1、第 33 卷 第 6 期 公路交通技术 Vol.33 No. 6 2017 年 12 月 TECHNOLOGY OF HIGHWAY AND TRANSPORT Dec. 2017 单振型反应谱法在减隔震梁式桥抗震分析中的计算误差 研究 唐光武 1，郭立业 2， 高文军 3 （ 1.桥梁工程结构动力学国家重点实验室 ，重庆 400067； 2.重庆交通大学 土木工程学院 ， 重庆 400074； 3.招商局重庆交通科研设计院有限公司， 重庆 400067 ） 摘要 ： 基于对单自由度模型抗震计算误差原因的分析，提出并研究基于单自由度模型的墩底剪力和墩底弯矩计算的修正方法。通过具体算例计算结果的
2、对比分析，对单振型反应谱法在减隔震梁式桥抗震分析中的计算误差问题进行探讨和研究。研究结果表明：对减隔震梁式桥，采 用单振型反应谱法计算时，主梁位移的计算精度较高，该方法能够满足工程设计要求；而支座位移、墩顶位移会被低估，墩底剪力、墩底弯矩则会被严重低估，此时该方法不能满足工程设计要求 。 关键词 ： 减隔震；梁式桥；抗震分析；单振型反应谱法 文章编号 ： 1009-6477（ 2017） 06-0042-07 中 图分类号 ： U422.5 文献标 志 码 ： A Study on Calculation Error of Single Vibration Mode Response Spec
3、trum Met hod in Seismic Analysis of Seismic Isolation Beam Bridge TANG Guangwu1, GUO Liye2, GAO Wenjun3 Abstract: Based on the analysis of the causes of single freedom degree model anti-seismic calculation error, the authors put forwards a correction method for pier bottom shear force and pier botto
4、m moment calculation based on single freedom degrees model. Through the comparative analysis of the calculation results of specific examples, the calculation error of the single vibration type response spectrum method in the seismic analysis of the seismically isolated beam bridge is discussed and s
5、tudied. Study result shows: For the seismic isolation girder bridge, the calculation accuracy of main girder displacement is high when it is calculated by single-mode response spectrum method, which can meet the engineering design requirements; The bearing displacement, pier displacement will be und
6、erestimated, pier bottom shear, pier bottom moment will be seriously underestimated, at this time the method can not meet the engineering design requirements. Keywords: Seismic isolation; girder bridge; anti-seismic analysis; single vibration type response spectrum method 梁式桥抗震设计中，减隔震桥梁是可选用的主要抗震体系之一
