1、 两角和与差的正弦、余弦、正切 一、选择题 1. cos13计 算 sin43 cos43-sin13 的值等于（ ） A.12 B. 33 C. 22 D. 32 解析 原式 = 1sin (4 3 -1 3 )= sin 30 = 2，故选 A. 答案 A 2.已知锐角 满足 cos 2 cos 4 ，则 sin 2 等于 ( ) A.12 B 12 C. 22 D 22 解析：由 cos 2 cos 4 得 (cos sin )(cos sin ) 22 (cos sin ) 由 为锐角知 cos sin 0. cos sin 22 ，平方得 1 sin 2 12. sin 2 12.
2、答案： A 3已知 x 2， 0 ， cos x 45，则 tan 2x 等于 ( ) A.724 B 724 C.247 D 247 解析 x 2， 0 ， cos x 45. sin x 35， tan x 34. tan 2x 2tan x1 tan2x2 341 34 2 247 . 答案 D 4已知 ， 都是锐角，若 sin 55 ， sin 1010 ，则 ( ) A.4 B.34 C.4 和 34 D 4 和 34 解析 由 ， 都为锐角，所以 cos 1 sin2 2 55 ， cos 1 sin2 3 1010 .所以 cos( ) cos cos sin sin 22 ，所
3、以 4. 答案 A 5若 0 2 ， 2 0， cos 4 13， cos 4 2 33 ，则cos 2 ( ) A. 33 B 33 C.5 39 D 69 解析 对于 cos 2 cos 4 4 2 cos 4 cos 4 2 sin 4 sin 4 2 ， 而 4 4 ， 34 ， 4 2 4， 2 ， 因此 sin 4 2 23 ， sin 4 2 63 ， 则 cos 2 13 33 2 23 63 5 39 . 答案 C 6已知 是第二象限角，且 sin( ) 35，则 tan2 的 值为 ( ) A.45 B 237 C 247 D 83 解析 由 sin( ) 35，得 sin
4、 35，又 是第二象限角，故 cos 1 sin2 45， tan 34， tan2 2tan1 tan2 2 341 34 2 247. 答案 C 7已知 cos 6 sin 4 35 ，则 sin 76 的值是 ( ) A 2 35 B.2 36 C 45 D.45 解析 cos 6 sin 4 35 32sin 32 cos 4 35 sin 6 45， 所以 sin 76 sin 6 45. 答案 C 二、填空题 8已知 cos 4 13， 0， 2 ，则 cos _. 解析： 0， 2 ， 4 4 ， 34 ， sin 4 2 23 . 故 cos cos 4 4 cos 4 cos
5、4 sin 4 sin4 13 22 2 23 22 4 26 . 答案 ： 4 26 9 化简 2sin50 sin10(1 3tan10) 2sin280 的结果是 _ 解析 原式 2sin50 sin10 cos10 3sin10cos10 2sin80 2sin50 2sin1012cos10 32 sin10cos10 2cos10 2sin50 2sin10 cos cos10 2cos10 2 2(sin50 cos10 sin10 cos50) 2 2sin60 6. 答案 6 10 已知 tan 4 3， 则 sin 2 2cos2 的值为 _ 解析 法一 tan 4 3，
6、1 tan 1 tan 3， 解得 tan 12. sin 2 2cos2 sin 2 cos 2 1 2sin cos sin2 cos2 cos2 sin2sin2 cos2 1 2tan 1 tan2 1 tan2 1 tan2 1 45 35 1 45. 法二 sin 2 2cos2 sin 2 cos 2 1 cos 2 2 sin 2 2 1 1 tan2 4 1 tan2 4 2tan 4 1 tan2 4 1 1 91 9 231 9 1 45. 答案 45 11 函数 f(x) 2cos2x sin 2x的最小值是 _ 解析 f(x) 2cos2x sin 2x 1 cos
7、2x sin 2x 1 2sin 2x 4 ， f(x)min 1 2. 答案 1 2 12 若 cos( ) 15， cos( ) 35， 则 tan tan _. 解析 由已知，得 cos cos sin sin 15， cos cos sin sin 35，则有 cos cos 25， sin sin 15， sin sin cos cos 12，即 tan tan 12. 答案 12 三、解答题 13已知 sin 4 x 513，且 x 4， 34 ，求 1 tan x1 tan x. 解析 x 4 ， 34 ， 4 x 2 ， ， cos 4 x 1213， tan 4 x 512，
8、 1 tan x1 tan x 1tan x 4 125. 14设函数 f(x) sinx sin x 2 ， x R. (1)若 12，求 f(x)的最大值及相应的 x 的集合； (2)若 x 8 是 f(x)的一个零点，且 0 10，求 的值和 f(x)的最小正周期 解析 (1)f(x) sin x sin x 2 sin x cos x， 当 12时 ， f(x) sinx2 cosx2 2sin x2 4 ， 而 1 sin x2 4 1 ， 所以 f(x)的最大值为 2， 此时， x2 4 2 2k ， k Z，即 x 32 4k ， k Z， 相应的 x的集合为 xx 32 4k
9、， k Z . (2)因为 f(x) 2sin x 4 ， 所以， x 8是 f(x)的一个零点 f 8 sin 8 4 0， 即 8 4 k ， k Z，整理，得 8k 2， 又 0 10，所以 08k 210， 14k1，而 k Z，所以 k 0， 2， f(x) 2sin 2x 4 ， f(x)的最小正周期为 . 15在 ABC 中， A、 B、 C 为三个内角， f(B) 4cos Bsin 2 4 B2 3cos 2B 2cos B. (1)若 f(B) 2，求角 B； (2)若 f(B) m 2 恒成立，求实数 m的取值范围 解析 (1)f(B) 4cos B1 cos 2 B2
10、3cos 2B 2cos B 2cos B(1 sin B) 3cos 2B 2cos B 2cos Bsin B 3cos 2B sin 2B 3cos 2B 2sin 2B 3 . f(B) 2， 2sin 2B 3 2， 3 2B 3 73 ， 2B 3 2. B 12. (2)f(B) m 2 恒成立 ， 即 2sin 2B 3 2 m恒成立 0 B ， 2sin 2B 3 2,2， 2 m 2. m 4. 16 (1) 证明两角和的余弦公式 C( )： cos( ) cos cos sin sin ； 由 C( )推导两角和的正弦公式 S( )： sin( ) sin cos cos
11、 sin . (2)已知 cos 45， ， 32 ， tan 13， 2， ， 求 cos( ) 解析 (1)证明 如图，在直角坐标系 xOy 内作单位圆 O，并作出角 ， 与 ，使角 的始边为 Ox 轴非负半轴，交 O于点 P1，终边交 O 于点 P2；角 的始边为 OP2，终边交 O于点 P3，角 的始边为 OP1，终边交 O 于点 P4. 则 P1(1,0)， P2(cos ， sin )， P3(cos( )， sin( )， P4(cos( )， sin( ) 由 P1P3 P2P4及两点间 的距离公式，得 cos( ) 12 sin2( ) cos( ) cos 2 sin( )
12、 sin 2，展开并整理，得 2 2cos( ) 2 2(cos cos sin sin ) cos( ) cos cos sin sin . 由 易得， cos 2 sin ， sin 2 cos . sin( ) cos 2 cos 2 cos 2 cos( ) sin 2 sin( ) sin cos cos sin . sin( ) sin cos cos sin . (2) ， 32 ， cos 45， sin 35. 2， ， tan 13， cos 3 1010 ， sin 1010 . cos( ) cos cos sin sin 45 3 1010 35 1010 3 1010 .
