《抽屉原理练习题》.docx

1、抽屉原理练习题 1木箱里装有红色球个、黄色球个、蓝色球个，若蒙眼去摸，为保证取出的球中有两个球的颜色相同，则最少要取出多少个球？ 解：把种颜色看作个抽屉，若要符合题意，则小球的数目必须大于，故至少取出个小球才能符合要求。 2一幅扑克牌有 54 张，最少要抽取几张牌，方能保证其中至少有 2张牌有相同的点数？ 解：点数为 1(A)、 2、 3、 4、 5、 6、 7、 8、 9、 10、 11(J)、 12(Q)、 13(K)的牌各取 1 张，再取大王、小王各 1张，一共 15 张，这 15张牌中，没有两张的点数相同。这样，如果任意再取 1 张的话，它的点数必为 1 13 中的一个，于是有 2 张

2、点数相同。 3 11 名学生到老师家借书，老师是书房中有、四类书，每名学生最多可借两本不同类的书，最少借一本。试证明：必有两个学生所借的书的类型相同。 证明：若学生只借一本书，则不同的类型有、四种，若学生借两本 不同类型的书，则不同的类型有 AB、 AC、 AD、 BC、 BD、 CD六种。共有 10 种类型，把这 10 种类型看作 10 个 “ 抽屉 ” ，把 11 个学生看作 11 个 “ 苹果 ” 。如果谁借哪种类型的书，就进入哪个抽屉，由抽屉原理，至少有两个学生，他们所借的书的类型相同。 4有 50 名运动员进行某个项目的单循环赛，如果没有平局，也没有全胜，试证明：一定有两个运动员积分

3、相同。 证明：设每胜一局得一分，由于没有平局，也没有全胜，则得分情况只有 1、 2、 349 ，只有 49种可能，以这 49 种可能 得分的情况为 49个抽屉，现有 50 名运动员得分，则一定有两名运动员得分相同。 5体育用品仓库里有许多足球、排球和篮球，某班 50 名同学来仓库拿球，规定每个人至少拿个球，至多拿个球，问至少有几名同学所拿的球种类是一致的？ 解题关键：利用抽屉原理。 解：根据规定，多有同学拿球的配组方式共有以下种：足排蓝足足排排蓝蓝足排足蓝排蓝。以这种配组方式制造个抽屉，将这 50 个同学看作苹果 509 55 由抽屉原理 k m/n 可得，至少有人，他们所拿的球类是完全一致的

4、。 6某校有 55 个同学参加数学竞赛，已知将参赛人任意分成四组，则必有一组的女生多于 2人，又知参赛者中任何 10人中必有男生，则参赛男生的人生为 _人。 解：因为任意分成四组，必有一组的女生多于 2人，所以女生至少有 42 1 9（人）；因为任意 10人中必有男生，所以女生人数至多有 9 人。所以女生有 9人，男生有 55 9 46（人） 7、 证明：从 1， 3， 5， ， 99 中任选 26 个数，其中必有两个数的和是 100。 解析：将这 50 个奇数按照和为 100，放进 25 个抽屉：（ 1， 99），（ 3， 97），（ 5， 95）， ，（ 49 ， 51）。根据抽屉原理，从

5、中选出 26 个数，则必定有两个数来自同一个抽屉，那么这两个数的和即为 100。 8. 某旅游车上有 47 名乘客，每位乘客都只带有一种水果。如果乘客中有人带梨，并且其中任何两位乘客中至少有一个人带苹果，那么乘客中有_人带苹果。 解析：由题意， 不带苹果的乘客不多于一名，但又确实有不带苹果的乘客，所以不带苹果的乘客恰有一名，所以带苹果的就有 46 人。 9. 一些苹果和梨混放在一个筐里，小明把这筐水果分成了若干堆，后来发现无论怎么分，总能从这若干堆里找到两堆，把这两堆水果合并在一起后，苹果和梨的个数是偶数，那么小明至少把这些水果分成了 _堆。 解析：要求把其中两堆合并在一起后，苹果和梨的个数一

