1、 行程问题基础 教学目标 1 行程的基本概念，会解一些简单的行程题 . 2 掌握单个变量的平均速度问题及其三种基本解题方法： “特殊值法 ”、 “设而不求法 ”、 “设单位 1 法 ” 3 利用对比分析法解终（中）点问题 知识点拨： 一、 s 、 v 、 t 探源 我们经常在解决行程问题的过程中用到 s 、 v 、 t 三个字母，并用它们来分别代表路程、速度和时间。那么，为什么分别用这三个字母对应这三个行程问题的基本量呢？今天我们就一起了解一下。表示时间的t ，这个字母 t 代表英文单词 time ，翻译过来就是时间的意思。表示速度的字母 v ，对应的单词同学们 可能不太熟悉，这个单词是 ve
2、locity ，而不是我们常用来表示速度的 speed 。 velocity 表示物理学上的速度。与路程相对应的英文单词，一般来说应该是 distance ，但这个单词并不是以字母 s 开头的。关于为什么会用 s来代表路程，有一个比较让人接受 的说法，就是在行程问题的公式中，代表速度的 v 和代表时间的 t 在字母表中比较接近，所以就选取了跟这两个字母位置都比较接近的 s 来表示速度。 二、关于 s、 v、 t 三者的基本关系 速度 时间 =路程 可简记为： s = vt 路程 速度 =时间 可简记为： t = sv 路程 时间 =速度 可简记为： v = st 三、平均速度 平均速度的基本关
3、系式为： 平均速度 总路程 总时间； 总时间 总路程 平均速度； 总路程 平均速度 总时间。 典型例题： 模 块一、简单行程公式解题 【例 1】 韩雪的家距离学校 480 米，原计划 7 点 40 从家出发 8 点可到校，现在还是按原时间离开家，不过每分钟比原来多走 16 米，那么韩雪几点就可到校？ 【解析】 原来韩雪到校所用的时间为 20 分钟，速度为： 480 20 24 (米 /分 )，现在每分钟比原来多走 16米，即现在的速度为 24 16 40 (米 /分 )，那么现在上学所用的时间为： 480 40 12 (分钟 )， 7点 40 分从家出发， 12 分钟后，即 7 点 52 分可
4、到学校 【巩固】 甲、乙两地相距 100 千米。下午 3 点，一辆马车从甲地出发前往乙地，每小时走 10 千米；晚上 9 点，一辆汽车从甲地出发驶向乙地，为了使汽车不比马车晚到达乙地，汽车每小时最少要行驶多少千米？ . 【解析】 马车从甲地到乙地需要 10010=10 小时，在汽车出发时，马车已经走了 9-3=6(小时 )。依题意，汽车必须在 10-6=4 小时内到达乙地，其每小时最少要行驶 1004=25(千米 ) 【巩固】 两辆汽车都从北京出发到某地，货车每小 时行 60 千米， 15 小时可到达。客车每小时行 50 千米，如果客车想与货车同时到达某地，它要比货车提前开出几小时？ 【解析】
5、 北京到某地的距离为： 60 15 900 （千米），客车到达某地需要的时间为： 900 50 18（小时），18 15 3（小时），所以客车要比货车提前开出 3 小时。 【巩固】 甲、乙两辆汽车分别从 A、 B 两地出发相向而行，甲车先行三小时后乙车从 B 地出发，乙车出发 5 小时后两车还相距 15 千米甲车每小 时行 48 千米，乙车每小时行 50 千米求 A、 B 两地间相距多少千米？ 【解析】 在整个过程中，甲车行驶了 3 5= 8(小时 )，行驶的路程为： 48 8 =384(千米 )；乙车行驶了 5 小时，行驶的路程为： 50 5 =250(千米 )，此时两车还相距 15 千米，
6、所以 A 、 B 两地间相距：384 250 15 =649(千米 ) 【巩固】 一天，梨和桃约好在天安门见面，梨每小时走 200 千米，桃每小时走 150 千米，他们同 时出发 2小时后还相距 500千米，则梨和桃之间的距离是多少千米？ 【解析】 我们可以先求出 2 小时梨和桃走的路程： (20 0 15 0) 2 70 0 (千米 )，又因为还差 500 千米，所以梨和桃之间的距离： 700 500 1200 (千米 ) 【巩固】 两列火车从相距 480 千米的两城相向而行，甲列车每小时行 40 千米，乙列车每小时行 42 千米，5 小时后，甲、乙两车还相距多少千米？ 【解析】 两车的相距
