1、 数列的概念及简单表示法 一、选择题 (每小题 5 分，共 25 分 ) 1数列 an： 1， 58， 715， 924， 的一个通项公式是 ( ) A an ( 1)n 12n 1n2 n(n N ) B an ( 1)n 12n 1n3 3n(n N ) C an ( 1)n 12n 1n2 2n(n N ) D an ( 1)n 12n 1n2 2n(n N ) 解析 观察数 列 an各项，可写成： 313 ， 524 ， 735 ， 946 ，故选 D. 答案 D 2把 1,3,6,10,15,21 这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点子可以排成一个正三角形 (如图所示 ) 则第七
2、个三角形数是 ( ) A 27 B 28 C 29 D 30 解析 观察三角形数的增长规律，可以发现每一项与它的前一项多的点数正好是本身的序号，所以根据这个规律计算即可根据三角形数的增长规律可知 第七个三角形数是 1 2 3 4 5 6 7 28. 答案 B 3对于数列 an， “ an 1 |an|(n 1,2， )” 是 “ an为递增数列 ” 的 ( ) A必要不充分条件 B充分不必要条件 C必要条件 D既不充分也不必要条件 解析 当 an 1 |an|(n 1,2， ) 时， |an| an， an 1 an， an为递增数列当 an为递增数列时，若该数列为 2,0,1，则a2 |a1
3、|不成立，即知： an 1 |an|(n 1,2， ) 不一定成立故综上知， “ an 1 |an|(n 1,2， )” 是 “ an为递增数列 ” 的充分不必要条件 答案 B 4在数列 an中， an 2n2 29n 3，则此数列最大项的值是 ( ) A 103 B.8658 C.8258 D 108 解析 根据题意并结合二次函数的性质可得： an 2n2 29n 3 2 n2 292n 3 2 n 294 2 3 8418 ， n 7 时， an取得最大值，最大项 a7的值为 108. 答案 D 5设数列 an满足： a1 2， an 1 1 1an，记数列 an的前 n 项之积为 n，则
4、 2 011的值为 ( ) A 12 B 1 C.12 D 2 解析：由 a2 12， a3 1， a4 2 可知，数列 an是周期为 3 的周期数列，从而 2 011 1 2. 答案： D 6已知整数按如下规律排成一列： (1,1)， (1,2)， (2,1)， (1,3)， (2,2)， (3,1)，(1,4)， (2,3)， (3,2)， (4,1)， ，则第 60 个数对是 ( ) A (5,5) B (5,6) C (5,7) D (5,8) 解析 按规律分组 第一组 (1,1) 第二组 (1,2)， (2,1) 第三组 (1,3)， (2,2)， (3,1) 则前 10 组共有 1
5、0112 55 个有序实数对 第 60 项应在第 11组中即 (1,11)， (2,10)， (3,9)， (4,8)， (5,7)， ， (11,1)因此第 60 项为 (5,7) 答案 C 7.已知数列 na 的前 n 项和为 nS ， 1 1a ， 12nnSa ， ,则 nS ( ) A. 12n B. 1)23( n C. 1)32( n D.121n解析 因为 nnn SSa 11 ，所以由 12 nn aS 得， )(2 1 nnn SSS ，整理得123 nn SS ，所以 231 nnSS ，所以数列 nS 是以 111 aS 为首项，公比 23q 的等比数列，所以 1)23
6、( nnS，选 B. 答案 B 二、填空题 8在函数 f(x) x中，令 x 1,2,3， ，得到一个数列，则这个数列的前 5项是 _ 答案 1， 2， 3， 2， 5 9已知数列 an满足 a1 2，且 an 1an an 1 2an 0(n N*)，则 a2 _；并归纳出数列 an的通项公式 an _. 解析 当 n 1 时，由递推公式，有 a2a1 a2 2a1 0，得 a2 2a1a1 1 43； 同理 a3 2a2a2 1 87， a4 2a3a3 1 1615，由此可归纳得出数列 an的通项公式为 an2n2n 1. 答案 43 2n2n 1 10已知数列 an的前 n 项和 Sn
