1、 离散型随机变量及其分布列 一、选择题 1已知随机变量 X 的分布列如下表： X 1 2 3 4 5 P 115 215 m 415 13 则 m 的值为 ( ) A.115 B. 215 C.15 D. 415 解析 利用概率之和等于 1，得 m 315 15. 答案 C 2抛掷两枚骰子一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差为 ，则 “ 5” 表示的试验结果是 ( ) A第一枚 6 点，第二枚 2 点 B第一枚 5 点，第二枚 1 点 C第一枚 1 点，第二枚 6 点 D第一枚 6 点，第二枚 1 点 解析 第一枚的点数减去第二枚的点数不小于 5，即只能等于 5，故选 D.
2、答案 D 3离散型随机变量 X 的概率分布规律为 P(X n) an n (n 1,2,3,4)，其中 a 是常数，则 P(12 X 52)的值为 ( ) A.23 B.34 C.45 D.56 解析 由 ( 112 123 134 145 ) a 1. 知 45a 1 a 54. 故 P(12 X 52) P(1) P(2) 12 54 16 54 56. 答案 D 4设某项试验的成功率为失败率的 2 倍，用随机变量 X 去描述 1 次试验的成功次数，则 P(X 0)的值为 ( ) A 1 B.12 C.13 D.15 解析 设 X 的分布列为： X 0 1 P p 2p 即 “ X 0”
3、表示试验失败， “ X 1” 表示试验成功，设失败的概率为 p，成功的概率为 2p.由 p 2p 1，则 p 13，因此选 C. 答案 C 5一袋中有 5 个白球， 3 个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现 10 次时停止，设停止时共取了 X 次球，则 P(X 12)等于 ( ) A C1012 38 10 58 2 B C912 38 9 58 238 C C911 58 9 38 2 D C911 38 10 58 2 解析 “ X 12” 表示第 12 次取到红球，前 11 次有 9 次取到红球， 2 次取到白球，因此 P(X 12) 38C911 38 9
4、 58 2 C911 38 10 58 2. 答案 D 6从 4 名男生和 2 名女生中任选 3 人参加演讲比赛，设随机变量 表示所选 3人中女生的人数，则 P( 1) 等于 ( ) A.15 B.25 C.35 D.45 解析 P( 1) 1 P( 2) 1 C14C22C36 45. 答案 D 7一盒中有 12 个乒乓球，其中 9 个新的， 3 个旧的，从盒中任取 3 个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数 X 是一个随机变量，则 P(X 4)的值为 ( ) A. 1220 B.2755 C. 27220 D.2155 解析 用完后装回盒中，此时盒中旧球个数 X 是一个随机变量当 X
5、4 时，说明取出的 3 个球有 2 个旧球， 1 个新球， P(X 4) C19C23C312 27220，故选 C. 答案 C 二、填空题 8随机变量 X 的分布列如下： X 1 0 1 P a b c 其中 a， b， c 成等差数列，则 P(|X| 1) _. 解析 a， b， c 成等差数列， 2b a c. 又 a b c 1， b 13， P(|X| 1) a c 23. 答案 23 9.某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至少命中一次的概率为 1625 ，则该队员每次罚球的命中率为 _ 解析 由 25161 2 p 得 53p 答案 35 10设随机变量 X 的
6、分布列为 P(X i) i10， (i 1,2,3,4)，则 P 12 X 72 _. 解析 P 12 X 72 P(X 1) P(X 2) P(X 3) 35. 答案 35 11如图所示， A、 B 两点 5 条连 线并联，它们 在单位时间内能通过的最大信息量依次为 2,3,4,3,2. 现记从中任取三条线且在单位时间内通过的最大信 息总量为 ，则 P( 8) _. 解析 法一 由已知 的取值为 7,8,9,10， P( 7) C22C12C35 15， P( 8) C22C11 C22C12C35 310， P( 9) C12C12C11C35 25， P( 10) C22C11C35 1
7、10， 的概率分布列为 7 8 9 10 P 15 310 25 110 P( 8) P( 8) P( 9) P( 10) 310 25 110 45. 法二 P( 8) 1 P( 7) 1 C22C12C35 45. 答案 45 12甲、乙两个袋子中均装有红、白两种颜色的小球，这些小球除颜色外完全相同，其中甲袋装有 4 个红球、 2 个白球，乙袋装有 1 个红球、 5 个白球现分别从甲、乙两袋中各随机抽取 2 个球，则取出的红球个数 X 的取值集 合是 _ 解析 甲袋中取出的红球个数可能是 0,1,2，乙袋中取出的红球个数可能是 0,1，故取出的红球个数 X 的取值集合是 0,1,2,3 答