6、定是偶数，那么这两堆水果中，苹果和梨的奇偶性必须相同。对于每一堆苹果和梨，奇偶可能性有 4种：（奇，奇），（奇，偶），（偶，奇），（偶，偶），所以根据抽屉原理可知最少分了 4+1=5 筐。 10. 有黑色、白色、蓝色手套各 5只（不分左右手），至少要拿出_只（拿的时候不许看颜色），才能使拿出的手套中一定有两双是同颜色的。 解析：考虑最坏情况，假设拿了 3只黑色、 1只白色和 1只蓝色，则只有一双同颜色的，但是再多拿一只，不论什么颜色，则 一定会有两双同颜色的，所以至少要那 6只。 11.从前 25个自然数中任意取出 7个数 ,证明 :取出的数中一定有两个数 ,这两个数中大数不超过小数的 1.5

7、 倍 . 证明 :把前 25 个自然数分成下面 6组 : 1; 2,3; 4,5,6; 7,8,9,10; 11,12,13,14,15,16; 17,18,19,20,21,22,23, 因为从前 25个自然数中任意取出 7个数 ,所以至少有两个数取 自上面第 组到第 组中的某同一组 ,这两个数中大数就不超过小数的 1.5 倍 . 12一副扑克牌有四种花色，每种花色各有 13张，现在从中任意抽牌。问最少抽几张牌，才能保证有 4张牌是同一种花色的？ 解析：根据抽屉原理，当每次取出 4 张牌时，则至少可以保障每种花色一样一张，按此类推，当取出 12 张牌时，则至少可以保障每种花色一样三张，所以当

8、抽取第 13张牌时，无论是什么花色，都可以至少保障有 4张牌是同一种花色，选 B。 13从 1、 2、 3、 4 、 12 这 12 个自然数中，至少任选几个， 就可以保证其中一定包括两个数，他们的差是 7？ 【解析】在这 12个自然数中，差是 7 的自然树有以下 5 对： 12， 5 11， 4 10， 3 9， 2 8， 1。另外，还有 2个不能配对的数是 6 7。可构造抽屉原理，共构造了 7个抽屉。只要有两个数是取自同一个抽屉，那么它们的差就等于 7。这 7个抽屉可以表示为 12， 5 11， 4 10， 3 9， 2 8， 1 6 7，显然从 7个抽屉中取 8个数，则一定可以使有两个数

9、字来源于同一个抽屉，也即作差为 7，所以选择 D。 15某幼儿班有 40名小朋友，现有各种玩具 122 件，把这些玩具全部分给小朋友，是否会有小朋友得到 4件或 4件以上的玩具？ 分析与解：将 40 名小朋友看成 40个抽屉。今有玩具 122 件， 122=340 2。应用抽屉原理 2，取 n 40， m 3，立即知道：至少有一个抽屉中放有 4件或 4件以上的玩具。也就是说，至少会有一个小朋友得到 4 件或 4 件以上的玩具。 16一个布袋中有 40 块相同的木块，其中编上号码 1， 2， 3， 4 的各有 10 块。问：一次至少要取出多少木块，才能保证其中至少有 3块号码相同的木块？ 分析与

10、解：将 1， 2， 3， 4四种号码看成 4 个抽屉。要保证有一个抽屉中至少有 3 件物品，根据抽屉原理 2，至少要有 42 1=9（件）物品。所以一次至少要取出 9 块木块，才能保证其中有 3块号码相同的木块。 17六年级有 100 名学生，他们都订阅甲、乙、丙三种杂志中的一种、二种或三种。问：至少有多少名学生订阅的杂志种类相同？ 分析与解：首先应当弄清订阅杂志的种类共有多少种不同的情况。 订一种杂志有：订甲、订乙、订丙 3 种情况； 订二种杂志有：订甲乙、订乙丙、订丙甲 3种情况； 订三种杂志有：订甲乙丙 1种情况。 总共有 3 3 1=7（种）订阅方法。我们将这 7 种订法看成是 7个

11、“ 抽屉 ” ，把 100 名学生看作 100 件物品。因为 100 147 2。根据抽屉原理 2，至少有14 1 15（人）所订阅的报刊种类是相同的。 18篮子里有苹果、梨、桃和桔子，现有 81 个小朋友，如果每个小朋友都从中任意拿两个水果，那么至少有多少个小朋友拿的水果是相同的？ 分析与解：首先应弄清不同的水果搭配有多少种。两个水果是相同的有 4 种，两个水果不同有 6 种：苹果和梨、苹果和桃、苹果和 桔子、梨和桃、梨和桔子、桃和桔子。所以不同的水果搭配共有 4 6 10（种）。将这 10 种搭配作为 10 个 “ 抽屉 ” 。 8110=81 （个）。 根据抽屉原理 2，至少有 8 1

