1、 直线、平面垂直的判定与性质 一、选择题 1设 l， m 是两条不同的直线， 是一个平面，则下列命题正确的是 ( ) A若 l m， m ，则 l B若 l ， l m，则 m C若 l ， m ，则 l m D若 l ， m ，则 l m 答案 B 2已知 、 表示两个不同的平面， m 为平面 内的一条直线，则 “ ”是 “ m ” 的 ( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 解析 由面面垂直的判定定理，知 m . 答案 B 3若 m、 n 是两条不同的直线， 、 是两个不同的平面，则下列命题 不 正确的是 ( ) A若 ， m ，则 m B若 m n
2、， m ，则 n C若 m ， m ，则 D若 m，且 n 与 、 所成的角相等，则 m n 解析 容易判定选项 A、 B、 C 都正确，对于选项 D，当直线 m 与 n 平行时，直线 n与两平面 、 所成的角也相等，均为 0 ，故 D 不正确 答案 D 4设 a， b 为两条直线， ， 为两个平面，则下列结 论成立的是 ( ) A若 a ， b ，且 a b，则 B若 a ， b ，且 a b，则 C若 a ， b ，则 a b D若 a ， b ，则 a b 解析 分别在两个相交平面内且和交线平行的两条直线也是平行线，故选项 A的结论不成立；任意两个相交平面，在一个平面内垂直于交线的直线，
3、必然垂直于另一个平面内与交线平行的直线，故选项 B 中的结论不成立；当直线与平面平行时，只有经过这条直线的平面和已知平面的交线及与交线平行的直线与这条直线平行，其余的直线和这条直线不平行，故选项 C 中的结论不成立；根据 直线与平面垂直的性质定理知，选项 D 中的结论成立正确选项 D. 答案 D 5. 设 l 是直线， a，是两个不同的平面（ ） A. 若 l a， l ，则 a B. 若 l a， l ，则 a C. 若 a， l a，则 l D. 若 a , l a，则 l 答案 B 6如图 1 所示，在正方形 ABCD 中， E、 F 分别是 BC、 CD 的中点， G 是 EF 的中点
4、，现在沿 AE、 AF 及 EF 把这个正方形折成一个四面体，使 B、 C、 D 三点重合，重合后的点记为 H，如图 2 所示，那么，在四面体 AEFH 中必有 ( ) A AH EFH 所在平面 B AG EFH 所在平面 C HF AEF 所在平面 D HG AEF 所在平面 解析 折成的四面体有 AH EH， AH FH， AH 面 HEF. 答案 A 7已知 P 为 ABC 所在平面外的一点，则点 P 在此三角形所在平面上的射影是 ABC 垂心的充分必要条件是 ( ) A PA PB PC B PA BC， PB AC C点 P 到 ABC 三边所在直线的距离相等 D平面 PAB、平面
5、 PBC、平面 PAC 与 ABC 所在 的平面所成的角相等 解析 条件 A 为外心的充分必要条件，条件 C、 D 为内心的必要条件，故选 B. 答案 B 二、填空题 8已知 m， n 是两条不同的直线， ， 为两个不同的平面，下列四个命题： 若 m ， n ， m n，则 ； 若 m ， n ， m n，则 ； 若 m ， n ， m n，则 ； 若 m ， n ， ，则 m n. 其中正确的命题是 _(填上所有正确命题的序号 ) 解析 若 m ， n ， m n，则 或 ， 相交，所以 错误 若 m ， n ， m n，则 或 ， 相交，所以 错误故填 . 答案 9结论 “ 过一点作一个平
6、面的垂线只能作一条 ” 是 _的 (填 “ 正确 ” 或“ 错误 ”) 解析 理由是如果能够作两条，则根据直线与平面垂直的性质定理，这两条直线平行，但根据已知这两条直线又相交，这是不可能的 答案 正确 10已知 P 为 ABC 所在平面外一点，且 PA、 PB、 PC 两两垂直，则下列命题： PA BC； PB AC； PC AB； AB BC. 其中正确的个数是 _ 解析 如图所示 PA PC、 PA PB， PC PB P， PA 平面 PBC. 又 BC 平面 PBC， PA BC. 同理 PB AC、 PC AB.但 AB 不一定垂直于 BC. 答案 3 个 11设 、 、 为彼此不重
7、合的三个平面， l 为直线，给出下列命题： 若 ， ，则 ； 若 ， ，且 l，则 l ； 若直线 l 与平面 内的无数条直线垂直，则直线 l 与平面 垂直； 若 内存在不共线的三点到 的距离相等，则平面 平行于平面 . 其中真命题的序号为 _(写出所有真命题的序号 ) 解析 借助于正方体易知 正确；对于 ，若平面 内与直线 l 垂直的无数条直线都平行，则直线 l 可能与平面 不垂直，所以 错； 中的不共线的三点有可能是在平面 的两侧，所以两个平面可能相交可能平行故填 . 答案 12. 如图所示，在四棱锥 P ABCD 中， PA 底面 ABCD，且底面各边都相等， M 是 PC 上的一动点，