8、案 0,1,2,3 三、解答题 13口袋中有 n(n N*)个白球， 3 个红球，依次从口袋中任取一球，如果取到红球，那么继续取球，且取出的红球不放回；如果取到白球，就停止取球记取球的次数为 X.若 P(X 2) 730，求： (1)n 的值； (2)X 的分布列 解析 (1)由 P(X 2) 730知 C13C1n 3C1nC1n 2730， 90n 7(n 2)(n 3) n 7. (2)X 1,2,3,4 且 P(X 1) 710， P(X 2) 730， P(X 3) 7120， P(X 4) 1120. X 的分布列为 X 1 2 3 4 P 710 730 7120 1120 14
9、.袋中装着标有数字 1,2,3,4,5 的小球各 2 个从袋中任取 3 个小球，按 3 个小球上最大数字的 9 倍计分，每个小球被取出的可能性都相等，用 X 表示取出的3 个小球上的最大数字，求： (1)取出的 3 个小球上的数字互不相同的概率； (2)随机变量 X 的分布列； (3)计分介于 20 分到 40 分之间的概率 解析 (1)“ 一次取出的 3 个小球上的数字互不相同 ” 的事件记为 A，则 P(A)C35C12C12C12C310 23. (2)由题意知， X 有可能的取值为 2,3,4,5，取相应值的概率分别为 P(X 2) C22C12 C12C22C310 130； P(X
10、 3) C24C12 C14C22C310 215； P(X 4) C26C12 C16C22C310 310； P(X 5) C28C12 C18C22C310 815. 所以随机变量 X 的分布列为： X 2 3 4 5 P 130 215 310 815 (3)“ 一次取球所得计分介于 20 分到 40 分之间 ” 的事件记为 C，则 P(C) P(X 3 或 X 4) P(X 3) P(X 4) 215 310 1330. 15在一次购物抽奖活动中，假设某 10 张券中有一等奖券 1 张，可获价值 50元的奖品；有二等奖券 3 张，每张可获价值 10 元的奖品；其余 6 张没有奖某顾客
11、从此 10 张奖券中任抽 2 张，求： (1)该顾客中奖的概率； (2)该顾客获得的奖品总价值 X 元的概率分布列 解析 (1)该顾客中奖，说明是从有奖 的 4 张奖券中抽到了 1 张或 2 张，由于是等可能地抽取，所以该顾客中奖的概率 P C14C16 C24C210 304523. 或用间接法，即 P 1 C26C210 1154523. (2)依题意可知， X 的所有可能取值为 0,10,20,50,60(元 )，且 P(X 0) C04C26C210 13， P(X 10)C13C16C210 25， P(X 20) C23C210115， P(X 50)C11C16C210 215，
12、 P(X 60) C11C13C210 115. 所以 X 的分布列为： X 0 10 20 50 60 P 13 25 115 215 115 【点评】 概率、随机变量及其分布列与实际问题的结合题型在新课标高考中经常出现，其解题的一般步骤为： ,第一步：理解以实际问题为背景的概率问题的题意，确定离散型随机变量的所有可能值； ,第二步：利用排列、组合知识或互斥事件，独立事件的概率公式求出随机变量取每个可能值的概率； ,第三步：画出随机变量的分布列； ,第四步：明确规范表述结论； 16.某地最近出台一项机动车驾照考试规定：每位考试者一年之内最多有 4 次参加考试的机会，一旦某次考试通过，便可领取
13、驾照，不再参加以后的考试，否则就一直考到第 4 次为止如果李明决定参加驾照考试，设他每次参加考试通过的概率依次为 0.6,0.7,0.8,0.9.求在一年内李明参加驾照考试次数 X 的分布列，并求李明在一年内领到驾照的概率 解析 X 的取值分别为 1,2,3,4. X 1，表明李明第一次参加驾照考试就通过了， 故 P(X 1) 0.6. X 2，表明李明在第一次考试未通过，第二次通过了， 故 P(X 2) (1 0.6)0.7 0.28. X 3，表明李明在第一、二次考试未通过，第三次通过了， 故 P(X 3) (1 0.6)(1 0.7)0.8 0.096. X 4，表明李明第一、二、三次考试都未通过， 故 P(X 4) (1 0.6)(1 0.7)(1 0.8) 0.024. 李明实际参加考试次数 X 的分布列为 X 1 2 3 4 P 0.6 0.28 0.096 0.024 李明在一年内领到驾照的概率为 1 (1 0.6)(1 0.7)(1 0.8)(1 0.9) 0.997 6.
