1 矩阵的满秩分解定理：设 ，那么存在 第四章 矩阵的分解 这章我们主要讨论矩阵的五种分解：矩阵的满秩分解，正交三角分解，奇异值分解，极分解，谱分解。 R(A)=r使得C 行满秩 B 列满秩证明：假设矩阵 的前 个列向量是线性无关的，对矩阵 只实施行初等变换可以将其化成其中 为列满秩矩阵， 为行满秩矩阵。我们成此分解为矩阵的满秩分解。即存在 使得于是有其中 如果 的前 列线性相关，那么只需对作列变换使得前 个列是线性无关的。然后重复上面的过程即可。这样存在且满足 从而其中所以B是A中r 个线性无关的列例 ：分别求下面三个矩阵的满秩分解解 ：（1）对此矩阵只实施行变换可以得到 第一列，第四列是线性无关的。我们也可以选取该矩阵第一列，第三列是线性无关的。选取所以 ，且此矩阵的第三，第四，第五列任意一列都是线性无关的，所以选取哪一列构成列满秩矩阵均可以。解：（2）对此矩阵只实施行变换可以得到也可以选取选取解：（3）对此矩阵只实施行变换可以得到 所以 ，且容易看出此矩阵的第二列和第四列是线性无关的，选取 定理：如果 均为矩阵 的满秩分解，那么（1） 存在矩阵 满足 由上述例子可以看出矩阵的满秩
