1、 数字信号处理 试卷 A 第 1 页 共 14 页 已知线性因果网络用下面差分方程描述： y(n)=0.8y(n 1)+x(n)+0.8x(n 1) （ 1） 求网络的系统函数 H(z) （ 2 分） 及单位脉冲响应 h(n) （ 6 分）； （ 2） 写出网络频率响应函数 H(ej)的表达式（ 2分），并定性画出其幅频特性曲线（ 2分） 解：（ 1） 11 )(8.0)()(8.0)( zzXzXzzYzY dzzzHjnhzzzH c n 111 )(2 1)(2(,8.01 8.01)( 分）11 8.0 8.0)()( nn zzzzzHzF 8.0,1 内有极点cn nznzzzzz
2、Fsnh 8.0*28.0 8.0)8.0(8.0),(Re)( 8.01 0,8.0,0 内有极点cn 1128.08.08.08.0)8.0(0),(Re8.0),(Re)(018.01zz zzzzzzzzzFszFsnh最后得到 )()1(8.0*2)( nnUnh n （ 2） jjezj eezznhFTeH j 8.01 8.018.01 8.01)()(11 幅频特性如下： （ 8 分） 证明 DFT对称定理即假设 X(k)=DFT x(n) ,证明 DFT X(n) =Nx(N k) 证明： 因 10 )()(NnknNWnxkX 所以 1 10)(101010 )()()(
3、)(NmNnkmnNNnknNNmmnNNnknN WmxWWmxWnXnXD F T 又 10,010)( NmkNm kNmNWNnkmnN 有 1,.,1,0)()( NkkNNxnXD F T 数字信号处理 试卷 A 第 2 页 共 14 页 （ 10分） 已知序列 x(n)=a n u(n)， 02，故上式第一项为因果序列象函数，第二项为反因果序列象函数， 则 12( ) ( 1 ) ( ) ( 2 ) ( )33kkf k k k （ 3 分） 2 写出差分方程表示系统的直接型和 级联 型结构。（ 8分） )1(31)()2(81)1(43)( nxnxnynyny 解： 3计算下
4、面序列的 N点 DFT。 （ 1） )0()()( Nmmnnx （ 4分） （ 2） )0()( 2 Nmenx mnNj （ 4分） 解：（ 1） knNWkX )( （ 4分） （ 2） mk mkNkX ,0 ,)(（ 4分） 4 设序列 x(n)=1， 3， 2， 1； n=0,1,2,3 ，另一序列 h(n) =1， 2， 1， 2； n=0,1,2,3， （ 1）求两序列的线性卷积 yL(n)； （ 4 分） （ 2）求两序列的 6点循环卷积 yC(n)。 （ 4分） （ 3）说明循环卷积能代替线性卷积的条件。（ 2分） 解：（ 1） yL(n)=1， 5， 9， 10， 10，
5、 5， 2； n=0,1,2 6 （ 4分） （ 2） yC(n)= 3， 5， 9， 10， 10， 5； n=0,1,2,4,5 （ 4 分） 数字信号处理 试卷 A 第 6 页 共 14 页 （ 3） c L1+L2-1 （ 2分） 5设系统 由下面差分方程描述： )1()2()1()( nxnynyny （ 1）求系统函数 H（ z）； （ 2分） （ 2）限定系统 稳定 ，写出 H（ z）的收敛域，并求出其单位脉冲响应 h(n)。 （ 6分） 解：（ 1） 1)(2 zz zzH（ 2 分） （ 2） 5 1 1 522z （ 2分）； )1()2 51(51)()2 51(51)(
6、 nununh nn （ 4分） 1. 有一个线性移不变的系统，其系统函数为： 2z21 )21)(211(23)(111zzzzH 1）用直接型结构实现该系统 2)讨论系统稳定性，并求出相应的单位脉冲响应 )(nh 解 1)211111251 23)21)(211(23)(zzzzzzzH . 2 分 2)当 212 z 时： 收敛域包括单位圆 6分 系统稳定系统。 .10 分 111112112111)21)(211(23)( zzzzzzH .12分 )1(2)()21()( nununh nn .15 分 试用冲激响应不变法与双线性变换法将以下模拟滤波器系统函数变换为数字滤波器系统函数
7、： 数字信号处理 试卷 A 第 7 页 共 14 页 H(s)=3)1)(s(s 2 其中抽样周期 T=1s。 解： 311 1)3)(1( 1)( sssssH 1分 1311)( Zes TZe TzH TT 3分 2110 1 8.04 1 8.01 3 1 8.0 zz z 5分 2)1123)(1121(2|)()(111111211ZZTZZTsHzHZZTs 8分 2121215 242 zz zz 10分 用双线性变换设计一个三阶巴特沃思数字低通虑波器，采样频率为 kHzfs 4 （即采样周期为 sT 250 ） ,其 3dB截止频率为 kHzfc 1 。三阶模拟巴特沃思滤波器
8、为： 32 )()(2)(211)(ccca ssssH 解： 502 .Tfw cc 3分 T)wt a n (T cC 222 5分 32 )2()2(2)2(211)( TsTsTssH a 8分 31121111112111121121111)()(|)()( ZZZZZZsHzH ZZTsa2321333121 zzzz （ 15分） 、已知某离散时间系统的差分方程为 )1(2)()2(2)1(3)( nxnxnynyny 数字信号处理 试卷 A 第 8 页 共 14 页 系统初始状态为 1)1( y ， 2)2( y ，系统激励为 )()3()( nunx n ， 试求：（ 1）系