12、9（个）小朋友拿的水果相同。 19学校开办了语文、数学、美术三个课外学习班，每个学生最多可以参加两个（可以不参加）。问：至少有多少名学生，才能保证有不少于 5 名同学参加学习班的情况完全相同？ 分析与解：首先要弄清参加学习班有多少种不同情况。不参加学习班有 1 种情况，只参加一个学习班有 3种情况，参加两个学习班有 语文和数学、语文和美术、数学和美术 3种情况。共有 1 3 3 7（种）情况。将这 7 种情况作为 7个 “ 抽屉 ” ，根据抽屉原理 2，要保证不少于 5名同学参加学习班的情况相同，要有学生 7 （ 5-1） 1 29（名）。 20. 在 1， 4， 7， 10， ， 100 中

13、任选 20 个数，其中至少有不同的两对数，其和等于 104。 分析：解这道题，可以考虑先将 4与 100， 7 与 97， 49 与 55 ，这些和等于 104 的两个数组成一组，构成 16个抽屉，剩下 1 和 52 再构成 2 个抽屉，这样，即使 20 个数中取到了 1和 52，剩 下的 18 个数还必须至少有两个数取自前面 16 个抽屉中的两个抽屉，从而有不同的两组数，其和等于 104；如果取不到 1和 52，或 1和 52 不全取到，那么和等于 104 的数组将多于两组。 解： 1， 4， 7， 10， ， 100 中共有 34 个数，将其分成 4， 100，7， 97， ， 49， 5

14、5， 1， 52共 18 个抽屉，从这 18 个抽屉中任取 20个数，若取到 1 和 52，则剩下的 18 个数取自前 16 个抽屉，至少有 4个数取自某两个抽屉中，结论成立；若不全取 1和 52，则有多于 18个数取自前 16个抽屉，结论亦成立。 21. 任意 5个自然数中，必可找出 3 个数，使这三个数的和能被 3整除。 分析：解这个问题，注意到一个数被 3除的余数只有 0， 1， 2 三个，可以用余数来构造抽屉。 解：以一个数被 3 除的余数 0、 1、 2 构造抽屉，共有 3 个抽屉。任意五个数放入这三个抽屉中，若每个抽屉内均有数，则各抽屉取一个数，这三个数的和是 3 的倍数，结论成立

15、；若至少有一个抽屉内没有数，那么 5 个数中必有三个数在同一抽屉内，这三个数的和是 3 的倍数，结论亦成立。 22. 在边长为 1的正方形内，任意放入 9个 点，证明在以这些点为顶点的三角形中，必有一个三角形的面积不超过 1/8. 解：分别连结正方形两组对边的中点，将正方形分为四个全等的小正方形，则各个小正方形的面积均为 1/4 。把这四个小正方形看作 4个抽屉，将 9 个点随意放入 4个抽屉中，据抽屉原理，至少有一个小正方形中有 3个点。显然，以这三个点为顶点的三角形的面积不超过 1/8 。 反思：将边长为 1的正方形分成 4 个面积均为 1/4 的小正方形，从而构造出 4个抽屉，是解决本题

16、的关键。我们知道。将正方形分成面积均为 1/4 的图形的方法不只一种，如可连 结两条对角线将正方形分成 4个全等的直角三角形，这 4 个图形的面积也都是 1/4 ，但这样构造抽屉不能证到结论。可见，如何构造抽屉是利用抽屉原理解决问题的关键。 23 班上有 50 名学生，将书分给大家，至少要拿多少本，才能保证至少有一个学生能得到两本或两本以上的书。 解：把 50 名学生看作 50 个抽屉，把书看成苹果 ,根据原理 1，书的数目要比学生的人数多 ,即书至少需要 50+1=51 本 . 24 在一条长 100 米的小路一旁植树 101 棵，不管怎样种，总有两棵树的距离不超过 1 米。 解：把这条小路

17、分成每段 1米长，共 100 段 ,每段看作是一个抽屉，共 100 个抽屉，把 101 棵树看作是 101 个苹果 ,于是 101 个苹果放入 100 个抽屉中，至少有一个抽屉中有两个苹果 ,即至少有一段有两棵或两棵以上的树 . 25 有 50 名运动员进行某个项目的单循环赛，如果没有平局，也没有全胜 .试证明：一定有两个运动员积分相同 证明：设每胜一局得一分 ,由于没有平局，也没有全胜，则得分情况只有 1、 2、 349 ，只有 49种可能 ,以这 49 种可能得分的情况为 49个抽屉 ,现有 50 名运动员得分 则一定有两名运动员得分相同 . 26.体育用品仓库里有许多足球、排球和篮球，某

