1、 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题 一、选择题 1不等式 x 2y 0表示的平面区域是 ( ) 解析 将点 (1,0)代入 x 2y得 1 20 1 0. 答案 D 2设实数 x， y 满足不等式组 x 2y 50，2x y 70，x0 ， y0.若 x， y 为整数，则 3x 4y的最小值是 ( ) A 14 B 16 C 17 D 19 解 析 线性区域边界上的整点为 (3,1)，因此最符合条件的整点可能为 (4,1)或(3,2)，对于点 (4,1)， 3x 4y 34 41 16；对于点 (3,2)， 3x 4y 33 42 17，因此 3x 4y 的最小值为 16. 答案 B
2、3. 设变量 x， y 满足 10,0 20,0 15,xyxyy 则 2x+3y 的最大值为 ( ) A. 20 B.35 C. 45 D. 55 解析 画出可行域，根据图形可知当 x=5,y=15 时 2x+3y 最大，最大值为 55，故选 D. 答案 D 4某厂生产的甲、乙两种产品每件可获利润分别为 30 元、 20 元，生产甲产品每件需用 A 原料 2 kg、 B原料 4 kg，生产乙产品每件需用 A 原料 3 kg、 B原料 2 kg.A原料每日供应量限额为 60 kg， B 原料每日供应量限额为 80 kg.要求每天生产的乙种产品不能比甲种产品多超过 10 件，则合理安排生产可使每
3、日获得的利润最大为 ( ) A 500 元 B 700 元 C 400 元 D 650 元 解析 设 每天 生 产 甲 乙两 种 产 品 分别 为 x， y 件，则 x， y 满足 2x 3y60 ，4x 2y80 ，y x10 ，x0 ，y0 ，x， y N*.利润 z 30x 20y. 不等式组所表示的平面区域如图，根据目标函数的几何意义，在直线 2x 3y60和直线 4x 2y 80 的交点 B处取得最大值，解方程组得 B(15,10)，代入目标函数得 zmax 3015 2010 650. 答案 D 5设实数 x， y 满足条件 4x y 100 ，x 2y 80 ，x0 ， y0 ，
4、若目标函数 z ax by(a 0， b 0)的最大值为 12，则 2a 3b的最小值为 ( ) A.256 B.83 C.113 D 4 解析 由可行域可得，当 x 4， y 6 时，目标函数 z ax by取得最大值， 4a 6b 12，即 a3 b2 1. 2a 3b 2a 3b a3 b2 136 ba ab 136 2 256. 答案 A 6已知不等式组 x y1 ，x y 1，y0表示 的平面区域为 M，若直线 y kx 3k与平面区域 M 有公共点，则 k 的取值范围是 ( ) A. 0， 13 B. ， 13 C. 13， 0 D. ， 13 解析 如图所 示，画出可行域，直线
5、 y kx 3k 过定点 (3,0)，由数形结合，知该直线的斜率的最大值为 k 0，最小值为 k 0 13 0 13. 答案 C 7设双曲线 4x2 y2 1 的两条渐近线与直线 x 2围成的三角形区域 (包含边界 )为 D， P(x， y)为 D 内的一个动点，则目标函数 z 12x y 的最小值为 ( ) A 2 B 3 22 C 0 D 5 22 解析 曲线 4x2 y2 1 的两条渐近线方程为 2x y 0,2x y 0，与直线 x 2围成的三角形区域如图中的阴影部分所示，所以目标函数 z 12x y 在点 P( 2， 2 2)处取得最小值为 z 12 2 2 2 32 2. 答案 二
6、、填空题 8若点 P(m,3)到直线 4x 3y 1 0 的距离为 4，且点 P 在不等式 2x y 3表示的平面区域内 ，则 m _. 解析 由题意可得 |4m 9 1|5 4，2m 3 3，解得 m 3. 答案 3 9在平面直角坐标系中，若不等式组 x y 10 ，x 10 ，ax y 10(a 为常数 )所表示的平面区域内的面积等于 2，则 a的值为 _ 解析 等式组 x y 10 ，x 10 表示的区域为图中阴影部分 又因为 ax y 1 0恒过定点 (0,1)， 当 a 0 时，不等式组 x y 10 ，x 10 ，ax y 10.所表示的平面区域的面积为 12，不合题意；当a0，此