7、路程减去 5 小时两车共行的路程，就得到了两车还相距的路程： 48 0 ( 40 42 ) 5 48 0 41 0 70 （千米） 【巩固】 小白从家骑车去学校，每小时 15 千米，用时 2 小时，回来以每小时 10 千米的速度行驶，需要多少时间？ 【解析】 从家到学校的路程： 15 2 30 （千米），回来的时间 30 10 3（小时） 【例 2】 邮递员早晨 7 时出发送一份邮件到对面山里，从邮局开始要走 12 千米上坡路， 8 千米下坡路。他上坡时每小时走 4 千米，下坡时每小时走 5 千米，到达目的地 停留 1 小时以后，又从原路返回，邮递员什么时候可以回到邮局 ? 【解析】 法一：先
8、求出去的时间，再求出返回的时间，最后转化为时刻。 邮递员到达对面山里需时间：124+85=4.6(小时 ); 邮递员返回到邮局共用时间： 84+125+1+4.6 =2+2.4+1+4.6 = l0(小时 )邮递员回到邮局时的时刻是： 7+10-12=5(时 ).邮递员是下午 5 时回到邮局的。 法二：从整体上考虑，邮递员走了（ 12+8）千米的上坡路，走了（ 12+8）千米的下坡路，所以共用时间为：（ 12+8） 4+（ 12+8） 5+1=10(小 时 )，邮递员是下午 7+10-12=5(时 ) 回到邮局的。 【例 3】 一个人站在铁道旁 ,听见行近来的火车汽笛声后 ,再过 57秒钟火车
9、经过他面前 .已知火车汽笛时离他 1360 米 ;(轨道是笔直的 )声速是每秒钟 340 米 ,求火车的速度 ?(得数保留整数 ) 【解析】 火车拉汽笛时离这个人 1360 米 .因为声速每秒种 340 米 ,所以这个人听见汽笛声时 ,经过了(1360340=)4 秒 .可见火车行 1360 米用了 (57+4=)61 秒 ,将距离除以时间可求出火车的速度 . 1360(57+1360340)=13606122(米 ) 【例 4】 龟兔赛跑，同时出发，全 程 6990 米，龟每分钟爬 30 米，兔每分钟跑 330 米，兔跑了 10 分钟就停下来睡了 215 分钟，醒来后立即以原速往前跑，问龟和
10、兔谁先到达终点？先到的比后到的快多少米？ 【解析】 先算出兔子跑了 330 10 3300 （米），乌龟跑了 30 215 10 6750 （ ） （米），此时乌龟只余下6990 6750 240（米） ， 乌龟还需要 240 30 8（分钟）到达终点，兔子在这段时间内跑了8 330 2640 （米），所以兔子一共跑 33 00 26 40 59 40（米）所以乌龟先到，快了6990 5940 1050（米） 【例 5】 甲、乙两地相距 6720 米，某人从甲地步行去乙地，前一半时间平均每分钟行 80 米，后一半时间平均每分钟行 60 米 .问他走后一半路程用了多少分钟？ 【解析】 方法一：由
11、于前一半时间与后一半时间的平均速度是已知的，因此可以计算出这人步行的时间而如果了解清楚各段的路程、时间与速度，题目结果也就自然地被计算出来了应指出，如果前一半时间平 均速度为每分钟 80 米，后一半时间平均速度为每分钟 60 米，则这个人从甲走到乙的平均速度就为每分钟走 (80+60)2=70 米这是因为一分钟 80 米，一分钟 60 米，两分钟一共 140 米，平均每分钟 70 米而每分钟走 80 米的时间与每分钟走 60 米的时间相同，所以平均速度始终是每分钟 70 米这样，就可以计算出这个人走完全程所需要的时间是 672070=96 分钟由于前一半时间的速度大于后一半时间的速度，所以前一
12、半的时间所走路程大于 67202=3360 米则前一个 3360 米用了 336080=42 分钟；后一半路程所需时 间为 96-42=54 分钟 方法二：设走一半路程时间是 x 分钟，则 80x+60x=6720，解方程得： x=48 分钟，因为 8048=3840（米），大于一半路程 3360 米，所以走前一半路程速度都是 80 米，时间是 336080=42（分钟），后一半路程时间是 48+（ 48-42） =54（分钟） . 评注：首先，从这道题我们可以看出 “一半时间 ”与 “一半路程 ”的区别在时间相等的情况下，总的平均速度可以是各段平均速度的平均数但在各段路程相等的情况下，这样做
