1、 曲线与方程 一、选择题 1已知两定点 A(1,1)， B( 1， 1)，动点 P 满足 PA PB x22，则点 P 的轨迹是( ) A圆 B椭圆 C双曲线 D拋物线 解析 设点 P(x， y)，则 PA (1 x,1 y)， PB ( 1 x， 1 y)， 所以 PA PB (1 x)( 1 x) (1 y)( 1 y) x2 y2 2. 由已知 x2 y2 2 x22，即x24y22 1，所以点 P 的轨迹为椭圆 答案 B 2已知点 F 14， 0 ，直线 l： x 14，点 B 是 l 上的动点若 过 B 垂直于 y 轴的直线与线段 BF 的垂直平分线交于点 M，则点 M 的轨迹是 (
2、 ) A双曲线 B椭圆 C圆 D抛物线 解析 由已知： |MF| |MB|.由抛物线定义知，点 M 的轨迹是以 F 为焦点， l 为准线的抛物线，故选 D. 答案 D 3长为 3 的线段 AB 的端点 A、 B 分别在 x 轴、 y 轴上移动， AC 2CB ，则点 C的轨迹是 ( ) A线段 B圆 C椭圆 D双曲线 解析 设 C(x， y)， A(a,0)， B(0， b)，则 a2 b2 9， 又 AC 2CB ，所以 (x a， y) 2( x， b y)， 即 a 3x，b 32y， 代入 式整理可得 x2 y24 1. 答 案 C 4设圆 (x 1)2 y2 25 的圆心为 C， A
3、(1,0)是圆内一定点，Q 为圆周上任一点线段 AQ 的垂直平分线与 CQ 的连线交于点 M，则 M 的轨迹方程为 ( ) A.4x2214y225 1 B.4x2214y225 1 C.4x2254y221 1 D.4x2254y221 1 解析 M 为 AQ 垂直平分线上一点，则 |AM| |MQ|， |MC| |MA| |MC| |MQ| |CQ| 5，故 M 的轨迹为椭圆， a 52， c 1，则 b2 a2 c2 214 ， 椭圆的标准方程为 4x2254y221 1. 答案 D 5已知二面角 l 的平面角为 ，点 P 在二面角内， PA ， PB ，A， B 为垂足，且 PA 4，
4、 PB 5，设 A， B 到棱 l 的距离分别为 x， y， 当 变化时，点 (x， y)的轨迹方程是 ( ) A x2 y2 9(x0) B x2 y2 9(x0 ， y0) C y2 x2 9(y0) D y2 x2 9(x0 ， y0) 解析 实际上就是求 x， y 所满足的一个等式，设平面 PAB 与二面角的棱的交点是 C，则 AC x， BC y，在两个直角三角形 Rt PAC， Rt PBC 中其斜边相等，根据勾股定理即可得到 x， y 所满足的关系式如图， x2 42 y2 52， 即 x2 y2 9(x0 ， y0) 答案 B 6 ABC 的顶点 A( 5,0)、 B(5,0)
5、， ABC 的内切圆圆心在直线 x 3 上，则顶点 C 的轨迹方程是 ( ) A.x29y216 1 B.x216y29 1 C.x29y216 1(x3) D.x216y29 1(x4) 解析 如图 |AD| |AE| 8， |BF| |BE| 2， |CD| |CF|， 所以 |CA| |CB| 8 2 6. 根据双曲线定义，所求轨迹是以 A、 B 为焦点， 实轴长为 6 的双曲线的右支，方程为 x29y216 1(x3) 答案 C 7 |y| 1 1 x 12表示的曲线是 ( ) A抛物线 B一个圆 C两个圆 D两个半圆 解析 原方程等价于 |y| 101 x 20y| 2 1 x 2