7、 1-2。目前减隔震梁式桥的抗震计算主要采用非线性时程法和多振型反应谱法。非线性时程法和多振型反应谱法计算较为复杂且工作量较大，非线性时程法还存在如何合理选取输入地震波的 问题，虽然这方面已 基金项目： 国家重点研发计划项目（ 2017YFC0806009） 作者简介： 2017-07-31 作者简介：唐光武（ 1963 ），男，湖南省邵东县人，硕士，研究员， 主要研究方向桥梁结构抗震 第 33 卷 第 6 期 公路交通技术 Vol.33 No. 6 2017 年 12 月 TECHNOLOGY OF HIGHWAY AND TRANSPORT Dec. 2017 2 作了大量研究 3-4，但
8、仍存在一些难点。因此，长期以来，国内外研究人员都在探索更为简便的等效线性化计算方法 5，目前已对此开展了大量研究 6-9。其中，单振型反应谱法尽管存在一定误差，但该方法简单易行，尤其在初步设计阶段，可帮助设计人员迅速把握结构的动力特性和动力响应值，因此，该方法仍是减隔 震梁式桥抗震分析中十分重要的分析方法。 JTJ 004 89公路工程抗震设计规范 5（简称 89 规范）和 JTG/TB02-01 2008公路桥梁抗震设计细则 1（简称 08 细则）中，均给出了梁式桥桥墩为柔性墩时水平地震荷载的简化计算公式，该公式是由基于等效单自由度系统的单振型反应谱法推导而来。美国的减隔震桥梁抗震设计规范
9、Guide Specifications for Seismic Isolation Design（ 2010）10对单振型反应谱法做了详细规定，并给出了相关算例 11。 CJJ 166-2011城市桥梁抗震设计规范 2（简称城市规范）中，列出了采用单振型反应谱法对减隔震梁式桥进行抗震分析的条件和具体计算公式。 本文基于对单自由度模型计算理论的梳理分析，并借鉴建筑结构抗震分析的处理方法，提出了基于单自由度模型的墩底剪力和墩底弯矩计算的修正方法。通过对某高烈度区不同墩高连续梁桥进行抗震计算，对单自由度模型、单自由度模型修正方法、多自由度模型单振型反应谱法（即只取 1 阶振型参与地震响应计算）、多
10、自由度模型多振型反应谱法的计算结果进行了对比分析，详细探讨了单振型反应谱法 的计算误差问题。 1 计算方法 1.1 单振型反应谱分析方法 89 规范和 08 细则给出了适用于一般支座梁式桥的水平地震荷载简化计算公式，此公式由基于单自由度模型的单振型反应谱法推导而来，在计算刚度时采用了考虑支座刚度的组合抗推刚度，但在计算换算质点质量时未考虑 1 阶振型下支座变形的影响。由于减隔震支座在地震中变形较大，城市规范对此公式进行了改进，考虑了支座变形的影响。对于减隔震梁式桥， 89 规范和 08 细则中的简化计算公式和城市规范相比会高估第 1 阶振型中桥墩的变形幅值，使换算质点质量计算值 偏大，因此基本
11、周期计算值也会偏大，其基本周期的计算精度也低于城市规范。但对于计算墩底剪力和墩底弯矩而言，其计算结果也会比城市规范偏大，由于不能考虑高阶振型的影响，单振型反应谱法会低估墩底剪力和墩底弯矩，因此这将是有利的，即与精确结果相比， 89 规范和 08 细则中的墩底剪力和墩底弯矩简化计算公式精度也会高于城市规范中的简化计算公式。但是，从理论上讲，城市规范的计算公式推导更为严密。因此，下面将只对城市规范的计算方法开展讨第 33 卷 第 6 期 公路交通技术 Vol.33 No. 6 2017 年 12 月 TECHNOLOGY OF HIGHWAY AND TRANSPORT Dec. 2017 3 论
12、。 城市规范中计算换算质点质量的桥墩计算简图（即第 1 阶振型简 图） 如图 1 所示 。 换算质点质量是通过广义振型质量的计算求得，城市规范给出的换算质点质量求解公式如下： （ 1） （ 2） （ 3） 式中： 为换算质点质量 , kg ； 为上部结构质量 ,kg； 为盖梁质量 ,kg； 为桥墩质量 ,kg； 为盖梁质量换算系数； 为墩 身质量换算系数； 为考虑地基变形时，顺桥向作用于支座顶面的单位水平力在墩身计算高度 处引起的水平位移与单位力作用处的水平位移比值；分别为考虑地基变形时，顺桥向作用于支座顶面上的水平力在墩身计算高度 处，一般冲刷线或基础顶面引起的水平位移与单位力作用处的水平位