13、就是不正确的其次，后一半路程是混合了每分钟 80 米和每分钟 60 米两种状态，直接求所需时间并不容易而前一半路程所需时间的计算是简单的因此，在几种方法都可行的情况下，选择一种好的简单的方法这种选择能力也是需要锻炼和培养的 【巩固】 甲、乙两地相距 6 千米，某人从甲地步行去乙地，前一半时间平均每分钟行 80 米，后一半时间平均每分钟行 70 米问他走后一半路程用了多少分钟？ 【解析】 方法一：全程的平均速度是每分钟 80 70 2 75 （ ） （米），走完全程的时间是 6000 75 80（分 钟），走前一半路程速度一定是 80 米，时间是 3000 80 37.5 （分钟），后一半路程时
14、间是 80 37.5 42.5（分钟） 方法二：设走一半路程时间是 x 分钟，则 80 70 6 1000xx ，解得 40x （分钟），因为 80 40 3200 （米），大于一半路程 3000 米，所以走前一半路程速度都是 80 米，时间是 3000 80 37.5 （分钟），后一半路程时间是 4 0 4 0 3 7 .5 4 2 .5 （ ） （分钟） 模块二、平均速度问题 【例 6】 如图，从 A到 B是 12 千米下坡路，从 B到 C是 8 千米平路，从 C到 D是 4 千米上坡路 .小张步行，下坡的速度都是 6 千米 /小时，平路速度都是 4 千米 /小时，上坡速度都是 2 千米
15、/小时 .问小张从 A 到 D的平均速度是多少 ? DCBA【解析】 从 A到 B的时间为： 126=2（小时），从 B到 C 的时间为： 84=2（小时），从 C 到 D 的时间为：42=2（小时），从 A到 D 的总时间为： 2+2+2=6（小时）， 总路程为： 12+8+4=24（千米），那么从 A到 D 的平均速度为： 246=4（千米 /时） 【巩固】 如图，从 A到 B是 6 千米下坡路，从 B到 C是 4 千米平路，从 C到 D是 4 千米上坡路 .小张步行，下坡的速度都是 6 千米 /小时，平路速度都是 4 千米 /小时，上坡速度都是 2 千米 /小时 .问从 A 到 D的平均
16、速度是多少？ DCBA【解析】 从 A到 B的时间为： 66=1（小时），从 B到 C 的时间为： 44=1（小时），从 C到 D 的时间为：42=2（小时），从 A 到 D 的总时间为： 1+1+2=4（小时），总路程为： 6+4+4=14（千米），那么从 A到 D 的平均速度 为： 144=3.5（千米 /时） 【巩固】 摩托车驾驶员以每小时 30 千米的速度行驶了 90 千米到达某地，返回时每小时行驶 45 千米，求摩托车驾驶员往返全程的平均速度 . 【解析】 要求往返全程的平均速度是多少，必须知道摩托车 “往 ”与 “返 ”的总路程和 “往 ”与 “返 ”的总时间 .摩托车 “往 ”行
17、了 90 千米， “返 ”也行了 90 千米，所以摩托车的总路程是： 902=180（千米），摩托车 “往 ”的速度是每小时 30 千米，所用时间是： 9030=3（小时），摩托车 “返 ”的速度是每小时 45千米，所用时间是： 9045=2（小时），往返共用时间是： 3+2=5（小时），由此可求出往返的平均速度，列式为： 902（ 9030+9045） =1805=36（千米 /小时） 【巩固】 甲乙两地相距 200 千米，小强去时的速度是 10 千米 /小时，回来的速度是 40 千米 /小时，求小强往返的平均速度 【解析】 去时的时间 200 10 20 （小时），回来的时间 200 40
