1、 正弦定理和余弦定理 一、选择题 1在 ABC 中， C 60 ， AB 3， BC 2，那么 A 等于 ( ) A 135 B 105 C 45 D 75 解析 由正弦定理知 BCsin A ABsin C，即 2sin A 3sin 60 ，所以 sin A 22 ，又由 题知， BC AB， A 45. 答案 C 2已知 a， b， c 是 ABC 三边之长，若满足等式 (a b c)(a b c) ab，则角 C 的大小为 ( ) A 60 B 90 C 120 D 150 解析 由 (a b c)(a b c) ab，得 (a b)2 c2 ab， c2 a2 b2 ab a2 b2
2、 2abcos C， cos C 12， C 120. 答案 C 3在 ABC 中，角 A、 B、 C 的对边分别为 a、 b、 c，且 a ， b 3 ( 0)，A 45 ，则满足此条件的三角形个数是 ( ) A 0 B 1 C 2 D无数个 解析：直接根 据正弦定理 可得 asin A bsin B，可得 sin B bsin Aa 3 sin 45 62 1，没有意义，故满足条件的三角形的个数为 0. 答案： A 4在 ABC 中，角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，若 acos A bsin B，则sin Acos A cos2B 等于 ( ) A 12 B.12 C
3、1 D 1 解析 根据正弦定理，由 acos A bsin B，得 sin Acos A sin2B， sin Acos A cos2B sin2B cos2B 1. 答案 D 5. 在 ABC 中，角 ,ABC 所对边的长分别为 ,abc，若 2 2 22a b c ，则 cosC 的最小值为（ ） A. 32 B. 22 C. 12 D. 12 解析 2122c o s2222222 ba ccab cbaC ，故选 C. 答案 C 6在 ABC 中， sin2 Asin 2 B sin2 C sin Bsin C，则 A的取值范围是 ( ) A. 0， 6 B. 6， C. 0， 3 D
4、. 3， 解析 由已知及正弦定理有 a2 b2 c2 bc，而由余弦定理可知 a2 b2 c22bccos A，于是可得 b2 c2 2bccos A b2 c2 bc，可得 cos A 12，注意到在 ABC 中， 0 A ，故 A 0， 3 . 答案 C 7若 ABC 的内角 A、 B、 C所对的边 a、 b、 c 满足 (a b)2 c2 4，且 C 60 ，则 ab 的值为 ( ) A.43 B 8 4 3 C 1 D.23 解析 依题意得 a b2 c2 4a2 b2 c2 2abcos 60 ab ，两式相减 得 ab43，选 A. 答案 A 二、填空题 8如图， ABC 中， A
5、B AC 2， BC 2 3，点 D 在 BC边上， ADC 45 ，则AD的长度等于 _ 解析 在 ABC 中， AB AC 2， BC 2 3， cos C 32 ， sin C 12；在 ADC 中，由正弦定理得， ADsin C ACsin ADC， AD 2sin 45 12 2. 答案 2 9. 在锐角 ABC 中， a， b， c 分别为角 A， B， C 所对的边，且 3a 2csin A，角 C _. 解析：根据正弦定理， asin A csin C， 由 3a 2csin A，得 asin A c32， sin C 32 ，而角 C 是锐角 角 C 3. 答案： 3 10.
6、设 ABC 的内角 A， B， C所对的边分别为 a， b， c，若三边的长为连续的三个正整数，且 A B C， 3b=20acosA，则 sinA sinB sinC 为 _ 答案 6 5 4 11若 AB 2， AC 2BC，则 S ABC的最大值 _ 解析 (数形结合法 )因为 AB 2(定长 )，可以令 AB 所在的直线为 x 轴，其中垂线为 y轴建立直角坐标系，则 A( 1,0)， B(1,0)，设 C(x， y)，由 AC 2BC， 得 x 2 y2 2 x 2 y2，化简得 (x 3)2 y2 8， 即 C 在以 (3,0)为圆心， 2 2为半径的圆上运动， 所以 S ABC 1
7、2| AB| yC| |yC|2 2，故答案为 2 2. 答案 2 2 12在锐角 ABC 中，角 A， B， C的对边分别为 a， b， c，若 ba ab 6cos C，则 tan Ctan A tan Ctan B的值是 _ 解析 法一 取 a b 1，则 cos C 13，由余弦定理得 c2 a2 b2 2abcos C 43， c 2 33 ，在如图所示的等腰三角形 ABC 中，可得 tan A tan B 2，又 sin C 2 23 ， tan C 2 2， tan Ctan A tan Ctan B 4. 法二 由 ba ab 6cos C，得 a2 b2ab 6a2 b2 c
8、22ab ， 即 a2 b2 32c2， tan Ctan A tan Ctan B tan C cos Asin A cos Bsin B sin2Ccos Csin Asin B2c2a2 b2 c2 4. 答案 4 三、解答题 13叙述并证明余弦定理 解析 余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦之积的两倍或：在 ABC 中， a， b， c为 A， B， C的对边，有 a2 b2 c2 2bccos A， b2 c2 a2 2cacos B， c2 a2 b2 2abcos C， 法一 如图 (1)， 图 (1) a2 BC BC (AC AB )(
9、 AC AB ) AC 2 2AC AB AB 2 AC 2 2|AC | AB |cos A AB 2 b2 2bccos A c2，即 a2 b2 c2 2bccos A. 同理可证 b2 c2 a2 2cacos B， c2 a2 b2 2abcos C. 法二 图 (2) 已知 ABC 中 A， B， C 所对边分别为 a， b， c，以 A为原点， AB 所在直线为 x轴建立直角坐标系，如图 (2)则 C(bcos A， bsin A)， B(c,0)， a2 |BC|2 (bcos A c)2 (bsin A)2 b2cos2A 2bccos A c2 b2sin2A b2 c2
10、2bccos A. 同理可证 b2 c2 a2 2cacos B， c2 a2 b2 2abcos C. 14在 ABC 中， a、 b、 c 分别为 A、 B、 C 的对边， B 23 ， b 13， a c 4，求 a. 解析 ：由余弦定理 b2 a2 c2 2accos B a2 c2 2accos23 a2 c2 ac (a c)2 ac. 又 a c 4， b 13， ac 3. 联立 a c 4，ac 3， 解得 a 1或 a 3. 15.在 ABC 中，内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，且 bsinA= 3 acosB. （ 1）求角 B的大小； （ 2）若 b
11、=3， sinC=2sinA，求 a， c的值 . 16在 ABC 中，内角 A， B， C的对边分别为 a， b， c.已知 cos A 2cos Ccos B 2c ab . (1)求 sin Csin A的值； (2)若 cos B 14， ABC 的周长为 5，求 b 的长 解析 (1)由正弦定理，设 asin A bsin B csin C k， 则 2c ab 2ksin C ksin Aksin B 2sin C sin Asin B ， 所以 cos A 2cos Ccos B 2sin C sin Asin B . 即 (cos A 2cos C)sin B (2sin C sin A)cos B， 化简可得 sin(A B) 2sin(B C) 又 A B C ， 所以 sin C 2sin A，因此 sin Csin A 2. (2)由 sin Csin A 2 得 c 2a. 由余弦定理及 cos B 14得 b2 a2 c2 2accos B a2 4a2 4a2 14 4a2. 所以 b 2a.又 a b c 5.从而 a 1，因此 b 2.
