1、 双曲线 一、选择题 1已知 F1， F2是双曲线 x2a2y2b2 1(a 0， b 0)的两焦点，以线段 F1F2为边作正三角形 MF1F2，若边 MF1的中点 P在双曲线上，则双曲 线的离心率为（ ） A 4 2 3 B. 3 1 C. 3 12 D. 3 1 解析 (数形结合法 )因为 MF1的中点 P 在双曲线上， |PF2| |PF1| 2a， MF1F2为正三角形，边长都是 2c，所以 3c c 2a， 所以 e ca 23 1 3 1，故选 D. 答案 D 【点评】 本题利用双曲线的定义列出关于 a、 c的等式，从而迅速获解 . 2. 已知双曲线 C ： 22xa- 22yb=
2、1 的焦距为 10 ，点 P （ 2,1）在 C 的渐近线上，则 C 的方程为（ ） A 220x - 25y =1 B. 25x - 220y =1 C. 280x - 220y =1 D. 220x - 280y =1 答案 A 3设双曲线 x2a2y29 1(a 0)的渐近线 方程为 3x2 y 0，则 a的值为 ( ) A 4 B 3 C 2 D 1 解析 双曲线 x2a2y29 1的渐近线方程为 3x ay 0与已知方程比较系数得 a 2. 答案 C 4设直线 l过双曲线 C的一个焦点，且与 C 的一条对称轴垂直， l 与 C 交于 A，B两点， |AB|为 C的实轴长的 2倍，则
3、C的离心率为 ( ) A. 2 B. 3 C 2 D 3 解析 设双曲线 C 的方程为 x2a2y2b2 1，焦点 F( c,0)，将 x c代入x2a2y2b2 1可得 y2 b4a2，所以 |AB| 2b2a 22 a， b2 2a2， c2 a2 b2 3a2， e ca 3. 答案 B 5设 F1、 F2是双曲线 x23 y2 1 的两个焦点 ， P 在双曲线上，当 F1PF2的面积为2时， 1PF 2PF 的值为 ( ) A 2 B 3 C 4 D 6 解析 设点 P(x0， y0)，依题意得， |F1F2| 2 3 1 4， S PF1F2 12|F1F2| y0| 2|y0| 2
4、， |y0| 1， x203 y20 1， x20 3(y20 1) 6， 1PF 2PF ( 2 x0， y0)(2 x0， y0) x20 y20 4 3. 答案 B 6已知双曲线 x2a2y2b2 1(a 0， b 0)的左顶点与抛物线 y2 2px(p 0)的焦点的距离为 4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为 ( 2， 1)，则双曲线的焦距为 ( ) A 2 3 B 2 5 C 4 3 D 4 5 解析 由题意得 a p2 4， p2 2， 1 ba p 4，a 2，b 1 c a2 b2 5. 双曲线的焦距 2c 2 5. 答案 B 7如图，已知点 P 为双曲线 x21
5、6y29 1右支上一点， F1、 F2分别为双曲线的左、右焦点， I为 PF1F2的内心，若 S IPF1 S IPF2 S IF1F2成立，则 的值为 ( ) A.58 B.45 C.43 D.34 解析 根据 S IPF1 S IPF2 S IF1F2，即 |PF1| |PF2| |F1F2|， 即 2a 2c，即 ac 45. 答案 B 二、填空题 8双曲线 x23y26 1的右焦点到渐近线的距离是 _ 解析 由题意得：双曲线 x23y26 1 的渐近线为 y 2x. 焦点 (3,0)到直线 y 2x 的距离为 3 22 1 6. 答案 6 9已知双曲线 x2a2y2b2 1左、右焦点分
6、别为 F1、 F2，过点 F2作与 x轴垂直的直线与双曲线一个交点为 P，且 PF1F2 6 ，则双曲线的渐近线方程为 _ 解析 根据已知 |PF1| 2b2a 且 |PF2|b2a，故2b2a b2a 2a，所以b2a2 2，ba 2. 答案 y 2x 10.已知双曲线 2222 1( 0 b 0 )xy aab ， 的两条渐近线均和圆 : 22 6 5 0x y x 相切 ,且双曲线的右焦点为圆 C 的圆心 ,则该双曲线的方程为 _ c=3,所以 b=2,即 2 5a ,所以该双曲线的方程为 22154xy. 答案 22154xy 11如图，已知双曲线以长方形 ABCD 的顶点 A、 B