18、 5（小时），平均速度 总路程 总时间2 0 0 2 0 0 2 0 5 1 6 （ ） （ ）（千米 /小时） 【巩固】 一辆汽车从甲地出发到 300 千米外的乙地去，前 120 千米的平均速度为 40 千米时，要想使这辆汽车从甲地到乙地的平均速度为 50 千米时，剩下的路程应以什么速度行驶？ 【解析】 求速度首先找相应的路程和时间，平均速度说明了总路程与总时间的关系，剩下的路程为：300-120=180（千米），计划总时间为： 30050=6（小时），前 120 千米已用去 12040=3（小时），所以剩下路程的速度为 : （ 300-120） （ 6-3） =60（千米 /时） . 【巩
19、固】 一个运动员进行 爬山训练从 A 地出发，上山路长 30 千米，每小时行 3 千米爬到山顶后，沿原路下山，下山每小时行 6 千米求这位运动员上山、下山的平均速度 【解析】 这道题目是行程问题中关于求上、下山平均速度的问题解题时应区分平均速度和速度的平均数这两个不同的概念速度的平均数 (上山速度 +下山速度 ) 2 ，而平均速度 上、 下山的总路程 上、下山所用的时间和所以上山时间： 30 3 10 (小时 )，下山时间： 30 6 5 (小时 )，上、下山平均速度： 3 0 2 1 0 5 6 0 1 5 4 （ ） (千米 /小时 ) 【例 7】 一个人从甲地去乙地，骑自行车走完全程的一
20、半时，自行车坏了，又无法修理，只好推车步行到乙地 . 骑车时每小时行 12 千米，步行时每小时 4 千米 ，这个人走完全程的平均速度是多少？ 【解析】 参数法：设全程的的一半为 S 千米，前一半时间为 12S ，后一半时间为 4S ，根据公式平均速度 =总路程 总时间，可得 2 1 2 4 6S S S （千米）。 题目中没有告诉我们总的路程，给计算带来不便，仔细想一想，前一段路程与后一段路程相等，总路程是不影响平均速度的，我们自己设一个路程好了，路程的一半既是 12 的倍数又是 4 的倍数，所以可以假设路程的一半为 12,4 12 （千米），来回两段路，每段路程 12 千米，那么总路程是：
21、12 2 24 (千米 ),总时间是： 12 12 12 4 4 （小时），所以平均速度是： 24 4 6 （千米 /小时） 注意：在这种特定的题目中，随便选一个方便的数字做总路程并不是不科学的，因为我们可以把总路程设为 “单位 1”，这样做无非是设了 “单位 24”，也就是把所有路程扩大了 24 倍变成整数，没有任 何问题，不论总路程设成多少，结论都是一样的，大家可以验证一下 . 【巩固】 汽车往返于 A， B两地，去时速度为 40 千米时，要想来回的平均速度为 48 千米时，回来时的速度应为多少？ 【解析】 参数法：设 A、 B两地相距 S 千米，列式为 S(2S48-S40)=60 千米
22、 . 最小公倍法：路程 2 倍既是 48 的倍数又是 40 的倍数，所以可以假设路程为 48， 40 =240千米 .根据公式变形可得 2402（ 24048-240240） =60 千米 . 【巩固】 飞机以 720 千米时的速度从甲地到乙地，到达后立即以 480 千米时的速度返回甲 地 .求该车的平均速度 . 【解析】 设两地距离为： 720,480 1440 （千米），从甲地到乙地的时间为： 1440 720 2（小时），从乙地到甲地的时间为： 1440 480 3（小时），所以该飞机的平均速度为： 1440 2 2 3 576 （千米） 。 【巩固】 汽车以 72 千米 /时的速度从甲
23、地到乙地，到达后立即以 48 千米 /时的速度返回甲地。求该车的平均速度。 【解析】 想求汽车的平均速度 =汽车行驶的全程 总时间 ，在这 道题目中如果我们知道汽车行驶的全程，进而就能求出总时间，那么问题就迎刃而解了。在此我们不妨采用 “特殊值 ”法，这是奥数里面非常重要的一种思想，在很多题目中都有应用。 把甲、乙两地的距离视为 1 千米，总时间为：172+148，平均速度 =2（ 172+148） =57.6 千米 /时。 我们发现 中的取值在计算过程中不太方便，我们可不可以找到一个比较好计算的数呢？在此我们可以把甲、乙两地的距离视为 72，48=144 千米，这样计算时间时就好计算一些，平
