1、 空间点、直线、平面之间的位置关系 一、选择题 1下列命题正确的个数为 ( ) 经过三点确定一个平面； 梯形可以确定一个平面； 两两相交的三条直线最多可以确定三个平面； 如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合 A 0 B 1 C 2 D 3 解析 错误， 正确 答案 C 2设 A、 B、 C、 D 是空间四个不同的点，在下列命题中， 不 正确的是 ( ) A若 AC 与 BD 共面，则 AD 与 BC 共面 B若 AC 与 BD 是异 面直线，则 AD 与 BC 是异面直线 C若 AB AC， DB DC，则 AD BC D若 AB AC， DB DC，则 AD BC 解析 A 中，若 A
2、C 与 BD 共面，则 A、 B、 C、 D 四点共面，则 AD 与 BC 共面； B 中，若 AC 与 BD 是异面直线，则 A、 B、 C、 D 四点不共面，则 AD 与 BC 是异面直线； C 中，若 AB AC， DB DC， AD 不一定等于 BC； D 中，若 AB AC， DB DC，可以证明 AD BC. 答案 C 3若三个平面两两相交，且三条交线互相平行，则这三个平面把空间分为 ( ) A 5 部分 B 6 部分 C 7 部分 D 8 部分 解析 垂直于交线的截面如图，把空间分为 7 部分 答案 C 4正方体 ABCDA1B1C1D1中，既与 AB 共面也与 CC1共面的棱的
3、条数为 ( ) A 3 B 4 C 5 D 6 解析 依题意，与 AB 和 CC1都相交的棱有 BC；与 AB 相交且与 CC1平行的棱有 AA1，BB1；与 AB 平行且与 CC1相交的棱有 CD， C1D1，故符合条件的棱共有 5 条 答案 C 5已知正方体 ABCDA1B1C1D1中， O 是 BD1的中点，直线 A1C 交平面 AB1D1于点 M，则下列结论错误的是 ( ) A A1、 M、 O 三点共线 B M、 O、 A1、 A 四点共面 C A、 O、 C、 M 四点共面 D B、 B1、 O、 M 四点共面 解析 因为 O 是 BD1的中点由正方体的性质知， O 也是 A1C
4、的中点，所以点 O在直线 A1C 上，又直 线 A1C 交平面 AB1D1于点 M，则 A1、 M、 O 三点共线，又直线与直线外一点确定一个平面，所以 B、 C 正确 答案 D 6如图，四棱锥 SABCD 的底面为正方形， SD 底面 ABCD，则下列结论中不正确的是 ( ) A AC SB B AB 平面 SCD C SA 与平面 SBD 所成的角等于 SC 与平面 SBD 所成的角 D AB 与 SC 所成的角等于 DC 与 SA 所成的角 解析 选项 A 正确，因为 SD 垂直于平面 ABCD，而 AC 在平面 ABCD 中，所以 AC垂直于 SD；再由 ABCD 为正方形，所以 AC
5、 垂直于 BD；而 BD与 SD 相交，所以 ，AC 垂直于平面 SBD，进而垂直于 SB.选项 B 正确，因为 AB 平行于 CD，而 CD 在平面 SCD 内， AB 不在平面 SCD 内，所以 AB 平行于平面 SCD.选项 C 正确，设 AC 与BD 的交点为 O，连接 SO，则 SA 与平面 SBD 所成的角就是 ASO， SC 与平面 SBD所成的角就是 CSO，易知这两个角相等选项 D 错误， AB 与 SC 所成的角等于 SCD，而 DC 与 SA 所成的角是 SAB，这两个角不相等 答案 D 7在底面为正方形的长方体上任意选择 4 个顶点，则以这 4 个顶点为顶点构成的几何形
6、体可能是： 矩形； 不是矩形的平行四边形； 有 三个面为直角三角形，一个面为等腰三角形的四面体； 每个面都是等腰三角形的四面体； 每个面都是直角三角形的四面体则其中正确结论的序号是 ( ) A B C D 解析 由长方体的性质知 正确， 不正确；对于 ，长方体 ABCDA1B1C1D1 中的四面体 A1ABD 符合条件， 正确；对于 ，长方体 ABCDA1B1C1D1中的四面体 A1BC1D符合条件， 正确；对于 ， 长方体 ABCDA1B1C1D1中的四面体 A1ABC 符合条件 答案 A 二、填空题 8下列四个命题中，真命题为 _(写出所有正确结论的编号 ) 若两个平面有三个不共线的公共点
7、，则这两个平面重合； 两条直线可以确定一个平面； 若 M ， M ， l，则 M l； 空间中，相交于同一点的三条直线必在同一个平面内 解析 根据公理容易判断 是正确的故选 B. 答案 9若三个平面两两相交，且三条交线互相平行，则这三个平面把空间分成_部分 解析 如图所示，三个平面 、 、 两两相交， 交线分别是 a、 b、 c 且 a b c. 观察图形，可得 、 、 把空间分成 7 部分 答案 7 10以下四个命题中，正确命题的序号是 _ 不共面的四点中，任意三点不共线； 若点 A、 B、 C、 D 共面，点 A、 B、 C、 E 共面，则 A、 B、 C、 D、 E 共面； 若直线 a、