18、班 50名同学来仓库拿球，规定每个人至少拿 1个球，至多拿 2个球，问至少有几名同学所拿的球种类是一致的？ 解题关键：利用抽屉原理 2。 解：根据规定，多有同学拿球的配组方式共有以下 9种： 足排蓝足足排排蓝蓝足排足蓝排蓝 以这 9种配组方式制造 9个抽屉 ,将这 50个同学看作苹果 5.55 由抽屉原理 2k 1 可得 ，至少有 6人，他们所拿的球类是完全一致的。 【欢迎你来解】 1.某班 37 名同学，至少有几个同学在同一个月过生日？ 2.42 只鸽子飞进 5个笼子里，可以保证至少有一个笼子中可以有几只鸽子？ 3.口袋中有红、黑、白、黄球各 10个，它们的外型与重量都一样，至少要摸出几个球

19、，才能保证有 4 个颜色相同的球？ 4.饲养员给 10只猴子分苹果，其中至少要有一只猴子得到 7个苹果，饲养员至少要拿来多少个苹果？ 5.从 13 个自然数中，一定可以找到两个数，它们的差是 12的倍数。 6.一个班有 40 名同学，现在有课外书 125 本。把这些书分给同学，是否有人会得到 4 件或 4件以上的玩具？ 试题一： 一副扑克牌 (去掉两张王牌 )，每人随意摸两张牌，至少有多少人才能保证他们当中一定有两人所摸两张牌的花色情况是相同的 ? 试题二： 有一副扑克牌共 54 张，问：至少摸出多少张才能保证： (1)其中有 4 张花色相同 ?(2)四种花色都有 ? 试题三： 小学生数学竞赛

20、，共 20 道题，有 20 分基础分，答对一题给 3 分，不答给 1 分，答错一题倒扣 1 分，若有 1978 人参加竞赛，问至少有 ()人得分相同。 试题一解答：扑克牌中有方块、梅花、黑桃、红桃 4 种花色， 2 张牌的花色可以有： 2张方块， 2 张梅花， 2 张红桃， 2 张黑桃， 1 张方块 1 张梅花， 1 张方块 1 张黑桃， 1 张方块1 张红桃， 1 张梅花 1 张黑桃， 1 张梅花 1 张红桃， 1 张黑桃 1 张红桃共计 10 种情况。把这10 种花色配组看作 10 个抽屉，只要苹果的个数比抽屉的个数多 1 个就可以有题目所要的结果。所以至少有 11 个人。 试题二解答：一

21、副扑克牌有 2 张王牌， 4 种花色，每种花色 13 张，共 52 张牌。 (1)按照最不利的情况，先取出 2 张王牌，然后每种花色取 3 张，这个时候无论再取哪一种花色的牌都能保证有一种花色是 4 张牌，所以需要取 2+34+1=15 张牌即可满足要求。 (2)同样的，仍然按照最不利的情况，取 2 张王牌，然后 3 种花色每种取 13 张，最后任取一种花色，此时再取一张即可保证每种花色都有。共需取 2+133+1=42 张牌即可满足要求。 试题三解答： 20+320=80， 20-120=0，所以若 20 道题全答对可得最高分 80 分，若全答错得最低分 0 分。由于每一道题都得奇数分或扣奇

22、数分， 20 个奇数相加减所得 结果为偶数，再加上 20 分基础分仍为偶数，所以每个人所得分值都为偶数。而 0 到 80 之间共 41 个偶数，所以一共有 41 种分值，即 41 个抽屉。 197841=4810，所以至少有 49 人得分相同。 1、有 400 个小朋友参加夏令营，问：这些小朋友中至少有多少人不单独过生日。 2、在一副扑克牌中，最少要拿出多少张，才能保证在拿出的牌中四种花色都有？ 3、在一个口袋中有 10个黑球， 6个白球， 4 个红球，问：至少从中取出多少个球，才能保证其中一定有白球？ 4、口袋中有三种颜色的筷子各 10 根，问： （ 1）、 至少要取多少根才能保证三种颜色都