24、均速度 =1442（ 14472+14448） =57.6 千米 /时。 【巩固】 从前有座山，山上有座庙，庙里有个老和尚会讲故事，王先生开车去拜访这位老和尚，汽车上山以 30 千米时的速度，到达山顶后以 60 千米时的速度下山 .求该车的平均速度 . 【解析】 设两地距离为： 30,60 60 （千米），上山时间为： 60 30 2（小时），下山时间为： 60 60 1（小时），所以该飞机的平均速度为： 60 2 2 1 40 （千米） 。 【巩固】 某人上山速度为每 小时 8千米，下山的速度为每小时 12千米，问此人上下山的平均速度是多少？ 【解析】 方法一：用设数代入法，设从山脚至山顶路
25、程为 48 千米，下山用时为（小时），共用时 6 4 10 （小时），路程为 48 2 96 （千米），平均速度为 96 10 9.6 （千米 /小时） 方法二：设路程为单位 1，上山用时为 18，下山用时为 112，共用时 1 1 58 12 24，距离为 1 2 2 ，平均速度为52 9.624 （千米 /小时） . 【巩固】 胡老师骑自行车过一座桥，上桥速度为每小时 12 千米，下桥速度为每小时 24 千米，而且上桥与下桥所经过的路程相等，中间也没有停顿，问这个人骑车过这座桥的平均速度是多少？ 【解析】 16千米 /小时 【例 8】 小明去爬山，上山时每时行 2.5 千米，下山时每时行
26、4 千米，往返共用 3.9 时。小明往返一趟共行了多少千米？ 【解析】 方法一：路程 =总时间 平均速度，先求出平均速度，设上下山路程为 10 千米， 102（ 102.5+104）=206.5=40/13（千米 /时）所以总路程： 40/133.9=12（千米）。 方法二：设上山用 x 小时，下山用 3.9 x 小时，所以列方程为： 2.5 4 3.9xx，解得 2.4x ，所以小明 往返共走： 2.4 2.5 2 12 （千米）。 【巩固】 小明上午九点上山，每小时 3 千米，在山顶休息 1 小时候开始下山，每小时 4 千米，下午一点半到达山下，问他共走了多少千米 . 【解析】 上午九点上
27、山下午 1 点半下山，用时 4.5 小时，除去休息的一个小时，上山和下山共用时 3.5 小时 .上山速度 3 千米 /小时，下山速度 4 千米 /小时，若假设上下山距离为 12 千米的话，则上山用时4 小时，下山用时 3 小时，总用时应为 7 小时，而实际用时 3.5 小时，则实际路程应为 12 2 6 千米 【巩固】 小明 从甲地到乙地，去时每时走 2 千米，回来时每时走 3 千米，来回共用了 5 小时小明去时用了多长时间？ 【解析】 方法一：路程 =总时间 平均速度，先求出平均速度，设上下山路程为 6 千米， 62（ 62+63）=125=2.4（千米 /时）所以总路程： 2.45=12（
28、千米），所以去时用时间为： 12 2 2 3 （小时） 方法二：设上山用 x 小时，下山用 5 x 小时，所以列方程为： 2 3 5xx，解得 3x ，所以去时用时间为 3 小时。 方法三 :因为路程 速度 时间，来回的路程是一样的，速度不同导致所用的时间不同，同时，速度与时间的乘积是不变的，因为去时的速度与回来时的速度之比为 2： 3，所以去时的时间与回来时的时间比为 3： 2，把去时用的时间看作 3 份，那么回来时所用时间为 2 份，它们的和为 5，由和倍关系式，去时所用的时 间为 5 (2 3) 3 3 (小时 ) 【巩固】 小明从甲地到乙地，去时每时走 2 千米，回来时每时走 3 千米
29、，来回共用了 15 小时小明去时用了多长时间？ 【解析】 假设总路程为 6 千米，那么去时用 6 2 3 （小时），回来用 6 3 2 （小时），来回共用 5 小时，而题目中是 15 小时，是假设时间 5 小时的 3 倍，那么总路程就是 6 3 18 （千米）。所以，去时用了 18 2 9 （小时）。 【例 9】 小王每天用每小时 15 千米的速度骑车去学校，这一天由于逆风，开始三分之一路程的速度是每小时 10 千米，那么剩下的路程应该以怎样的速度才能与平时到校所用的时间相同 【解析】 由于要求大风天和平时到校时间所用时间相同，在距离不变的情况下，平时的 15 千米 /小时相当于平均速度 .若