8、 b 共面，直线 a、 c 共面，则直线 b、 c 共面； 依次首尾相接的四条线段必共面 解析 可以用反证法证明，假设有三点共线，则由直线和直线外一点确定一个平面，得这四点共面； 从条件看出两平面有三个公共点 A、 B、 C，但是若 A、 B、C 共线，则结论不正确； 不正确，共面不具有传递性； 不正确，因为此时所得的四边形四条边可以不在一个平面上 答案 11已知线段 AB、 CD 分别在两条异面直线上， M、 N 分别是线段 AB、 CD 的中点，则 MN_12(AC BD)(填 “ ” ， “ ” 或 “ ”) 解析 如图所示，四边形 ABCD 是空间四边形， 而不是平面四边形，要想求 M
9、N 与 AB、 CD 的关系， 必须将它们转化到平面来考虑我们可以连接 AD， 取 AD 的中点为 G，再连接 MG、 NG，在 ABD 中， M、 G 分 别是线段 AB、 AD 的中点，则 MG BD，且 MG 12BD，同理，在 ADC 中，NG AC，且 NG 12AC，又根据三角形的三边关系知， MN MG NG，即 MN 12BD 12AC 12(AC BD) 答案 12如图，矩形 ABCD 中， AB 2， BC 4，将 ABD 沿对角线BD 折起到 ABD 的位置，使点 A 在平面 BCD 内的射影点 O恰好落在 BC 边上，则异面直线 AB 与 CD 所成角的大小为_ 解析
10、如题图所示， 由 AO 平面 ABCD， 可得平面 ABC 平面 ABCD， 又由 DC BC 可得 DC 平面 ABC ， DC AB ， 即得异面直线 AB 与 CD 所成角的大小为 90. 答案 90 三 、解答题 13如图，已知平面 ， ，且 l.设梯形 ABCD 中， AD BC，且 AB ， CD .求证： AB， CD， l 共点 (相交于一点 ) 证明 梯形 ABCD 中， AD BC， AB， CD 是梯形 ABCD 的两腰 AB， CD 必定相交于一点 设 AB CD M. 又 AB ， CD ， M ，且 M . M . 又 l， M l. 即 AB， CD， l 共点
11、14如图，平面 ABEF 平面 ABCD，四边形 ABEF 与 ABCD 都是直角梯形， BAD FAB 90 ， BC 綉 12AD， BE 綉 12FA， G、 H 分别为 FA、 FD 的中点 (1)求证：四边形 BCHG 是平行四边形； (2)C、 D、 F、 E 四点是否共面？为什么？ 解析 (1)证明 由题设知， FG GA， FH HD， 所以 GH 綉 12AD.又 BC 綉 12AD，故 GH 綉 BC. 所以四边形 BCHG 是平行四边形 (2)C、 D、 F、 E 四点共面理由如下： 由 BE 綉 12AF， G 是 FA 的中点知， BE 綉 GF， 所以 EF 綉 B
12、G. 由 (1)知 BG CH，所以 EF CH，故 EC、 FH 共面又点 D 在直线 FH 上，所以 C、D、 F、 E 四点共面 15如图所示，正方体 ABCDA1B1C1D1中， A1C 与截面 DBC1交于 O 点， AC， BD 交于 M点，求证： C1， O， M 三点共线 证明 C1 平面 A1ACC1， 且 C1 平面 DBC1， C1是平面 A1ACC1与平面 DBC1的公共点 又 M AC， M 平面 A1ACC1. M BD， M 平面 DBC1， M 也是平面 A1ACC1与平面 DBC1的公共点， C1M 是平面 A1ACC1与平面 DBC1的交线 O 为 A1C
13、与截面 DBC1的交点， O 平面 A1ACC1， O 平面 DBC1， 即 O 也是两平面的公共点， O 直线 C1M，即 C1， O， M 三点共线 16.如图，空间四边形 ABCD 中， E、 F 分别是 AD、 AB 的中点， G、 H 分别在 BC、CD 上，且 BG GC DH HC 1 2. (1)求证： E、 F、 G、 H 四点共面； (2)设 FG 与 HE 交于点 P，求证： P、 A、 C 三点共线 证明 (1) ABD 中， E、 F 为 AD、 AB 中点， EF BD. CBD 中， BG GC DH HC 1 2， GH BD， EF GH(平行线公理 )， E、 F、 G、 H 四点共面 (2) FG HE P， P FG， P HE， P 面 ABC， P 面 ADC又面 ABC 面 ADC AC P 直线 AC. P、 A、 C 三点共线
