欧拉积分的运用及余元公式的证明王国俊01211071徐州师范大学数学系徐州221116摘要欧拉积分的应用十分广泛，本文着重讲了欧拉积分及其变形在积分计算中的运用,并给出了余元公式的一种新的证明方法,而且意外得到了欧拉积分的一种新的变形.关键词欧拉积分；Gamma函数；Beta函数；余元公式现在我们很多时候解决问题的工具还是用初等函数来解决问题，这给我们研究带来很多不便.利用含参变量积分是引进非初等函数的一个重要途径.所谓欧拉积分正是如此.下面先介绍点预备知识：在一般的数学教材中，欧拉积分定义如下：r(a)=J+8xa-ie-xdx(a0)0B(p,q)=Joixp-i(i-x)q-idx(p0,q0)两者分别称为Gamma函数和Beta函数，简称为厂函数和B函数.欧拉积分的几个基本变形：(i)r函数令x=y2,就有r(a)=J+8xa-ie-xdx=2J+8y2a-ie-y2dy(a0)00令X=py,则有r(a)=J+8xa-ie-xdx=paJ+8ya-ie-pydy(a0,p0)00特别地当a=2