30、能再把总路程 “任我意 ”出来，在已知总距离和平均速度的情况下，总时间是可求的，例如假设总路程是 30 千米，从而总时间为 30 15 2小时 .开始的三分之一路程则为 10 千米， 所用时间为 10 10 1小时，可见剩下的 20 千米应用时 1 小时，从而其速度应为 20 千米 /小时 . 【例 10】 有一座桥，过桥需要先上坡，再走一段平路，最后下坡，并且上坡、平路及下坡的路程相等。某人骑自行车过桥时，上坡、走平路和下坡的速度分别为 4 米 /秒、 6 米 /秒和 8 米 /秒，求他过桥的平均速度。 【解析】 假设上坡、走平路及下坡的路程均为 24 米，那么总时间为： 244+246+2
31、48=13（秒），过桥的平均速度为 724 3 13 513 （米 /秒） 【巩固】 有一座桥，过桥 需要先上坡，再走一段平路，最后下坡，并且上坡、平路及下坡的路程相等 .某人骑电动车过桥时，上坡、走平路和下坡的速度分别为 11 米秒、 22 米秒和 33 米秒，求他过桥的平均速度 . 【解析】 假设上坡、平路及下坡的路程均为 66 米，那么总时间 =6611+6622+6633=6+3+2=11（秒），过桥的平均速度 =66311=18（米 /秒） 【巩固】 一只蚂蚁沿等边三角形的三条边由 A点开始爬行一周 . 在三条边上它每分钟分别爬行 50cm，20cm， 40cm（如右图） .它爬行一
32、周平均每分钟爬行多少厘米？ 【解析】 假设每条边长为 200 厘 米，则总时间 =20050+20020+20040=4+10+5=19（分钟），爬行一周的平均速度 =200319= 113119（厘米 /分钟） . 【例 11】 （ 2007 年 4 月 “希望杯 ”四年级 2 试）赵伯伯为了锻炼身体，每天步行 3 小时，他先走平路，然后上山，最后又沿原路返回假设赵伯伯在平路上每小时行 4 千米，上山每小时行 3 千米，下山每小时行 6 千米，在每天锻炼中，他共行走多少千米？ 【解析】 上山 3 千米 /小时，平路 4 千米 /小时，下山 6 千米 /小时。假设平路与上下山距离相等，均为 1
33、2千米，则 首先赵伯伯每天共行走 12 4 48 千米，平路用时 12 2 4 6 小时，上山用时 12 3 4小时，下山用时 12 6 2 小时，共用时 6 4 2 12 小时，是实际 3 小时的 4 倍，则假设的 48千米也应为实际路程的 4 倍，可见实际行走距离为 48 4 12 千米。 方法二：设赵伯伯每天走平 路用 a 小时，上山用 b 小时，下山用 c 小时，因为上山和下山的路程相同，所以 36bc ，即 2bc 由题意知 3abc ，所以 2 3 3a c c a c 因此，赵伯伯每天锻炼共行 4 3 6 4 3 2 6 4 12 4( 3 ) 4 3 12a b c a c c
34、 a c a c （千米），平均速度是12 3 4 （千米 /时） 【例 12】 张师傅开汽车从 A 到 B为平地（见下图），车速是 36 千米时；从 B 到 C为上山路，车速是28 千米时；从 C到 D为下山路，车速是 42 千米时 . 已知下山路是上山路的 2 倍，从 A到 D全程为 72 千米，张师傅开车从 A到 D 共需要多少时间？ 【解析】 方法一：设 BC 距离为： 28,42 84 （千米），所以 CD 距离为 84 2 168 （千米），那 么 B-C-D的平均速度为 : 8 4 1 6 8 8 4 2 8 1 6 8 4 2 3 6 (千米 /小时 )，和平路的速度恰好相等，
35、说明A-B-C-D 的平均速度为 36 千米 /小时，所以从 A-D 共需要的时间为： 72 36 2（小时） 方法二： 设上山 路为 x 千米， 下山路 为 2x 千米，则上 下山的 平均速 度是：2 2 8 2 4 2 3 6x x x x （ ） （ ）(千米 /时 )，正好是平地的速度，所 以行 AD 总路程的平均速度就是36 千米 /时，与平地路程的长短无关因此共需要 72 36 2(小时 ) 【巩固】 老王开汽车从 A到 B为平地（见右图），车速是 30 千米时；从 B到 C 为上山路，车速是22.5 千米时；从 C到 D为下山路，车速是 36 千米时 . 已知下山路是上山路的 2
