1、 典型题库 1.已知函数 )1( xf 是定义在 R 上的奇函数，若对于任意给定的不等实数 21,xx ，不等式 0)()()( 2121 xfxfxx 恒成立，则不等式 0)1( xf 的解集为 c A. ),1( B. ),0( C. )0,( D. )1,( 2. 若 dxxcdxxbx d xa 10 21010 1,1,，则 cba , 的大小关系是 a A. cba B. bca C. cab D. abc 3.已知点 G 是 ABC 重心 , ),( RACABAG , 若 2,1 2 0 ACABA , 则 AG 的最小值是 c A.33B.22C.32D.434.方程 | s
2、in | ( 0)x kkx 有且仅有两个不同的实数解 , ( ) ，则以下有关两根关系的结论正确的是 b Asin cos B sin cos C cos sin D sin sin 5.已知函数 ),4()0,(,()( 23 kdcbdcxbxxxf 为常数），当时，0)( kxf 只有一个实根；当 k（ 0， 4）时， 0)( kxf 只有 3 个相异实根， 现给出下列 4 个命题： 04)( xf 和 0)( xf 有一个相同的实根； 0)(0)( xfxf 和 有一个相同的实根； 03)( xf 的任一实根大于 01)1( f 的任一实根； 05)( xf 的任一实根小于 02)(
3、 xf 任一实根 . 其中正确命题的序号是 _ 6 B 7 8 解 :( )取 AB 的中点 M，连结 GM,MC， G 为 BF 的中点 , 所以 GM /FA,又 EC 面 ABCD, FA 面 ABCD, CE/AF, CE/GM, 2 分 面 CEGM 面 ABCD=CM, EG/ 面 ABCD, EG/CM, 4 分 在正三角形 ABC 中， CM AB,又 AF CM EG AB, EG AF, EG 面 ABF. 6 分 （）建立如图所示的坐标系 ,设 AB=2, 则 B（ 0,0,3 ） E(0,1,1) F（ 0， -1， 2） EF =(0 ， -2,1) , EB =(
4、3 ,-1 ， -1), DE =( 3 ,1， 1), 8 分 设平面 BEF 的法向量 1n =（ zyx , ）则 03 02 zyx zy 令 1y ，则 3,2 xz , 1n =（ 2,1,3 ） 10 分 同理，可求平面 DEF 的法向量 2n =（ - 2,1,3 ） 设所求二 面角的平面角为 ，则 cos = 41 . 12 分 9 解： ( ) 茎叶图 2 分 或 2 分 从统计图中可以看出，乙的成绩较为集中，差异程度较小，应选派乙 同学代表班级 参加比赛更好； 4 分 （ ） 设事件 A 为：甲的成绩低于 12.8，事件 B 为：乙的成绩低于 12.8， 则甲、乙两人成绩
5、至少有一个低于 12.8 秒 的概率为：6 1 71 10 2 10 ； 8 分 (此部分，可根据解法给步骤分 :2 分 ) （ ）设甲同学的成绩为 x ，乙同学的成绩 为 y ， 则 0.8xy ， 10 分 得 0 .8 0 .8x y x ， 如图阴影部分面积即为 3 3 2 .2 2 .2 4 .1 6 ，则 4 . 1 6 1 0 4( 0 . 8 ) ( 0 . 8 0 . 8 ) 3 3 2 2 5P x y P x y x . 12 分 10 解：（）设 00,P x y ， ,M x y ，由 0012xxyy ，得 00 2xxyy ， 2 分 代入 2 2 2x y a，
6、得 2222 14xyaa . 4 分 （） 当 l 斜 率不存在时，设 xt ，由已知得 a t a ， 由 2 2 24x y axt ，得 222 4aty 所以 2 2 22 2 21 22 2 2 4O A Ba t ta t aS y x t ， 当且仅当 2 2 2t a t，即 22ta 时，等号成立 . 此时 OABS 最 大值为 24a . 5 分 当 l 斜率存在时，设其方程为 y kx m， 由 2 2 24x y ay kx m ，消去 y 整理得 2 2 2 24 1 8 4 0k x k m x m a ， 2 2 2 2 2 2 28 4 4 1 4 4 4 4
7、k m k m a k a m 由 0 ，得 2 2 2 24 4 0k a a m 设 1 1 2 2, , ,A x y B x y ，则 221 2 1 22284,4 1 4 1k m m ax x x xkk 7 分 2 222221 2 1 2 222 2 2 22841 4 1 44 1 4 12 1 1 4 441k m m aA B k x x x x kkkk a k mk 原点到直线 l 距离为 21mdk ， 9 分 由面积公式及得 2 2 2 2222222 2 2222221 1 2 1 1 4 422 41 144 ()1 4 4 1 1 4 1 4( ) ,2