13、移之比值； 为桥墩高度。 有限元模型中，等效周期、梁体位移与其他变量的关系为： （ 4） （ 5） （ 6） 式中 ： 为广义振型刚度； 为振型阶数； 为第 阶振型圆频率； 为广义振型质量；为第 阶振型等效周期； 为等效周期对应的加速度反应谱值； 为质点最大位移。 第 33 卷 第 6 期 公路交通技术 Vol.33 No. 6 2017 年 12 月 TECHNOLOGY OF HIGHWAY AND TRANSPORT Dec. 2017 4 图 1 柱式墩计算简图 基于单自由度模型的单振型反应谱法，其换算质点质量是通 过对全桥广义振型质量的计算求得，因此现行城市规范通过换算质点质量求解等
14、效周期，与公式（ 4）、（ 5）按第 1阶振型计算的结果理论上是一致的，精度较高。现行城市规范通过等效周期及其对应的加速度反应谱求解梁体位移，理论上即为只考虑第 1 阶振型的位移，因减隔震梁式桥的第 1阶振型周期远大于第 2 阶及其他高阶振型，而由公式（ 5）、（ 6）可知，高阶振型对梁体位移的贡献应远小于 1 阶振型的贡献，梁体位移应主要由第 1 阶振型控制，因此现行城市规范计算梁体位移的方法精度也应是较高的。但是，现行城市规范根据换算质点质量直接 计算墩底剪力和弯矩，并无充分理论依据，故需要进一步研究。 1.2 计算墩底剪力和墩底弯矩的修正方法 为提高基底剪力和基底弯矩的计算精度，建筑结构
15、中，将质量分布于各个楼层高度上的多层建筑物，等效成质量为 、高度为 的单自由度体系，且使其与多层建筑物第 阶振型作用下的基底剪力、弯矩相同，则 称为基底剪力有效振型质量，简称有效振型质量 12， 称为基底力矩有效振型高度，简称有效振型高度 12。计算简图如图 2、图 3 所示。 第 33 卷 第 6 期 公路交通技术 Vol.33 No. 6 2017 年 12 月 TECHNOLOGY OF HIGHWAY AND TRANSPORT Dec. 2017 5 图 2 多层建筑物简图 图 3 等效单自由度体系简图 借鉴建筑结构中的处理方法，本文在减隔震梁式桥中引入有效振型质量和有效振型高度的概
16、念，用于计算墩底剪力和弯矩，以提高单振型反应谱法 用于 墩底剪力和墩底弯矩计算的精度 。 有效振型质量和有效振型高度的计算公式如下： （ 7） （ 8） （ 9） （ 10） 式中： 为有限元模型中的节点号； 为 节点高度； 为 节点质量； 为第 阶振型中 节点振幅。 对多跨梁式桥，可将每个桥墩、盖梁及其所承受的上部结构质量简化为单自由度模型即单墩模型。对单墩模型，桥墩墩身的第 1 阶振型形状曲线可近似用双折线表达，如 第 33 卷 第 6 期 公路交通技术 Vol.33 No. 6 2017 年 12 月 TECHNOLOGY OF HIGHWAY AND TRANSPORT Dec. 20
17、17 6 图 1所示，对式（ 9）、（ 10）进行积分求解，式（ 9）、（ 10）可改写为： （ 11） （ 12） 式中： 为盖梁顶至墩底距离。 减隔震梁式桥的第 1 阶振型主要是上部结构振动，因此先计算全桥总的地震力，并根据各墩（台）刚度分配墩（台）底剪力和弯矩，具体计算公式为： （ 13） （ 14） （ 15） 式中： 为全桥墩底剪力之和； 为等效周期对应的反应谱值； 为桥墩（台）编号； 为第个桥墩 单自由度模型有效振型质量； 为第 个桥墩（台）与其上减隔震支座等效刚度串联后的组合刚度值； 为第 个桥墩（台）的底部剪力； 为第 个桥墩（台）的底部弯矩；为第 个桥墩单自由度模型的有效振型
18、高度。 1.3 减隔震支座等效刚度和全桥等效阻尼比计算 由于减隔震支座具有非线性特性，故抗震分析中，应采用减隔震支座等效刚度和经 全桥等效阻尼比修正后的反应谱进行计算。常用的 LRB 减隔震支座，其恢复力模型如图 4 所示。第 33 卷 第 6 期 公路交通技术 Vol.33 No. 6 2017 年 12 月 TECHNOLOGY OF HIGHWAY AND TRANSPORT Dec. 2017 7 抗震设计时，可按下列公式初步 选取减隔震支座的参数 11。 （ 16） （ 17） （ 18） （ 19） 式中： 为特征强度； 为屈服后刚度； 为屈服前刚度； 为屈服位移； 为上部结构重量