36、 倍，从 A到D 全程为 72 千米，老王开车从 A到 D 共需要多少时间？ 【解析】 设上山路为 x 千米，下山路为 2x 千米，则上下山的平均速度是：（ x+2x） （ x22.5 2x36） =30（千米 /时），正好是平地的速度，所以行 AD 总路程的平均速度就是 30 千米 /时，与平地路程的长短无关 .因此共需要 7230 2.4（时） 【例 13】 小明从家到学校有两条一样长的路，一条是平路，另一条是一半上坡路、一半下坡路小明上学走两条路所用的时间一样多已知下坡的速度是平路的 2 倍，那么平路的速度是上坡的多少倍？ 【解析】 方法一：设路程为 80，则上坡和下坡均是 40设走平路
37、的速度是 2，则下坡速度是 4走下坡用时间 40 4 10 ，走平路一共用时间 80 2 40 ，所以走上坡时间是 40 10 30 ，走与上坡同样距离的平路时用时间： 40 2 20 因为速度与时间成反比，所以平路速度是上坡速度的30 20 1.5 （倍） 方法二：因为距离和时间都相同，所以平均速度也相同，又因为上坡和下坡路各一半也相同，设距离是 1 份，时间是 1 份，则下坡时间 11224 ，上坡时间 13144 ，上坡速度 1 3 22 4 3 ，则平路速度是上坡速度的 23132（倍） 方法三：因为距离和时间都相同，所以 12路程 上坡速度 12 路程 2路程 1 ，得上坡速度 23
38、，则平路速度是上坡速度的 23132（倍） 模块三、假设法解行程题 【例 14】 王师傅驾车从甲地开往乙地交货 .如果他往返都以每小时 60 千米的速度行驶 ,正好可以按时返回甲地 .可是 ,当到达乙地时 ,他发现从甲地到乙地的速度只有每小时 50千米 .如果他想按时返回甲地 ,他应以多大的速度往回开 ? 【解析】 假设甲地到乙地的路程为 300,那么按时的往返一次需时间 300602=10（小时） ,现在从甲到乙花费了时间 30050=6（小时） ,所以从乙地返回 到甲地时所需的时间只能是 10-6=4（小时） .即如果他想按时返回甲地 ,他应以 3004=75（千米 /时）的速度往回开 【
39、例 15】 解放军某部开往边境，原计划需要行军 18 天，实际平均每天比原计划多行 12 千米，结果提前3 天到达，这次共行军多少千米？ 【解析】 “提前 3 天到达 ”可知实际需要 18 3 15 天的时间，而 “实际平均每天比原计划多行 12 千米 ”，则15 天内总共比原来 15 天多行的路程为： 12 15 180 (千米 )，这 180 千米正好填补了原来 3 天的行程，因 此原来每天行程为 180 3 60 (千米 )，问题就能很容易求解原来的速度为：18 3 12 3 60 （ ）(千米 /天 )，因此总行程为： 60 18 1080 (千米 )另外本题通过画矩形图将会更容易解决
40、： 其中矩形的长表示时间，宽表示速度，由路程 速度 时间可知，矩形的面积表示的是路程，通过题意可以知道甲的面积等于乙的面积，乙的面积为 12 15 180 ，所以 “？ ”处应为 180 3 60，而 “？ ”表示的是原计划的速度，则这次行军的路程为： 60 18 1080 (千米 ) 【巩固】 某人要到 60 千米外的农场去，开始他以 6 千米 /时的速度步行，后来有辆速度为 18 千米 /时的拖拉机把他送到了农场，总共用了 6 小时问：他步行了多远？ 【解析】 求步行路程，而且步行速度已知，需要求步行时间如果 6 小时全部乘拖拉机，可以行进：186 108 (千米 )， 108 60 48
41、 (千米 )，其中，这 48 千米的距离是在某段时间内这个人在行走而没有乘拖拉机因此少走的距离，这样我们就可以求出行走的时间为： 48 18 6 4 （ ）(小时 )，即这个人走了 4 个小时，距离为： 6 4 24 (千米 )，即这个人步行了 24 千米 另外本题通过画矩形图将会更容易解决： 其中矩形的长表示时间，宽表示速度，由路程 =速度 时间可知，矩形的面积表示的是路程，通过题意可以知道阴影部分的面积等于 60，大矩形的面积为 18 6 108 ，所以小矩形的面积为：108 60 48，又因为小矩形的宽为 18 6 12 ，所以小矩形的长为： 48 12 4，所以 “？ ”处矩形的面积为