7、时所围成的区域为三角形，其面积为 S 121( a 1) 2，解之得 a 3. 答案 3 10铁矿石 A 和 B 的含铁率 a，冶炼每万吨铁矿石的 CO2的排放量 b 及每万吨铁矿石的价格 c如下表： a b/万吨 c/百万元 A 50% 1 3 B 70% 0.5 6 某冶炼厂至少要生产 1.9(万吨 )铁，若要求 CO2的排放量不超过 2(万吨 )，则购买铁矿石的最少费用为 _百万元 解析 可设需购买 A矿石 x 万吨， B矿石 y万吨，则根据题意得到约束条件为： x0 ，y0 ，0.5x 0.7y1.9 ，x 0.5y2 ，目标函数为 z 3x 6y，作图可知当 目标函数经过(1,2)点
8、时目标函数取得最小值，最小值为 zmin 31 62 15(百万元 ) 答案 15 11若变量 x， y 满足约束条件 32 x y9 ，6 x y9 ， 则 z x 2y 的最小值为_ 解析 根据 32 x y9 ，6 x y9 得可行域如图所示； 根据 z x 2y 得 y x2 z2，平移直线 y x2，在 M 点 z 取得最小值根据 x y 92x y 3 得 x 4y 5， 此时 z 4 2( 5) 6. 答案 6 12若 x， y 满足约束条件 x y1 ，x y 12x y2 ，目标函数 z ax 2y仅在点 (1,0)处 取得最小值，则 a的取值范围是 _ 解析 画出可行域 ，
9、目标函数可化为 y a2x 12z，根据图象判断，当目标函数的斜率 11 x y0，x 1 x yy0，y 1 x yx0，化简即 x 12y x 1，0y12，0x12.(2)区域如下图 14画出 2x 3 y3 表示的区域，并求出所有正整数解 解析 先将所 给不等式转化为 y 2x 3，y3. 而求正整数解则意味着 x， y还有限制条件， 即求 y 2x 3，y3 ，x 0， y 0的整数解所给不等式等价于 y 2x 3，y3. 依照二元一次不等式表示平面区域可得如图 (1) 对于 2x 3 y3 的正整数解，再画出 y 2x 3，y3 ，x 0， y 0表示的平面区域 如图 (2)所示：
10、 可知，在该区域内有整数解为 (1,1)、 (1,2)、 (1,3)、 (2,2)、 (2,3)共五组 15若 a0 ， b0 ，且当 x0 ，y0 ，x y1时，恒有 ax by1 ，求以 a， b为坐标的点 P(a， b)所形成的平面区域的面积 解析 作出线性约束条件 x0 ，y0 ，x y1对应的可行域如图所示，在此条件下，要使 ax by1 恒成立，只要 ax by 的最大值不超过 1 即可 令 z ax by，则 y abx zb. 因为 a0 ， b0 ，则 1 ab0 时， b1 ，或 ab 1时， a1. 此时对应的可行域如图， 所以以 a， b为坐标的点 P(a， b)所形成
11、的面积为 1. 16某营养师要为某个儿童预订午餐和晚餐已知一个单位的午餐含 12 个单位的碳水化合物， 6 个单位的蛋白质和 6 个单位的维 生素 C；一个单位的晚餐含 8个单位的碳水化合物， 6个单位的蛋白质和 10 个单位的维生素 C.另外，该儿童S这两餐需要的营养中至少含 64个单位的碳水化合物， 42 个单位的蛋白质和 54个单位的维生素 C.如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是 2.5 元和 4 元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐？ 解析 设需要预订满足要求的午餐和晚餐分别为 x个单位和 y个单位，所花的费用为 z元，则依题意得： z 2.5x 4y，且 x， y满足 x0 ， y0 ，12x 8y64 ，6x 6y42 ，6x 10y54 ，即 x0 ， y0 ，3x 2y16 ，x y7 ，3x 5y27.让目标函数表示的直线 2.5x 4y z在可行域上平移，由此可知 z 2.5x 4y 在 (4,3)处取得最小值 因此，应当为该儿童预订 4 个单位的午餐和 3 个单位的晚餐，就可满足要求
