1、 肿瘤的生长规律倪致祥 教授问题恶性肿瘤是目前威胁人类的一个主要的杀手，研究恶性肿瘤的生长规律，有助于人类认识其生长特点，寻找控制消灭它的措施。为了定量地研究肿瘤的生长规律，我们希望建立一个肿瘤生长的数学模型。建立数学模型的第一步是从实践的观察结果出发。观察数据 通过临床观察人们发现肿瘤细胞的生长有下列现象： 1. 按照现有手段，肿瘤细胞数目超过1011时，临床才可能观察到。 2. 在肿瘤生长初期，每经过一定的时间，肿瘤细胞数目就增加一倍。 3. 在肿瘤生长后期，由于各种生理条件的限制，肿瘤细胞数目逐渐趋向某个稳定值。 根据上面的观察结果，你能不能建立一个简明的数学模型， 恶性肿瘤的生长规律
2、模型一 时 t肿瘤细胞数目为 n ( t ) ，由观察2 我们可 肿瘤细胞的增长 时 细胞数目 ， 数 增长 为 k 。 可 到 下 ： n(t) = k n (1) 其 为 n(t) = n(0) ekt (2) 据临床观察1，可 n(0) = 1011 据临床观察2， 细胞增加一倍 时间为T， 有 n ( tT ) = 2 n ( t ) (3)模型一 n(t) = n(0) ekt (2) 据临床观察1，可 n(0) = 1011 据临床观察2， 细胞增加一倍 时间为T， 有 n ( tT ) = 2 n ( t ) (3) (2)(3)后，有 T = ln2 / k 。 由可 到肿瘤细
3、胞的生长规律为 n(t) = 1011 e t ln2 /T =1011 2 t/T (4) 上面 到的模型为currency1数模型，它能“地临床观察1fi观察2。fl是 模型 能出临床观察3， 要一步。模型 到临床观察3，我们 要 currency1数模型。 ”生数学Verhulst出 ： 增长 细胞数目n ( t ) 的增加 。 N生理限制肿瘤细胞数目的限值，f ( n ) 增长 ， f ( n ) 为n的数， 为 理 ， f ( n ) 为n的性数： f(n) = a b n (5) n = N 时，f (n)0 n = 0 时，f (n) = k，上可 a = k, b = k /
4、N (6)模型 a = k, b = k / N (6) f(n) = k ( 1 n/N ) n (t) n(t) = kn (1 - n/N ) (7) 为Logistic模型 Verhulst-Pearl ， 于 学 生 fi 。 Verhulst-Pearl 的 可 下理 ：k是肿瘤的有增长 (Potential rate)， 果有生理限制 细胞间 不 时的增长。模型 Verhulst-Pearl 的 可 下理 ：k是肿瘤的有增长 (Potential rate)， 果有生理限制 细胞间 不 时的增长。 由于有生理限制fi细胞间的 ， 在一个 可能的细胞数目N。细胞数目为n的肿瘤出生
5、的 为1 n / N 。 ，肿瘤细胞数目的实 增长 为其有增长 上 ， k (1 n/N ) (8) 个结果 (7)一 。模型 n(t) = k n (1 - n/N ) (7) 量法，上 可 化为(9)由可 出(10)kdtNnn dn )/1()exp()1/(1)exp()/1(/ 0000)(ktnNNktNnNnntn 模型 由上面的结果，n (0) = n0 = 1011 在肿瘤生长初期，t0，有 n(t) = n0 ekt 容易验证 n ( tln2/k ) = 2 n ( t ) ，每经过一定的时间，肿瘤细胞数目就增加一倍 在肿瘤生长后期，t ，n ( t ) N ，肿瘤细胞数目逐渐趋向某个稳定值。 些 观察结果一 。)exp()1/(1)exp()/1(/ 0000)(ktnNNktNnNnntn
