1、 三角函数的图象与性质 一、选择题 1函数 f(x) 2sin xcos x是 ( ) A最小正周期为 2 的奇函数 B最小正周期为 2 的偶函数 C最小正周期为 的奇函数 D最小正周期为 的偶函数 解析 f(x) 2sin xcos x sin 2x. f(x)是最小正周期为 的奇函数 答案 C 2. 已知 0， 0 ， 直线4x和 45x 是函数 f(x)=sin( x+ )图像的两条相邻的对称轴，则 =( ) A.4 B.3 C.2 D.34 答案 A 3函数 f(x) (1 3tan x)cos x的最小正周期为 ( ) A 2 B.32 C D. 2 解析 依题意，得 f(x) co
2、s x 3sin x 2sin x 6 .故最小正周期为 2. 答案 A 4函数 y sin x 4 在区间 0， 2 上 ( ) A单调递增且有最大值 B单调递增但无最大值 C单调递减且有最大值 D单调递减但无最大值 解析 由 2 x 4 2 ，得 4 x 34 ， 则函数 y sin x 4 在区间 4 ， 34 上是增函数， 又 0， 2 4， 34 ，所以函数在 0， 2 上是增函数，且有最大值 22 ，故选A. 答案 A 5已知函数 f(x) sin x 2 (x R)，下面结论错误的是 ( ) A函数 f(x)的最小正周期为 2 B函数 f(x)在区间 0， 2 上是增函数 C函数
3、 f(x)的图象关于直线 x 0 对称 D函数 f(x)是奇函数 解析 y sin x 2 cos x， T 2 ，在 0， 2 上是增函数，图象关于y轴对称，为偶函数 答案 D 6函数 y sin2x sin x 1的值域为 ( ) A 1,1 B. 54， 1 C. 54， 1 D. 1， 54 解析 (数形结合法 )y sin2x sin x 1，令 sin x t，则有 y t2 t 1， t 1,1，画出函数图象如图所示，从图象可以看出，当 t 12及 t 1 时，函数取最值，代入 y t2 t 1可得 y 54， 1 . 答案 C 【点评】 本题采用换元法转化为关于新元的二次函数问
4、题，再用数形结合来解决，但换元后注意新元的范围 . 7已知函数 f(x) 2sin(x )， x R，其中 0， . 若 f(x)的最小正周期为 6 ，且当 x 2时， f(x)取得最大值，则 ( ) A f(x)在区间 2 ， 0上是增函数 B f(x)在区间 3 ， 上是增函数 C f(x)在区间 3 ， 5 上是减函数 D f(x)在区间 4 ， 6 上是减函数 解析： f(x)的最小正周期为 6 ， 13， 当 x 2 时， f(x)有最大值， 13 2 2 2k( k Z)， 3 2k ， ， 3 . f(x) 2sin x3 3 ，由此函数图象易得，在区间 2 ， 0上是增函数，而
5、在区间 3 ， 或 3 ， 5 上均没单调性，在区间 4 ， 6 上是单调增函数 答案： A 二、填空题 8定义在 R 上的函数 f(x)既是偶函数又是周期函数，若 f(x)的 最小正周期是 ，且当 x 0， 2时， f(x) sin x，则 f 53 的值为 _ 解析： f 53 f 3 f 3 sin3 32 . 答案： 32 9已知函数 f(x) sin(x ) 3cos(x ) 2， 2 是偶函数，则 的值为 _ 解析 (回顾检验法 )据已知可得 f(x) 2sin x 3 ，若函数为偶函数，则必有 3 k 2 (k Z)，又由于 2 ， 2 ，故有 3 2，解得 6，经代入检验符合题
6、意 答案 6 【点评】 本题根据条件直接求出 的值，应将 再代入已知函数式检验一下 . 10函数 f(x)2sin x 4 2x2 x2x2 cos x 的最大值为 M，最小值为 m，则 M m_. 解析 (构造法 )根据分子和分母同次的特点，把分子展开，得到部分分式， f(x) 1 x sin x2x2 cos x， f(x) 1 为奇函数，则 m 1 (M 1)，所以 M m 2. 答案 2 【点评】 整体思考，联想奇函数，利用其对称性简化求解，这是整体观念与构造思维的一种应用 .注意到分式类函数的结构特征，借助分式类函数最值的处理方法，部分分式法，变形发现辅助函数为奇函数，整体处理最大值