7、为左、右焦点，且双曲线过 C、D两顶点若 AB 4， BC 3，则此双曲线的标准方程为 _ 解析 设双曲线的标准方程为 x2a2y2b2 1(a 0， b 0)由题意得 B(2,0)， C(2,3)， 4 a2 b2，4a29b2 1，解得 a2 1，b2 3， 双曲线的标准方程为 x2 y23 1. 答案 x2 y23 1 12已知点 (2,3)在双曲线 C： x2a2y2b2 1(a 0， b 0)上， C的焦距为 4，则它的离心率为 _ 解析 根据点 (2,3)在双曲线上，可以很容易建立一个关于 a， b 的等式，即 4a29b2 1，考虑到焦距为 4，这也是一个关于 c 的等式， 2c
8、 4，即 c 2.再有双曲线自身的一个等式 a2 b2 c2，这样，三个方程，三个未知量，可以解出 a 1，b 3， c 2，所以，离心率 e 2. 答案 2 三、解答题 13已知双曲线 E的中心为原点， F(3,0)是 E 的焦点，过 F的直线 l 与 E相交于A， B两点，且 AB的中点为 N( 12， 15)，则 E 的方程 解析 设双曲线的标准方程为 x2a2y2b2 1(a0， b0)， 由题意知 c 3， a2 b2 9， 设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则有： x21a2 y21b2 1，x22a2y22b2 1，两式作差得： y1 y2x1 x2b2 x1 x2a
9、2 y1 y2 12b2 15a24b25a2， 又 AB 的斜率是 15 0 12 3 1， 所以将 4b2 5a2代入 a2 b2 9 得 a2 4， b2 5. 所以双曲线的标准方程是 x24y25 1. 14求适合下列条件的双曲线方程 (1)焦点在 y轴上，且过点 (3， 4 2)、 94， 5 . (2)已知双曲线的渐近线方程为 2x3 y 0，且双曲线经过点 P( 6， 2) 解析 (1)设所求双曲线方程为 y2a2x2b2 1(a 0， b 0)，则因为点 (3， 4 2)，94， 5 在双曲线上， 所以点的坐标满足方程，由此得 32a2 9b2 1，25a28116b2 1.令
10、 m 1a2， n 1b2，则方程组化为 32m 9n 1，25m 8116n 1. 解方程组得 m 116，n 19. a2 16， b2 9.所求双曲线方程为 y216x29 1. (2)由双曲线的渐近线方程 y 23x， 可设双曲线方程为 x29y24 ( 0) 双曲线过点 P( 6， 2)， 69 44 ， 13， 故所求双曲线方程为 34y2 13x2 1. 15设 A， B 分别为双曲线 x2a2y2b2 1(a 0， b 0)的左，右顶点，双曲线的实轴长为 4 3，焦点到渐近线的距离为 3. (1)求双曲线的方程； (2)已知直线 y 33 x 2 与双曲线的右支交于 M、 N
11、两点，且在双曲线的右支上存在点 D，使 OM ON tOD ，求 t的值及点 D的坐标 解析 (1)由题意知 a 2 3， 一条渐近线为 y b2 3x， 即 bx 2 3y 0， |bc|b2 12 3， b2 3， 双曲线的方程为 x212y23 1. (2)设 M(x1， y1)， N(x2， y2)， D(x0， y0)， 则 x1 x2 tx0， y1 y2 ty0， 将直线方程代入双曲线方程得 x2 16 3x 84 0， 则 x1 x2 16 3， y1 y2 12， x0y04 33 ，x2012y203 1， x0 4 3，y0 3， t 4，点 D的坐标为 (4 3， 3)
12、 16已知双曲线的中心在原点，焦点 F1， F2 在坐标轴上，离心率为 2，且过点(4， 10) (1)求双曲线方程； (2)若点 M(3， m)在双曲线上，求证： MF1 MF2 0； (3)求 F1MF2的面积 解析 (1) e 2， 设双曲线方程为 x2 y2 . 又 双曲线过 (4， 10)点， 16 10 6， 双曲线方程为 x2 y2 6. (2)证明 法一 由 (1)知 a b 6， c 2 3， F1( 2 3， 0)， F2(2 3， 0)， kMF1 m3 2 3， kMF2 m3 2 3， kMF1 kMF2 m29 12m2 3，又点 (3， m)在双曲线上， m2 3， kMF1 kMF2 1， MF1 MF2， MF1 MF2 0. 法二 MF1 ( 3 2 3， m)， MF2 (2 3 3， m)， MF1 MF2 (3 2 3)(3 2 3) m2 3 m2. M 在双曲线上， 9 m2 6， m2 3， MF1 MF2 0. (3) F1MF2中 |F1F2| 4 3，且 |m| 3， S F1MF2 12| F1F2| m| 124 3 3 6.