8、当点 M 满足 _时，平面 MBD 平面 PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可 ) 解析 由定理可知， BD PC. 当 DM PC 时，即有 PC 平面 MBD，而 PC 平面 PCD， 平面 MBD 平面 PCD. 答案 DM PC(答案不唯一 ) 三 、解答题 13已知斜三棱柱 ABC A1B1C1的底面是直角三角形， C 90 ，点 B1在底面上射影 D 落在 BC 上 (1)求证： AC 平面 BB1C1C； (2)若 AB1 BC1，且 B1BC 60 ，求证： A1C 平面 AB1D. 解析 (1) B1D 平面 ABC， AC 平面 ABC， B1D AC. 又 BC
9、AC， B1D BC D， AC 平面 BB1C1C. (2) AB1 BC1AC BC1AB1与 AC相交 BC1 平面 AB1CB1C 平面 AB1C BC1 B1C， 四边形 BB1C1C 为菱形， B1BC 60 ， B1D BC 于 D， D 为 BC 的中点 连接 A1B，与 AB1交于点 E，在三角形 A1BC 中， DE A1C， A1C 平面 AB1D. 14如图所示，已知 PA 矩形 ABCD 所在平面， M， N 分别是 AB， PC 的中点 (1)求证： MN CD； (2)若 PDA 45 ，求证： MN 平面 PCD. 证明 (1)如图，连结 AC， AN， BN，
10、 PA 平面 ABCD， PA AC，在 Rt PAC 中， N 为 PC 中点， AN 12PC. PA 平面 ABCD， PA BC，又 BC AB， PA AB A， BC 平面 PAB， BC PB， 从而在 Rt PBC 中， BN 为斜边 PC 上的中线， BN 12PC. AN BN， ABN 为等腰三角形，又 M 为底边的中点， MN AB， 又 AB CD， MN CD. (2)连结 PM、 MC， PDA 45 ， PA AD， AP AD. 四边形 ABCD 为矩形， AD BC， PA BC. 又 M 为 AB 的中点， AM BM. 而 PAM CBM 90 ， PM
11、 CM. 又 N 为 PC 的中点， MN PC. 由 (1)知， MN CD， PC CD C， MN 平面 PCD. 15如图所示是某直三棱柱 (侧棱与底面垂直 )被削去上底后的直观图与三视图中的侧视图、俯视图，在直观图中， M 是 BD 的中点，侧视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形 (1)若 N 是 BC 的中点，证明： AN 平面 CME； (2)证明：平面 BDE 平面 BCD. 证明 (1)连接 MN，则 MN CD， AE CD， 又 MN AE 12CD， 四边形 ANME 为平行四边形， AN EM. AN平面 CME， EM 平面 CME， AN 平面 CME. (2)
12、 AC AB， N 是 BC 的中点， AN BC， 又平面 ABC 平面 BCD， AN 平面 BCD. 由 (1)，知 AN EM， EM 平面 BCD. 又 EM 平面 BDE， 平面 BDE 平面 BCD. 【点评】 解决立体几何中的平行和垂直关系问题主要步骤有： 第一步：根据条件合理转化 第二步：写清推证平行或垂直的所需条件，注意要充分 第三步：写出结论 16如图所示，在直四 棱柱 ABCDA1B1C1D1中， DB BC， DB AC，点 M 是棱 BB1上一点 (1)求证： B1D1 平面 A1BD； (2)求证： MD AC； (3)试确定点 M 的位置，使得平面 DMC1 平
13、面 CC1D1D. 解析 (1)证明 由直四棱柱，得 BB1 DD1，又 BB1 DD1， BB1D1D 是平行四边形， B1D1 BD. 而 BD 平面 A1BD， B1D1平面 A1BD， B1D1 平面 A1BD. (2)证明 BB1 平面 ABCD， AC 平面 ABCD， BB1 AC. 又 BD AC，且 BD BB1 B， AC 平面 BB1D. 而 MD 平面 BB1D， MD AC. (3) 当点 M 为棱 BB1的中点时， 平面 DMC1 平面 CC1D1D.取 DC 的中点 N， D1C1的中点 N1，连接 NN1交 DC1于 O，连接 OM，如图所示 N 是 DC 的中点， BD BC， BN DC.又 DC 是平面 ABCD 与平面 DCC1D1的交线， 而平面 ABCD 平面 DCC1D1， BN 平面 DCC1D1. 又可证得 O 是 NN1的中点， BM ON 且 BM ON，即 BMON 是平行四边形 BN OM. OM 平面 CC1D1D. OM 平面 DMC1， 平面 DMC1 平面 CC1D1D.
