1、 数列求和 一、选择题 (每小题 5分，共 25 分 ) 1.在等差数列 na 中， 5,1 42 aa ,则 na 的前 5 项和 5S =( ) A.7 B.15 C.20 D.25 解析 15 242 4 51 , 5 5 5 1 522aa aaa a S . 答案 B 2若数列 an的通项公式是 an ( 1)n(3n 2)，则 a1 a2 a10 ( ) A 15 B 12 C 12 D 15 解析 设 bn 3n 2，则数列 bn是以 1 为首项， 3 为公差的等差数列，所以 a1 a2 a9 a10 ( b1) b2 ( b9) b10 (b2 b1) (b4 b3) (b10
2、 b9) 53 15. 答案 A 3数列 112， 314， 518， 7116， 的前 n 项和 Sn为 ( ) A n2 1 12n 1 B n2 2 12n C n2 1 12n D n2 2 12n 1 解析 由题意知已知数列的通项为 an 2n 1 12n， 则 Sn n 2n2 121 12n1 12 n2 1 12n. 答案 C 4已知数列 an的通项公式是 an 1n n 1，若前 n 项和为 10，则项数 n为( ) A 11 B 99 C 120 D 121 解析 an 1n n 1 n 1 n， Sn a1 a2 an ( 2 1) ( 3 2) ( n 1 n) n 1
3、 1.令 n 1 1 10，得 n 120. 答案 C 5. 已知数列 an的通项公式为 an 2n 1，令 bn 1n(a1 a2 an)，则数列 bn的前 10 项和 T10 ( ) A 70 B 75 C 80 D 85 解析 由已知 an 2n 1，得 a1 3， a1 a2 an 2n2 n(n 2)， 则 bn n 2， T10 2 75，故选 B. 答案 B 6已知数列 an的前 n 项和 Sn an2 bn(a、 b R)，且 S25 100，则 a12 a14等于 ( ) A 16 B 8 C 4 D不确定 解析 由数列 an的前 n 项和 Sn an2 bn(a、 b R)
4、，可得数列 an是等差数列，S25 a1 a252 100，解得 a1 a25 8，所以 a1 a25 a12 a14 8. 答案 B 7若数列 an为等比数列，且 a1 1， q 2，则 Tn 1a1a2 1a2a3 1anan 1的结果可化为 ( ) A 1 14n B 1 12n C.23 1 14n D.23 1 12n 解析 an 2n 1，设 bn 1anan 1 12 2n 1，则 Tn b1 b2 bn 12 12 3 12 2n 1121 14n1 14 23 1 14n . 答案 C 二、填空题 8数列 an的通项公式为 an 1n n 1，其前 n项之和为 10，则在平面
5、直角坐标系中，直线 (n 1)x y n 0 在 y轴上的截距为 _ 解析 由已知，得 an 1n n 1 n 1 n，则 Sn a1 a2 an ( 2 1) ( 3 2) ( n 1 n) n 1 1， n 1 1 10，解得 n 120，即直线方程化为 121x y 120 0，故直线在 y轴上的截距为 120. 答案 120 9等比数列 an的前 n 项和 Sn 2n 1，则 a21 a22 a2n _. 解析 当 n 1 时， a1 S1 1， 当 n2 时， an Sn Sn 1 2n 1 (2n 1 1) 2n 1， 又 a1 1适合上式 an 2n 1， a2n 4n 1. 数
6、列 a2n是以 a21 1为首项，以 4为公比的等比数列 a21 a22 a2n 4n1 4 13(4n 1) 答案 13(4n 1) 10已知等比数列 an中， a1 3， a4 81，若数列 bn满足 bn log3an，则数列1bnbn 1的前 n项和 Sn _. 解析 设等比数列 an的公比为 q，则 a4a1 q3 27，解得 q 3.所以 an a1qn 133 n 1 3n，故 bn log3an n， 所以 1bnbn 1 1n n 1n 1n 1. 则 Sn 1 12 12 13 1n 1n 1 1 1n 1 nn 1. 答案 nn 1 11定义运算： a bc d ad b