6、|y| 10x 2 y| 2 1 y1x 2 y 2 1 或 y 1x 2 y 2 1 答案 D 二、填 空题 8. 在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C 的中心为原点，焦点 12,FF在 x 轴上，离心率为 22 。过 l 的直线 交于 ,AB两点，且 2ABF 的周长为 16，那么 C 的方程为 。 答案 9在 ABC 中， A 为动点， B、 C 为定点， B a2， 0 ， C a2， 0 (a0)，且满足条件 sin C sin B 12sin A，则动点 A 的轨迹方程是 _ 解析 由正弦定 理： |AB|2R |AC|2R 12 |BC|2R ， |AB| |AC| 12|BC
7、|，且为双曲线右支 答案 16x2a2 16y23a2 1(x0 且 y0) 10已知圆的方程为 x2 y2 4，若抛物线过点 A( 1,0)、 B(1,0)且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点轨迹方程是 _ 解析 设抛物线焦点为 F，过 A、 B、 O 作准线的垂线 AA1、 BB1、 OO1，则 |AA1| |BB1| 2|OO1| 4，由抛物线定义得 |AA1| |BB1| |FA| |FB|， |FA| |FB| 4，故 F 点的轨迹是以 A、 B 为焦点，长轴长为 4 的椭圆 (去掉长轴两端点 ) 答案 x24y23 1(y0) 11已知 P 是椭圆 x2a2y2b2 1 上的任意一点
8、， F1、 F2是它的两个焦点， O 为坐标原点， OQ PF1 PF2，则动点 Q 的轨迹方程是 _ 解析 由 OQ PF1 PF2， 又 PF1 PF2 PM 2PO 2OP， 设 Q(x， y)，则 OP 12OQ 12(x， y) x2， y2 ， 即 P 点坐标为 x2， y2 ，又 P 在椭圆上， 则有 x2 2a2 y22b2 1，即x24a2y24b2 1. 答案 x24a2y24b2 1 12. 曲线 C是平面内与两个定点 F1( 1,0)和 F2(1,0)的距离的积等于常数 a2(a1)的点的轨迹，给出下列三个结论： 曲线 C 过坐标原点； 曲线 C 关于坐标原点对称； 若
9、点 P 在曲线 C 上，则 F1PF2的面积不大于 12a2. 其中，所 有正确结论的序号是 _ 解析 曲线 C 经过原点，这点不难验证是错误的，如果经过原点，那么 a 1，与条件不符； 曲线 C 关于原点对称，这点显然正确，如果在某点处 |PF1|PF2| a2，关于原点的对称 点处也一定符合 |PF1|PF2| a2； 三角形的面积 SF1F2P2 a22，很显然 S F1F2P 12|PF1|PF2|sin F1PF2 12|PF1|PF2| a22.所以 正确 答案 三、解答题 13.如图，已知 F(1,0)，直线 l： x 1， P 为平面上的动点，过点 P作 l 的垂线，垂足为点
10、Q，且 QP QF FP FQ .求动点 P 的轨迹 C 的方程 解析 法一：设点 P(x， y)，则 Q( 1， y)， 由 QP QF FP FQ ，得 (x 1,0)(2 ， y) (x 1， y)( 2， y)，化简得 C： y2 4x. 法二：由 QP QF FP FQ ， 得 FQ ( PQ PF ) 0， (PQ PF )( PQ PF ) 0， PQ 2 PF 2 0. |PQ | |PF |. 点 P 的轨迹 C 是抛物线，由题意，轨迹 C 的方程为 y2 4x. 14已知定点 F(0,1)和直线 l1： y 1，过定点 F 与直线 l1相切的动圆的圆心为点 C. (1)求动
11、点 C 的轨迹方程； (2)过点 F 的直线 l2交轨迹于两点 P、 Q，交直线 l1于点 R，求 RP RQ的最小值 解析 (1)由题设知点 C 到点 F 的距离等于它到 l1的距离， 点 C 的轨迹是以 F为焦点 ， l1为准线的抛物线， 动点 C 的轨迹方程为 x2 4y. (2)由题意知，直线 l2方程可设为 y kx 1(k0) ， 与抛物线方程联立消去 y，得 x2 4kx 4 0. 设 P(x1， y1)， Q(x2， y2)，则 x1 x2 4k， x1x2 4. 又易得点 R 的坐标为 2k， 1 ， RP RQ x1 2k， y1 1 x2 2k， y2 1 x1 2k x