9、统函数 )(zH ，系统频率响应 )( jeH 。 （ 2）系统的零输入响应 )(nyzi 、零状态响应 )(nyzs 和全响应 )(ny 。 解： （ 1）系统函数为23 2231 21)( 2 221 1 zz zzzz zzH系统频率响应23 2)()( 2 2 jj jjezj ee eezHeH j解一： （ 2）对差分方程两端同时作 z变换得 )(2)()2()1()(2)1()(3)( 1221 zXzzXzyzyzYzzyzYzzY 即： )(231 )21(231 )2(2)1(2)1(3)( 21 1211 zXzz zzz yyzyzY 上式中，第一项为零输入响应的 z域
10、表示式，第二项为零状态响应的 z域表示式，将初始状态及激励的 z变换3)( z zzX 代入，得零输入响应、零状态响应的 z域表示式分别为 23 2231 21)( 2 221 1 zz zzzz zzY zi323 23231 21)( 2 221 1 z zzz zzz zzz zzY zs将 )(),( zYzY zszi 展开成部分分式之和，得 241323 2)( 2 zzzz zz zY zi3215281233123 2)( 22 zzzzzz zzz zY zs即 2413)( z zz zzYzi321528123)( z zz zz zzY zs 对上两式分别取 z反变换，
11、得零输入响应、零状态响应分别为 )()2(43)( kky kzi )()3(215)2(823)( kky kkzs 故系统全响应为 )()()( kykyky zszi )()3(215)2(1229 kkk 解二、（ 2） 系统特征方程为 0232 ，特征根为： 11 ， 22 ； 数字信号处理 试卷 A 第 9 页 共 14 页 故系统零输入响应形式为 kzi ccky )2()( 21 将初始条件 1)1( y ， 2)2( y 带入上式得 2)41()2(1)21()1(2121ccyccyzizi 解之得 31c ， 42 c ， 故系统零输入响应为： kzi ky )2(43)
12、( 0k 系统零状态响应为 323 23231 21)()()( 2 221 1 z zzz zzz zzz zzXzHzY zs3215281233123 2)( 22 zzzzzz zzz zY zs即 321528123)( z zz zz zzY zs 对上式取 z反变换，得零状态响应为 )()3(215)2(823)( kky kkzs 故系统全响应为 )()()( kykyky zszi )()3(215)2(1229 kkk 回答以下问题： （ 1） 画出按 时域抽取 4N 点 基 FFT2 的信号流图。 （ 2） 利用流图计算 4点序列 )4,3,1,2()( nx （ 3,2
13、,1,0n ）的 DFT 。 （ 3） 试写出利用 FFT 计算 IFFT 的步骤。 解：（ 1） )0(x)1(x)2(x)3(x)0(X)1(X)2(X)3(X)0(0Q)1(0Q)0(1Q)1(1Q111jj kr 001102W02W02W12Wk l 001104W04W14W2304W04W04W24W34W 4 点按时间抽取 FFT流图 加权系数 （ 2） 112)2()0()1( 532)2()0()0(00 xxQ xxQ 341)3()()1( 541)3()1()0(11 xxQ xxQ1055)0()0()0( 10 QQX 31)1()1()1( 1140 jQWQX
14、 数字信号处理 试卷 A 第 10 页 共 14 页 055)0()0()2( 1240 QWQX jQWQX 31)1()1()3( 1340 即： 3,2,1,0),31,0,31,10()( kjjkX （ 3） 1）对 )(kX 取共轭，得 )(kX ； 2）对 )(kX 做 N点 FFT； 3）对 2）中结果取共轭并除以 N。 （ 12分） 已知二阶巴特沃斯模拟低通原型滤波器的传递函数为 1414.1 1)( 2 sssH a 试用双线性变换法设计一个数字低通滤波器，其 3dB截止频率为 5.0c rad，写出数字滤波器的系统函数，并用 正准型 结构实现之。（要预畸，设 1T ） 解
15、： （ 1）预畸 2)25.0ar ct an (2)2ar ct an (2 TT cc （ 2）反归一划 48 2 8.2 41)2(4 1 4.1)2( 1)()( 22 sssssHsH cssa（ 3） 双线性变换得数字滤波器 41128 2 8.2)112(448 2 8.24)()(1121121121111211zzzzsssHzHzzszzTs221221 1716.01 )21(2929.0344.2656.13 )21(4 z zzzzz （ 4）用 正准型 结构实现 2 9 2 9.01z1z)( nx )( ny2111 7 1 6.01 设有一 FIR 数字滤波器，其单位冲激响应 )(nh 如图 1所示：