19、； 为梁体初始位移。 图 4 LRB 支座恢复力模型 LRB 减隔震支座等效刚度和全桥等效阻尼比 10计算公式如下： （ 20） （ 21） 式中： 为桥墩（台）编号； 为减隔震支座位移； 为墩顶水平位移。 第 33 卷 第 6 期 公路交通技术 Vol.33 No. 6 2017 年 12 月 TECHNOLOGY OF HIGHWAY AND TRANSPORT Dec. 2017 8 1.4 反应谱法迭代计算流程 由于减隔震支座具有非线性特性，其等效刚度、全桥等效阻尼比与支座位移有关，而抗震分析前支座位移是未知的，因此需进行迭代计算，具体迭代计算步骤如下 11： 1）取桥 梁等效周期初始
20、值为 1.0s，全桥等效阻尼比为 5%，根据设计加速度反应谱计算初始梁体位移 ，并将其作为迭代计算起点，按式（ 16）（ 19）计算减隔震支座特性参数。 2）根据设计加速度反应谱计算梁体位移后再计算支座位移（变形） ，再由梁体位移减去支座位移得到墩顶水平位移 ，按式（ 20）、（ 21）分别计算减隔震支座等效刚度 和全桥等效阻尼比 。 3）根据全桥等效阻尼比，对 0.8 倍等效周期后的设计 加速度反应谱值进行修正 10，重新计算梁体位移，并与初始梁体位移进行比较。设梁体位移收敛条件为误差不超过 3%，如果不满足收敛条件，则应将新梁体位移作为初始值，再次进行迭代计算，直至收敛。 4）梁体位移收敛
21、后，计算墩底剪力和弯矩。 2 实例计算 2.1 桥梁参数 某桥位于 2 级公路，抗震设防烈度为度。全桥跨径布置为 3 40m，上部采用预应力混凝土连续 T 梁，单孔横向布置 6 片 T 梁，梁中心距 2.1m，采用 C50 混凝土。下部结构为双柱墩，采用 C40 混凝土， 1#、 2#桥墩等高。根据 08 细则，该桥的抗震设防类别 为 B 类，场地类别为 II 类，水平向设计加速度反应谱特征周期为 0.40s，水平向设计基本地震动加速度峰值 0.4g。本文只进行 E2 地震作用下的抗震分析，地表设计加速度反应谱如图 5 所示。图 5中， 为周期。 构建 6 种不同墩高的全桥模型，桥墩高度分别为
22、 5、 10、 15、 20、 25、 30m，其中 5、 10m墩不设横系梁， 15、 20m 墩设置 1 道横系梁， 25、 30m 墩设置 2 道横系梁， 5、 10、 15m 墩墩径为 1.8m， 20、 25、 30m 墩墩径为 2.0m。 为研究不同单振型反应谱法的计算精度，分别采用不同计算 方法进行抗震计算，并对计算结果进行对比分析。方法 1 为现行城市规范中基于单自由度模型的单振型反应谱法；方法 2 仍为基于单自由度模型的单振型反应谱法，结构自振周期计算和位移计算与方法 1 相第 33 卷 第 6 期 公路交通技术 Vol.33 No. 6 2017 年 12 月 TECHNO
23、LOGY OF HIGHWAY AND TRANSPORT Dec. 2017 9 同，但在计算墩底剪力和墩底弯矩时，采用了本文引入有效振型质量和有效振型高度后推导的修正计算公式；方法 3 为基于多自由度有限元模型的单振型反应谱法，即采用多自由度有限元模型但只用第 1 阶振型参与地震响应计算，可以认为是单振型反应谱法的精确方法，其计算结果可作为单振型反应谱法的基准值；方法 4 为基于多自由度有限元模型的多振型反应谱法，总 的振型参与质量不低于 95%，其计算结果是最精确的，可作为整个对比分析的基准值。方法 1 和方法 2 只需借助一般辅助工具进行手算即可。方法 3 和方法 4 需借助有限元软件
24、计算，本文采用 Midas/civil 2015 有限元软件建立结构三维动力计算模型，用弹簧单元模拟减隔震支座，弹簧剪切刚度为单振型反应谱法迭代计算收敛后的减隔震支座水平等效刚度，20m 墩高全桥模型如图 6 所示。 图 5 地表设计加速度反应谱（ E2） 图 6 20m 墩 高全桥模型 2.2 单振型反应谱法计算结果对比分析 纵向地震作用下，通过基于单自由度模型的单振型反应谱法对全桥进行迭代计算， 5 30m墩高全桥模型均经过 2 次迭代后收敛，迭代收敛后的计算结果如表 1、表 3 所示，归一化后的计算结果如表 2、表 4 所示。从表 1 刚度比计算结果可知，下部结构抗推刚度与支座等效刚度的