12、2 2k (kx1 2)(kx2 2) (1 k2)x1x2 2k 2k (x1 x2) 4k2 4 4(1 k2) 4k 2k 2k 4k2 4 4 k2 1k2 8. k2 1k22 ，当且仅当 k2 1 时取等号， RP RQ42 8 16，即 RP RQ的最小值为 16. 15已知双曲线 x22 y2 1 的左、右顶点分别为 A1、 A2，点 P(x1， y1)， Q(x1， y1)是双曲线上不同的两个动点 (1)求直线 A1P 与 A2Q 交点的轨迹 E 的方程； (2)若过点 H(0， h)(h 1)的两条直线 l1和 l2与轨迹 E 都只有一个交点，且 l1l2，求 h 的值 解
13、析 (1)由题设知 |x1| 2， A1( 2， 0)， A2( 2， 0)， 则有直线 A1P 的方程为 y y1x1 2(x 2)， 直线 A2Q 的方程为 y y1x1 2(x 2) 联立 解得交点坐标为 x 2x1， y 2y1x1， 即 x1 2x， y1 2yx ， 则 x0 ， |x| 2. 而点 P(x1， y1)在双曲线 x22 y2 1 上， x212 y21 1. 将 代入上式，整理得所求轨迹 E 的方程为 x22 y2 1， x0 且 x 2. (2)设过点 H(0， h)的直线为 y kx h(h 1)， 联立 x22 y2 1 得 (1 2k2)x2 4khx 2h
14、2 2 0. 令 16k2h2 4(1 2k2)(2h2 2) 0 得 h2 1 2k2 0， 解得 k1 h2 12 ， k2 h2 12 . 由于 l1 l2，则 k1k2 h2 12 1，故 h 3. 过点 A1， A2分别引直线 l1， l2通过 y 轴上的点 H(0， h)，且使 l1 l2，因此 A1HA2H， 由 h2 h2 1，得 h 2.此时， l1， l2的方程分别为 y x 2与 y x 2， 它们与轨迹 E 分别仅有一个交点 23 ， 2 23 与 23 ， 2 23 . 所以，符合条件的 h 的值为 3或 2. 16设椭圆方程为 x2 y24 1，过点 M(0,1)的
15、直线 l 交椭圆于 A， B 两点， O 为坐标原点，点 P 满足 OP 12(OA OB)，点 N 的坐标为 12， 12 ，当直线 l 绕点 M 旋转时，求： (1)动点 P 的轨迹方程； (2)|NP|的最大值，最小值 解析 (1)直线 l 过定点 M(0,1)，设其斜率为 k，则 l 的方程为 y kx 1. 设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，由题意知， A、 B 的坐标满足方程组 y kx 1，x2 y24 1.消去 y 得 (4 k2)x2 2kx 3 0. 则 4k2 12(4 k2)0. x1 x2 2k4 k2， x1x2 34 k2. 设 P(x， y)是 AB 的中点，则 OP 12(OA OB)，得 x 12 x1 x2 k4 k2，y 12 y1 y2 12 kx1 1 kx2 4 2k24 k2 ；消去 k 得 4x2 y2 y 0. 当斜率 k 不存在时， AB 的中点是坐标原点，也满足这个方程， 故 P 点的轨迹方程为 4x2 y2 y 0. (2)由 (1)知 4x2 y 12 2 14 14 x 14 而 |NP|2 x 12 2 y 12 2 x 12 2 1 16x24 3 x 16 2 712， 当 x 16时， |NP|取得最大值 216 ， 当 x 14时， |NP|取得最小值 14.