7、c，若数列 an满足a1 122 1 1 且 3 3an an 112(n N*)，则 a3 _，数列 an的通项公式为 an _. 解析 由题意得 a1 1 1,3an 1 3an 12即 a1 2， an 1 an 4. an是以 2为首项， 4为公差的等差数列 an 2 4(n 1) 4n 2， a3 43 2 10. 答案 10 4n 2 12已知数列 an： 12， 13 23， 14 24 34， ， 110 210 310 910， ，那么数列 bn1anan 1 的前 n 项和 Sn为 _ 解析 由已知条件可得数列 an的通项为 an 1 2 3 nn 1 n2. bn 1an
8、an 1 4n n 4 1n 1n 1 . Sn 4 1 12 12 13 1n 1n 1 4 1 1n 1 4nn 1. 答案 4nn 1 三、解答题 13已知等差数列 an的前 n项和为 Sn，且 a3 5， S15 225. (1)求数列 an的通项公式； (2)设 bn 2an 2n，求数列 bn的前 n 项和 Tn. 解析 ： (1)设等差数列 an的首项为 a1，公差为 d， 由题意，得 a1 2d 5，15a1 15142 d 225， 解得 a1 1，d 2， an 2n 1. (2) bn 2an 2n 124 n 2n， Tn b1 b2 bn 12(4 42 4n) 2(
9、1 2 n) 4n 1 46 n2 n 234n n2 n 23. 14设 an是公比为正数的等比数列， a1 2， a3 a2 4. (1)求 an的通项公式； (2)设 bn是首项为 1，公差为 2的等差数列，求数列 an bn的前 n 项和 Sn. 解析 (1)设 q 为等比数列 an的公比，则由 a1 2， a3 a2 4得 2q2 2q 4，即q2 q 2 0，解得 q 2或 q 1(舍去 )，因此 q 2. 所以 an的通项为 an 22 n 1 2n(n N*) (2)Sn 2n1 2 n1 n n2 2 2n 1 n2 2. 15设 an是等差数列， bn是各项都为正数的等比数
10、列，且 a1 b1 1， a3 b5 21， a5 b3 13. (1)求 an， bn的通项公式； (2)求数列anbn 的前 n项和 Sn. 解析 (1)设 an的公差为 d， bn的公比为 q，则依题意有 q 0 且 1 2d q4 21，1 4d q2 13， 解得 d 2，q 2. 所以 an 1 (n 1)d 2n 1， bn qn 1 2n 1. (2)anbn 2n 12n 1 ， Sn 1 321 522 2n 32n 2 2n 12n 1 ， 2Sn 2 3 52 2n 32n 3 2n 12n 2 . ，得 Sn 2 2 22 222 22n 2 2n 12n 1 2 2
11、 1 12 122 12n 2 2n 12n 1 2 21 12n 11 12 2n 12n 1 6 2n 32n 1 . 16等差数列 an的各项均为正数， a1 3，前 n 项和为 Sn， bn为等比数列， b1 1，且 b2S2 64， b3S3 960. (1)求 an与 bn； (2)求 1S1 1S2 1Sn. 解析 (1)设 an的公差为 d， bn的公比为 q，则 d 为正数， an 3 (n 1)d，bn qn 1. 依题意有 S2b2 d q 64，S3b3 3d q2 960， 解得 d 2，q 8 或 d 65，q 403.(舍去 ) 故 an 3 2(n 1) 2n 1， bn 8n 1. (2)Sn 3 5 (2n 1) n(n 2)， 所以 1S1 1S2 1Sn 113 124 135 1n n 12 1 13 12 14 13 15 1n 1n 2 12 1 12 1n 1 1n 2 34 2n 3n n 2 .