23、取到？ （ 2）至少要取多少根才能保证有 2双不同颜色的筷子？ （ 3）至少要取多少根才能保证有 2双相同颜色的筷子？ 5、袋子里红、白、蓝、黑四种颜色的单色球，从代中任意取出若干个球，问：至少要取出多少个球，才能保证有 3 个球是同一种颜色的？ 6、一只鱼缸里有很多条鱼，共有五个品种，问：至少捞出多少鱼，才能保证有 5条相同品种的鱼？ 7、某小学五年级的学生身高（按整厘米算），最矮的是 138 厘米，最高的是 160 厘米，至少要选出多少人才能保证有 5个学生的身高是相同的？ 8、一把钥匙只能打开一把锁，现有 10把钥匙和其中的 10把锁，最多要试验多少次才能使全部的钥匙和锁相配？ 9、一把

24、钥匙只能打开一把锁，现有 10 把锁和其中的 8 把钥匙，最多要试验多少次才能使这 8 把钥匙都配上锁？ 10、将 100 个苹果分给 10 个小朋友，每个小朋友分得的苹果数互不相同，分得苹果数最少的小朋友至少得到多少个苹果？ 11、将 400 本书随意分奥数给若干个小朋友，但每人不得超过 11 本，问：至少有多少同学得到的书的本数相同？ 12、一次数学竞赛，有 75 人参加，满分为 20 分，参赛者的得分都是自 然数， 75 人的总分是 980 分，问：至少有几人的得分相同？ 13.某学生将参加全国中学生数学竞赛，用 100天的时间作准备，为了不影响其他各科学习，他决定每天至少解一道题，但又

25、限制每 10天所解的题目不超过 17道，试证明，这个学生一定在某个连续的若干天内，恰好一共解了 29 道题 抽屉原理练习题 1木箱里装有红色球个、黄色球个、蓝色球个，若蒙眼去摸，为保证取出的球中有两个球的颜色相同，则最少要取出多少个球？ 解：把种颜色看作个抽屉，若要符合题意，则小球的数目必须大于，故至少取出个小球才能符合要求。 2一幅扑克牌有 54 张，最少要抽取几张牌，方能保证其中至少有 2 张牌有相同的点数？ 解：点数为 1(A)、 2、 3、 4、 5、 6、 7、 8、 9、 10、 11(J)、 12(Q)、 13(K)的牌各取 1 张，再取大王、小王各 1 张，一共 15 张，这

26、15 张牌中，没有两张的点数相同。这样，如果任意再取 1 张的话，它的点数必为 1 13 中的一个，于是有 2 张点数相同。 3 11 名学生到老师家借书，老师是书房中有、四类书，每名学生最多可借两本不同类的书，最少借一本。试证明：必有两个学生所借的书的类型相同。 证明：若学生只借一本书，则不同的类型有、四种，若学生借两本不同类型的书，则不同的类型有 AB、 AC、 AD、 BC、 BD、 CD 六种。共有10 种类型，把这 10 种类型看作 10 个 “抽屉 ”，把 11 个学生看作 11 个 “苹果 ”。如果谁借哪种类型的书，就进入哪个抽屉，由抽屉原理，至少有两个学生，他们所借的书的类型相

27、同。 4有 50 名运动员进行某个项目的单循环赛，如果没有平局，也没有全胜，试证明：一定有两个运动员积分相同。 证明：设每胜一局得一分，由于没有平局，也没有全胜，则得分情况只有 1、2、 349，只有 49 种可能，以这 49 种可能得分的情况为 49 个抽屉，现有 50名运动员得分，则一定有两名运动员得分相同。 5体育用品仓库里有许多足球、排球和篮球，某班 50 名同学来仓库拿球，规定每个人至少拿个球，至多拿个球，问至少有几名同学所拿的球种类是一致的？ 解题关键：利用抽屉原理。 解：根据规定，多有同学拿球的配组方式共有以下种：足排蓝足足排排蓝蓝足排足蓝排蓝。以这种配组方式制造个抽屉，将这 50 个同学看作苹果 50 9 55 由抽屉原理 k m/n 可得，至少有人，他们所拿的球类是完全一致的。 6某校有 55 个同学参加数学竞赛，已知将参赛人任意分成四组，则必有一组的女生多于 2 人，又知参赛者中任何 10 人中必有男生，则参 赛男生的人生为_人。