1、 二项式定理 一、选择题 1二项式 2x 1x 6的展开式中的常数项是 ( ) A 20 B 20 C 160 D 160 解析 二项式 (2x 1x)6 的展开式的通项是 Tr 1 Cr6(2 x)6 r 1x r Cr62 6r( 1)r x6 2r.令 6 2r 0，得 r 3，因此二项式 (2x 1x)6的展开式中的常数项是 C362 6 3( 1)3 160. 答案 D 2若二项式 x 2x n的展开式中第 5项是常数项，则正整数 n的值可能为 ( ) A 6 B 10 C 12 D 15 解析 Tr 1 Crn( x)n r 2x r ( 2)rCrnxn 3r2 ，当 r 4 时
2、， n 3r2 0，又 n N*， n 12. 答案 C 3.0x(1 t)3dt 的展开式中 x 的系数是 ( ) A 1 B 1 C 4 D 4 解析 0x(1 t)3dt 44 x0 44 14，故这个展开式中 x 的系数是 C14 4 1. 答案 B 4已知 x ax 8展开式中常数项为 1 120，其中实数 a 是常数，则展开式中各项系数的和是 ( ) A 28 B 38 C 1 或 38 D 1 或 28 解析 由题意知 C48( a)4 1 120，解得 a 2 ，令 x 1，得展开式各项系数和为 (1 a)8 1 或 38. 答案 C 5设 5x 1x n的展开式的各项系数之和
3、为 M，二项式系数之和为 N，若 M N240，则展开式中 x 的系数为 ( ) A 150 B 150 C 300 D 300 解析 由已知条件 4n 2n 240，解得 n 4， Tr 1 Cr4(5x)4 r 1x r ( 1)r54 rCr4x4 3r2 ， 令 4 3r2 1，得 r 2， T3 150x. 答案 B 6.x 13 x 2n展开式的第 6 项系数最大，则其常数项为 ( ) A 120 B 252 C 210 D 45 解析 根据二项式系数的性质，得 2n 10，故二项式x 13 x 2n 的展开式的通项公式是 Tr 1 Cr10( x)10 r13 x r Cr10x
4、5r2r3，根据题意 5r2r3 0，解得 r 6，故所求的常数项等于 C610 C410 210.正确选项为 C. 答案 C 7在 (x 2)2 006的二项展开式中，含 x 的奇次幂的项之和为 S，当 x 2时， S等于 ( ) A 23 008 B 23 008 C 23 009 D 23 009 解析 (x 2)2 006 x2 006 C12 006x2 005( 2) C22 006x2 004( 2)2 ( 2)2 006，由已知条件 S C12 006( 2)2 006 C32 006( 2)2 006 C2 0052 006( 2)2 006 22 0052 1 003 23
5、 008. 答案 B 二、填空题 8 (1 x)3(1 1x)3的展开式中 1x的系数是 _ 解析 利用二项式定理得 (1 x)3 1 1x 3的展开式的各项为 Cr3xrC n3x n Cr3Cn3xr n， 令 r n 1，故可得展开式中含 1x项的是 C03C13x C13C 23x C23C 33x 15x ， 即 (1 x)3 1 1x 3的展开式中 1x的系数是 15. 答案 15 9 设 x6 a0 a1(x 1) a2(x 1)2 a3(x 1)3 a4(x 1)4 a5(x 1)5 a6(x1)6，则 a3 _. 解析 x6 1 (x 1)6，故 a3 C36 20. 答案
6、20 10若 (1 x x2)6 a0 a1x a2x2 a12x12，则 a2 a4 a12 _. 解析 令 x 1，则 a0 a1 a2 a12 36，令 x 1，则 a0 a1 a2 a12 1， a0 a2 a4 a12 36 12 . 令 x 0，则 a0 1， a2 a4 a12 36 12 1 364. 答案 364 11已知 (1 x x2) x 1x3 n 的 展开式中没有常数项， n N*且 2 n8 ，则 n_. 解析 x 1x3 n展开式中的通项为 Tr 1 Crnxn r 1x3 r Crnxn 4r(r 0,1,2， ， 8)， 将 n 2,3,4,5,6,7,8
7、逐个检验可知 n 5. 答案 n 5 12若 (cos x)5的展开式中 x3的系数为 2，则 sin 2 2 _. 解析 由二项式定理得， x3的系数为 C35cos2 2， cos2 15，故 sin 2 2 cos2 2cos2 1 35. 答案 35 三、解答题 13若 3x 1x n的展开式中各项系数和为 1 024，试确定展开式中含 x 的整数次幂的项 解析 令 x 1，则 22n 1 024， n 5. Tr 1 Cr5(3x)5 r 1x r Cr53 5 r 1032rx ，含 x 的整数次幂即使 10 3r2 为整数， r 0、 r 2、 r 4，有 3 项， 即 T1 2
8、43x5， T3 270x2， T5 15x 1. 14在杨辉三角形中，每一行除首末两个数之外，其余每个数都等于它肩上的两数之和 (1)试用组合数表示这个一般规律： (2)在数表中试求第 n 行 (含第 n 行 )之前所有数之和； (3)试探究在杨辉三角形的某一行能否出现三个连续的数，使它们的比是 3 45，并证明你的结论 第 0 行 1 第 1 行 1 1 第 2 行 1 2 1 第 3 行 1 3 3 1 第 4 行 1 4 6 4 1 第 5 行 1 5 10 10 5 1 第 6 行 1 6 15 20 15 6 1 解析 (1)Crn 1 Crn Cr 1n (2)1 2 22 2n
9、 2n 1 1 (3)设 Cr 1n Crn Cr 1n 3 4 5 由 Cr 1nCrn 34，得rn r 134 即 3n 7r 3 0 由 CrnCr 1n 45，得r 1n r45 即 4n 9r 5 0 解 联立方程组得 n 62， r 27 即 C2662 C2762 C2862 3 4 5. 15已知等差数列 2,5,8， 与等比数列 2,4,8， ，求两数列公共项按原来顺序排列构成新数列 Cn的通项公式 解析 等差数列 2,5,8， 的通项公式为 an 3n 1， 等比数列 2,4,8， 的通项公式为 bk 2k ，令 3n 1 2k ， n N*， k N*， 即 n 2k
10、13 k 13 C0k 3k C1k 3k 1 Ck 1k k 1 Ck k k 13 ， 当 k 2m 1 时， m N*， n C02m 132m 1 C12m 132m 2 C2m 22m 133 N*， Cn b2n 1 22n 1(n N*) 16已知 f(x) 2x 12x 1. (1)试证： f(x)在 ( ， ) 上为单调递增函数； (2)若 n N*，且 n3 ，试证： f(n) nn 1. 证明 (1)任取 x1， x2 ( ， ) 设 x1 x2， f(x1) f(x2) 2x1 12x1 1 2x2 12x2 1 x1 x2 x2 x1x1 x2 x1 2x2x1 x2， 由 x1 x2则 2x1 2x2， 2x1 2x2 0.因此 f(x1) f(x2) 0，即 f(x1) f(x2)， 因此 f(x)在 ( ， ) 上单调递增 (2)当 n N*且 n3 ，要证 f(n) nn 1，即 2n 12n 1nn 1，只须证 2n 2n 1， 2n C0n C1n C2n Cnn C0n C1n Cn 1n 2n 1. f(n) nn 1.