7、和最小 值的问题以使问题简单化，这种构造特殊函数模型的方法来源于对函数性质应用的深刻理解 . 11关于函数 f(x) 4sin 2x 3 (x R)，有下列命题： 由 f(x1) f(x2) 0可得 x1 x2必是 的整数倍； y f(x)的表达式可改写为 y 4cos 2x 6 ； y f(x)的图象关于点 6， 0 对称； y f(x)的图象关于直线 x 6 对称 其中正确命题的序号是 _(把你认为正确的命题序号都填上 ) 解析 函数 f(x) 4sin 2x 3 的最小正周期 T ，由相邻两个零点的横坐标间的距离是 T2 2知 错 利用诱导公式得 f(x) 4cos 2 2x 3 4co
8、s 6 2x 4cos 2x 6 ，知 正确 由于曲线 f(x)与 x 轴的每个交点都是它的对称中心，将 x 6 代入得 f(x)4sin 2 6 3 4sin 0 0， 因此点 6 ， 0 是 f(x)图象的一个对称中心，故命题 正确曲线 f(x)的对称轴必经过图象的最高点或最低点，且与 y轴平行，而 x 6时 y 0，点 6 ， 0不是最高点也不是最低点，故直线 x 6不是图象的对称轴，因此命题 不正确 答 案 12给出下列命题： 正切函数的图象的对称中心是唯一的； y |sinx|， y |tanx|的最小正周期分别为 ， 2 ； 若 x1x2，则 sinx1sinx2； 若 f(x)是
9、 R上的奇函数，它的最小正周期为 T，则 f T2 0. 其中正确命题的序号是 _ 解析 正切函数的对称中心是 k2 ， 0 (k Z)； y |sinx|， y |tanx|的最小正周期都是 ； 正弦函数在定义域 R 上不是单调函数； f T2 f T2 T f T2 f T2 ，故 f T2 0. 答案 三、解答题 13. 已知函数 f(x) 2sinxcosx 2sin2x 1. (1)求函数 f(x)的最小正周期及值域； (2)求 f(x)的单调递增区间 解析 (1)f(x) sin2x cos2x 2sin 2x 4 ， 则函数 f(x)的最小正周期是 ， 函数 f(x)的值域是 2
10、， 2 . (2)依题意得 2k 2 2 x 42 k 2(k Z)， 则 k 38 x k 8(k Z)， 即 f(x)的单调递增区间是 k 38 ， k 8 (k Z) 14已知 f(x) sin x sin 2 x . (1)若 0， ，且 sin 2 13，求 f( )的值； (2)若 x 0， ，求 f(x)的单调递增区间 解析 (1)由题设知， f( ) sin cos . sin 2 13 2sin cos 0， 0， ， 0， 2 ， sin cos 0. 由 (sin cos )2 1 2sin cos 43， 得 sin cos 23 3， f( ) 23 3. (2)f(
11、x) 2sin x 4 ，又 0 x ， f(x)的单调递增区间为 0， 4 . 15设函数 f(x) sin(2x )( 0)， y f(x)图象的一条对称轴是直线 x 8 . (1)求 ； (2)求函数 y f(x)的单调增区间 解析 (1)令 2 8 k 2 ， k Z， k 4 ， k Z， 又 0，则 54 k 14， k Z， k 1，则 34 . (2)由 (1)得： f(x) sin 2x 34 ， 令 2 2k2 x 34 2 2k ， k Z， 可解得 8 k x 58 k ， k Z， 因此 y f(x)的单调增区间为 8 k ， 58 k ， k Z. 16已知 a 0
12、，函数 f(x) 2asin 2x 6 2a b，当 x 0， 2 时，5 f(x)1. (1)求常数 a， b 的值； (2)设 g(x) f x 2 且 lg g(x) 0，求 g(x)的单调区间 解析 (1) x 0， 2 ， 2x 6 6， 76 . sin 2x 6 12， 1 ， 2asin 2x 6 2a， a f(x) b,3a b， 又 5 f(x)1 ， b 5,3a b 1， 因此 a 2， b 5. (2)由 (1)得 a 2， b 5， f(x) 4sin 2x 6 1， g(x) f x 2 4sin 2x 76 1 4sin 2x 6 1， 又由 lg g(x) 0得 g(x) 1， 4sin 2x 6 1 1， sin 2x 6 12， 2k 6 2x 6 2k 56 ， k Z， 其中当 2k 6 2x 62 k 2 ， k Z 时， g(x)单调递增， 即 k x k 6， k Z， g(x)的单调增区间为 k ， k 6 ， k Z. 又 当 2k 2 2x 6 2k 56 ， k Z 时， g(x)单调递减， 即 k 6 x k 3， k Z. g(x)的单调减区间为 k 6， k 3 ， k Z.