42、 4 6 24 (千米 )， “？ ”表示的是步行的路程，即步行的路程为 24 千米 【巩固】 （第六届小数报数学竞赛初赛题第 1 题）小明每天早晨 6： 50 从家出发， 7： 20 到校，老师要求他明天提早 6 分钟到校。如果小明明天早晨还是 6： 50 从家出发，那么，每分钟必须比往常多 走 25 米才能按老师的要求准时到校。问：小明家到学校多远？ 【解析】 原来花时间是 30 分钟，后来提前 6 分钟，就是路上要花时间为 24 分钟。这时每分钟必须多走 25米，所以总共多走了 2425=600 米，而这和 30 分钟时间里，后 6 分钟走的路程是一样的，所以原来每分钟走 6006=10
43、0 米。总路程就是 =10030=3000 米。 模块四、综合题目 【例 16】 张明和李军分别从甲、乙两地同时相向而行。张明平均每小时行 5 千米；而李军第一小时行 1千米，第二小时行 3 千米，第三小时行 5 千米， （连续奇数）。两人恰好在甲、乙两地的中点相遇。甲、乙 两地相距多少千米 ? 【解析】 因为李军走的路程为： 1 3 5 若干个奇数相加，结果为中间数 个数，而张平走的路程为 5小时数，所以知道李军走的路程为： 1 3 5 7 9 25 ，那么两个人分别走了 25 5 5 （小时），所以路程为： 25 2 50 （千米）。 【例 17】 小红上山时每走 30 分钟休息 10 分
44、钟，下山时每走 30 分钟休息 5 分钟已知小红下山的速度是上山速度的 1.5 倍，如果上山用了 3 小时 50 分，那么下山用了多少时间？ 【解析】 上山用了 3 小时 50 分，即 60 3 50 230 (分 )，由 230 30 10 5 30 （ ） ，得到上山休息了 5 次，走了 230 10 5 180 (分 )因为下山的速度是上山的 1.5 倍，所以下山走了 180 1.5 120 (分 )由 120 30 4知，下山途中休息了 3 次，所以下山 共用 120 5 3 135 (分 ) 2 小时 15 分 【例 18】 (华杯赛试题 )某人由甲地去乙地，如果他从甲地先骑摩托车行
45、 12 小时，再换骑自行车行 9 小时，恰好到达乙地，如果他从甲地先骑自行车 21 小时，再换骑摩托车行 8 小时，也恰好到达乙地，问：全程骑摩托车需要几小时到达乙地？ 【解析】 对比分析法： 骑摩托车 骑自行车 方案一 12 小时 9 小时 方案二 8 小时 21 小时 方案一比方案二 多 4 少 12 说明 摩托车 4 小时走的路程 =骑自行车 12 小时走的路程 推出 摩托车 1 小时走的路程 =骑自行车 3 小时走的路程 整理全程骑摩托车需要 12 93 15（小时） 【例 19】 一条单线铁路上有 A,B,C,D,E 5 个车站 ,它们之间的路程如图所示 (单位 :千米 ).两列火车
46、同时从A,E两站相对开出 ,从 A站开出的每小时行 60千米 ,从 E站开出的每小时行 50千米 .由于单线铁路上只有车站才铺有停车的轨道 ,要使对面开来的列车通过 ,必须在车站停车 ,才能让开行车轨道 .因此 ,应安排哪个站相遇 ,才能使停车等候的时间最短 .先到这 一站的那一列火车至少需要停车多少分钟 ? 【解析】 两列火车同时从 A,E 两站相对开出 ,假设途中都不停 .可求出两车相遇的地点 ,从而知道应在哪一个车站停车等待时间最短 .从图中可知 : AE 的距离是 :225+25+15+230=495(千米 ),两车相遇所用的时间是 :495(60+50)=4.5(小时 ),相遇处距A 站的距离是 :604.5=270(千米 ),而 A,D 两站的距离为 :225+25+15=265(千米 ),由于 270 千米 265千米 ,因此从 A 站开出的火车应安排在 D 站相遇 ,才能使停车等待的时间最短 .因为相遇处离 D 站距 离为 270-265=5(千米 ),那么 ,先到达 D 站的火车至少需要等待 : 115 60 5 5060 (小时
