数： nnnnnnnnnxnfxfxffxfxRxfxxnfRxxnxfxxxfxxxfxf!)0(!2)0()0()0()(00lim)(,)()!1()()(!)()(!2)()()()(2010)1(00)(20000时即为麦克劳林公式：充要条件是：可以展开成泰勒级数的余项：函数展开成泰勒级数：一些函数展开成幂级数： )()!12()1(!5!3s i n)11(! )1()1(!2 )1(1)1(121532 xnxxxxxxxn nmmmxmmmxxnnnm 欧拉公式： 2s in2c o ss inc o sixixixixixeexeexxixe 或 三角级数：