8、2 2 41 4 1 4O A BmS A B d k a k mk kmm am m akkakk 11 分 综合 ， OABS 的 最大值为 24a ， 由已知得 2 14a ，所以 2a . 12 分 11 解： ( ) )(xf 的定义域为 ),0( xaxxf 1)( ， 若 ,0a 则 ( ) 0,fx )(xf 在 ),0( 上单调递增， 2 分 若 0,a 则由 0)( xf 得 ax 1 ，当 )1,0( ax 时， ,0)( xf 当 ),1( ax 时 ， 0)( xf ， )(xf 在 )1,0( a 上单调递增，在 ),1( a 单调递减 . 所以当 0a 时， ()
9、fx在 ),0( 上单调递增， 当 0a 时， ()fx在 )1,0( a 上单调递增，在 ),1( a 单调递减 . 4 分 ( ) 1 )1(ln1ln)( 2 x xaxxx xxf , 令 )1)(1(ln)( 2 xxaxxxg , axxxg 21ln)( ,令 ( ) ( ) ln 1 2F x g x x a x , 12() axFx x , 6 分 (1) a 0,若 ( ) 0Fx , g ( x ) 1 , g ( x ) g ( 1 ) 1 - 2 a 0 在 递 增 ， 0)1()(,1)( gxgxg 递增在 , 不符合题意从而 ,01xln x-f ( x )
10、. 8 分 (2) 1 1 10 a , ) , ( ) 0 ,( ( ) ( 1 , )2122x F x g xaa 若 当 在 递 增, g (x ) g (1 ) 1 -2 a ,从 而 以下论证 ( 1 )同 一 样 ， 所 以 不 符 合 题 意. 10 分 1( 3 ) , ( ) 0 1 ,2a F x 若 在 恒 成 立, 02a-1( 1 )g( x )g1,( x )g 递减，在 , 01ln)(,0)1()(,1g ( x ) x xxfgxg递减在从而 , 综上所述， a 的取值范围是 ,21 12 分 12 如图，曲线 1C 是以原点 O 为中心、 12,FF为焦点
11、的椭圆的一部分，曲线 2C 是以 O 为顶点、 2F 为焦点的抛物线的一部分， A 是曲线 1C 和 2C 的交点且 21AFF 为钝角，若1 72AF，2 52AF. （ 1）求曲线 1C 和 2C 的方程； （ 2）过 2F 作一条与 x 轴不垂直的直线，分别与曲线 12CC、 依次交于EDCB , 四 点，若 G 为 CD 中点、 H 为 BE 中点，问 22BE GFCD HF 是否为定值？若是求出定值；若不是说明理由 . 【 解 析 】（ 1 ） 解 法 一 ： 设 椭 圆 方 程 为 12222 byax ，则a2 6252721 AFAF ， 得 3a . 设 )0,(),0,(
12、),( 21 cFcFyxA ，则 222 )27()( ycx ， 222 )25()( ycx ， 两式相减得 23xc ，由抛物线定义可知 252 cxAF，则 23,1 xc 或 23,1 cx （舍去） 所以椭圆 1C 方程为 189 22 yx ，抛物线 2C 方程为 xy 42 . 解法二：过 1F 作垂直于 x 轴的 直线 cx ，即抛物线的准线，作 AH 垂直于该准线， 作 xAM 轴于 M ，则由抛物线的定义得 AHAF 2 ， 所以 2212121 AHAFMFAFAM 62527222221 AFAF2162522 MF， 得 2212521 FF，所以 c 1， 82
13、22 cab ( a2 6252721 AFAF，得 3a ） , 因而椭圆 1C 方程为 189 22 yx ，抛物线 2C 方程为 xy 42 . （ 2）设 1 1 2 2 3 3 4 4( , ) , ( , ) , ( , ) , ( , ) ,B x y E x y C x y D x y把直线 222 2 2221 2 1 222( 1 ) 1 8 9 ) 16 64 0 ,9816 64, . ( 1 ) 48 9 8 9xyy k x k y k y kkky y y y y k x y x 代 入 得 ( 则同 理 将 代 入 得 ：13 等 比数 列 na 中， 181,
14、 2,aa函数 1 2 8( ) ( ) ( ) ( )f x x x a x a x a ，则(0)f = 。 14.。 当对数函数 lo g ( 0 1)ay x a a 且的图象至少经过区域 0( , ) 8 0 ( , )30xyM x y x y x y Ry 内的一个点时，实数 a 的取值范围为 。15 已知 P 是圆 221 : ( 1) 16F x y 上任意一点，点 F2 的坐标为（ 1， 0），直线 m 分别与线段 F1P 、 F2P 交于 M 、 N 两点，且2 2 21 ( ) , | | | | .2M N M F M P N M F P N M F P （ 1）求点 M 的轨迹 C 的方程； （ 2）斜率为 k 的直线 l 与曲线 C 交于 P、 Q 两点，若 0OP OQ（ O 为坐标原点）。试求直线 l 在 y 轴上截距的取值范围； 16 设 F1， F2 是双曲线 22 14yx 的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点 P，使