7、 n2 9n，第 k 项满足 5 ak 8，则 k 的值为_ 解析 Sn n2 9n， n2 时， an Sn Sn 1 2n 10， a1 S1 8 适合上式， an 2n 10(n N*)， 5 2k 10 8，得 7.5 k 9. k 8. 答案 8 11在数列 an中， a1 12， an 1 1 1an(n2) ，则 a16 _. 解析 由题可知 a2 1 1a1 1， a3 1 1a2 2， a4 1 1a3 12， 此数列是以 3为周期的周期数列， a16 a35 1 a1 12. 答案 12 12已知数列 an的通项公式为 an (n 2)(78)n，则当 an取得最大值时，
8、n 等于_ 解析：由题意知 an an 1，an an 1， n 78 n n 78 n 1，n 78 n n 78 n 1. n6 ，n5. n 5 或 6. 答案： 5 或 6 三、解答题 13数列 an的通项公式是 an n2 7n 6. (1)这个数列的第 4 项是多少？ (2)150 是不 是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？ (3)该数列从第几项开始各项都是正数？ 解析 ： (1)当 n 4 时， a4 42 47 6 6. (2)令 an 150，即 n2 7n 6 150，解得 n 16，即 150 是这个数列的第 16 项 (3)令 an n2 7n 60，解得 n
9、6 或 n1(舍 )， 从第 7 项起各项都是正数 14已知各项均为正数的数列 an的前 n 项和满足 Sn 1，且 6Sn (an 1)(an2)， n N*.求 an的通项公式 解析 由 a1 S1 16(a1 1)(a1 2)， 解得 a1 1 或 a1 2， 由已知 a1 S1 1， 因此 a1 2. 又由 an 1 Sn 1 Sn 16(an 1 1)(an 1 2) 16(an 1)(an 2)， 得 an 1 an 3 0 或 an 1 an. 因 an 0， 故 an 1 an不成立 ， 舍去 因此 an 1 an 3 0. 即 an 1 an 3，从而 an是公差为 3，首项
10、为 2 的等差数列，故 an的通项为 an 3n 1. 【点评】 解决已知数列的前 n 项和 Sn与通项 an的关系，求通项 an的 问题，步骤主要有： ,第一步：令 n 1，由 Sn f an 求出 a1； 第二步：令 n2 ，构造 an Sn Sn 1，用 an代换 Sn Sn 1 或用 Sn Sn 1代换 an，这要结合题目的特点 ，由递推关系求通项； 第三步：验证当 n 1 时的结论是否适合当 n2 时的结论 .如果适合，则统一 “ 合写 ” ；如果不适合，则应分段表示； 第四步：明确规范表述结论 . 15在数列 an中， a1 1， an 1 an 2n 1，求 an. 解析 由 a
11、n 1 an 2n 1，得 an 1 an 2n 1. 所以 a2 a1 1， a3 a2 2， a4 a3 22， a5 a4 23， an an 1 2n 2(n2) ， 将以上各式左右两端分别相加，得 an a1 1 2 22 2n 2 2n 1 1， 所以 an 2n 1(n2) ，又因为 a1 1 适合上式，故 an 2n 1(n1) 16已知数列 an满足前 n 项和 Sn n2 1，数列 bn满足 bn 2an 1，且前 n 项和为 Tn，设 cn T2n 1 Tn. (1)求数列 bn的通项公式； (2)判断数列 cn的增减性 解析 (1)a1 2， an Sn Sn 1 2n 1(n2) bn 1n n ，23 n(2) cn bn 1 bn 2 b2n 1 1n 1 1n 2 12n 1， cn 1 cn 12n 2 12n 3 1n 1 n 1n n n 0， cn是递 减数列