25、比值随着墩高增加从 43.33 降低到 0.53，其中 25、 30m 墩高模型已不符合一般减隔震梁式桥中支座群等效刚度远小于下部结构刚度的假设，因此，在下文基本周期、位移、墩底剪力、墩底弯矩的分析中，不再对 25、 30m 墩高模型进行分析，但其计算结果依然列出。从表 1 第 1 阶振型参与质量计算结果可知，第 1 阶振型参与质量随着墩高增加从 88.1%先降低到 80.7%后又上升到 82.1%。从表 1 基本周期计算结果可知，方法 1、方法 2 与方法 3 相比误差均小于 1%。 方法 1方法 4 墩底剪力、墩底弯矩归一化计算结果整体变化趋势如图 7、图 8 所示，归一化均以方法 4 计
26、算结果为基准。由 5 20m 墩高所有模型墩底剪力计算结果可知，随着墩高增加，方法 1 与方法 2 相比误差从 0.3%增加到 8.9%，方法 2 与方法 3 相比误差均小于 1.9%，但方法 2 与方法 4 相比误差从 45.9%增加到 52.3%，方法 1 与方法 4 相比误差从 46.0%增加到第 33 卷 第 6 期 公路交通技术 Vol.33 No. 6 2017 年 12 月 TECHNOLOGY OF HIGHWAY AND TRANSPORT Dec. 2017 10 56.6%。由 5 20m 墩高所有模型墩底弯矩计算结果可知，随着墩高增加，方法 1 与方法 2 相比误差从
27、0.3%增加到 7.4%，方法 2 与方法 3 相比误差小于 1.9%，但方法 2 与方法 4 相比误差区间为 33.2% 44.5%，方法 1 与方法 4 相比误差区间为 38.2% 45.5%。 表 1 基本周期和墩底剪力、墩底弯矩计算结 果 墩 高 /m 刚度 比 第 1 阶 振型参 与质量 /% 基本周期 /s 墩底剪力 /kN 墩底弯矩 /（ kN m） 方法 3 方法 1 和 方法 2 方法 3 方法 1 方法 2 方法 3 方法 4 方法 1 方法 2 方法 3 方法 4 5 43.33 88.1 2.29 2.29 1029 1032 1012 1906 7097 7117 6
28、983 12673 10 8.70 86.0 2.34 2.34 1001 1022 1009 1979 11918 12133 11984 21859 15 2.92 83.9 2.46 2.47 947 1004 1002 1945 16007 16862 16796 26590 20 1.99 80.7 2.54 2.55 917 1007 1014 2111 20082 21680 21818 32476 25 0.99 80.9 2.76 2.78 844 974 1002 2060 18485 25378 25971 32803 30 0.53 82.1 3.07 3.07 760
29、 901 944 1994 16649 27491 28455 33264 注：刚度比指下部结构抗推刚度与支座等效刚度比值。 表 1 基本周期和墩底剪力、墩底弯矩归一化计算结果 墩高/m 基本周期 墩底剪力 墩底弯矩 方法 1 和 方法 2 方法 3 方法 1 方法 2 方法 3 方法 4 方法 1 方法 2 方法 3 方法 4 5 0.999 1.000 0.540 0.541 0.531 1.000 0.560 0.562 0.551 1.000 10 0.997 1.000 0.506 0.516 0.510 1.000 0.545 0.555 0.548 1.000 15 0.995
30、1.000 0.487 0.516 0.515 1.000 0.602 0.634 0.632 1.000 20 0.994 1.000 0.434 0.477 0.480 1.000 0.618 0.668 0.672 1.000 25 0.994 1.000 0.410 0.473 0.486 1.000 0.564 0.774 0.792 1.000 30 0.999 1.000 0.381 0.452 0.473 1.000 0.500 0.826 0.855 1.000 注：基本周期归一化以方法 3 计算结果为基准，墩底剪力、墩底弯矩归一化以方法 4 计算结果为基准。 图 7 墩底剪力归一化后趋势 图 8 墩底弯矩归一化后趋势 由 5 20m 墩高所有模型梁体位移计算结果可知，方法 3 与方法 4 相比误差均小于 1%，可见梁体位移主要由第 1 阶振型控制；方法 1、方法 2 与方法 4 相比，随着墩高增加误差从
