1、 第一章作业解答 第 1 页 共 55 页 数学模型作业答案 第二章 (1)（ 2012 年 12 月 21 日） 1 学校共 1000 名学生， 235 人住在 A 宿舍， 333 人住在 B 宿舍， 432 人住在 C 宿舍 .学生们要组织一个 10 人的委员会，试用下列办法分配各宿舍的委员数： （ 1） . 按比例分配取整数的名额后 ,剩下的名额按惯例分给小数部分较大者 ; （ 2） . 1 中的 Q 值方法； （ 3） .d Hondt 方法：将 A、 B、 C 各宿舍的人数用正整数 n=1,2,3,相除，其商数如下表： 将所得商数从大到小取前 10 个（ 10 为席位数），在数字下标
2、以横线，表中 A、 B、 C行有横线的数分别为 2， 3， 5，这就是 3 个宿舍分配的席位 .你能解释这种方法的道理吗？ 如果委员会从 10 个人增至 15 人，用以上 3 种方法再分配名额，将 3 种方法两次分配的结果列表比较 . 解： 先考虑 N=10 的分配方案， ,432 ,333 ,235 321 ppp 31 .1000i ip方法一（按比例分配） ,35.23111 i ipNpq ,33.33122 i ipNpq 32.43133 i ipNpq 分配结果为： 4 ,3 ,3 321 nnn 方法二（ Q 值方法） 9 个席位的分配结果（可用按比例分配）为： 4 ,3 ,2
3、 321 nnn 1 2 3 4 5 A B C 235 117.5 78.3 58.75 333 166.5 111 83.25 432 216 144 108 86.4 第一章作业解答 第 2 页 共 55 页 第 10 个席位：计算 Q 值为 ,17.9 2 0 4322 3 5 21 Q ,75.9 2 4 0433 3 3 22 Q 2.933154432 23 Q 3Q 最大，第 10 个席位应给 C.分配结果为 5 ,3 ,2 321 nnn 方法三（ d Hondt方法） 此方法的分配结果为： 5 ,3 ,2 321 nnn 此方法的道理是： 记 ip 和 in 为各宿舍的人数
4、和席位（ i=1,2,3 代表 A、 B、 C 宿舍） .iinp 是每席位代表的人数，取 ,2,1 in 从而得到的iinp 中选较大者，可使对所有的 ,iiinp 尽量接近 . 再考虑 15N 的分配方案，类似地可得名额分配结果 .现将 3 种方法两次分配的结果列表如下： 宿 舍 （ 1） （ 2） （ 3） （ 1） （ 2） （ 3） A B C 3 2 2 3 3 3 4 5 5 4 4 3 5 5 5 6 6 7 总计 10 10 10 15 15 15 2 试用微积分方法，建立录像带记数 器读数 n 与转过时间的数学模型 . 解： 设录像带记数器读数为 n 时，录像带转过时间为
5、t.其模型的假设见课本 . 考虑 t 到 tt 时间内录像带缠绕在右轮盘上的长度，可得 ,2)( k d nw k nrv d t 两边积分，得 nt dnw k nrkv d t00 )(2)22 2nwkk (r n vt .2 22 nv kwnvrkt 数学模型作业解答 第三章 1（ 2008 年 10 月 14 日） 第一章作业解答 第 3 页 共 55 页 1. 在 3.1 节存贮模型的总费用中增加购买货物本身的费用 ,重新确定最优订货周期和订货批量证明在不允许缺货模型中结果与原来的一样，而在允许缺货模型中最优订货周期和订货批量都比原来结果减少 解： 设购买单位重量货物的费用为 k
6、 ,其它假设及符号约定同课本 01 对于不允许缺货模型，每天平均费用为： krrTcTcTC 2)( 21 2221 rcTcdTdC 令 0dTdC ， 解得 rccT 21* 2由 rTQ ， 得212c rcrTQ 与不考虑购货费的结果比较，、的最优结果没有变 02 对于允许缺货模型，每天平均费用为： kQQrTrcrQccTQTC 23221 )(221),( 2223322221 222 TkQrTQcrcrTQcTcTC TkrTQccrTQcQC 332令00QCTC， 得到驻点： 323222233232132233221)(22cckrcccrkcccccrcQcckcccr
7、ccT与不考虑购货费的结果比较，、的最优结果减少 第一章作业解答 第 4 页 共 55 页 2 建立不允许缺货的生产销售存贮模型设生产速率为常数 k ，销售速率为常数 r ，rk 在每个生产周期内，开始的一段时间 00 Tt 一边生产一边销售，后来的一段时间 )( 0 TtT 只销售不生产，画出贮存量 )(tg 的图形 .设每次生产准备费为 1c ，单位时间每件产品贮存费为 2c ，以总费用最小为目标确定最优生产周期，讨论 rk和 rk 的情况 . 解： 由题意可得贮存量 )(tg 的图形如下： 贮存费为 niTiitTTrkcdttgctgc1020202 2)()()(lim 又 )()(
8、 00 TTrTrk TkrT 0, 贮存费变为 k TTrkrc 2 )(2 于是不允许缺货的情况下，生产销售的总费用（单位时间内）为 k TrkrcTckT TrkrcTcTC 2 )(2 )()(21221 k rkrcTcdTdC 2 )(221 . 0dTdC令 , 得)(22 1 rkrc kcT 易得函数 处在 TTC )( 取得最小值，即最优周期为： )(22 1 rkrc kcT rc c，Trk 2 12 时当. 相当于不考虑生产的情况 . rk )(tg r t g T 0T O 第一章作业解答 第 5 页 共 55 页 ，Trk 时当 . 此时产量与销量相抵消，无法形成
9、贮存量 . 第三章 2（ 2008 年 10 月 16 日） 3 在 3.3 节森林救火模型中，如果考虑消防队员的灭火速度 与开始救火时的火势 b 有关，试假设一个合理的函数关系，重新求解模型 . 解： 考虑灭火速度 与火势 b 有关，可知火势 b 越大，灭火速度 将减小，我们作如下假设 : 1)( bkb ， 分母 时是防止中的 011 bb 而加的 . 总费用函数 xcbkx bxtcbkx btctcxC 3122121211 )1()(2 )1(2 最优解为 kbkc bbbckbcx )1(2 )1()1(2 23221 5 在考虑最优价格问题时设销售期为 T，由于商品的损耗，成本
10、q 随时间增长，设tqtq 0)( ， 为增长率 .又设单位 时间的销售量为 )( 为价格pbpax .今将销售期分为 TtTTt 220 和 两段，每段的价格固定，记作 21,pp .求 21,pp 的最优值，使销售期内的总利润最大 .如果要求销售期 T 内的总售量为 0Q ，再求 21,pp 的最优值 . 解： 按分段价格，单位时间内的销售量为 TtTbpa Ttbpax2,20,21 又 tqtq 0)( .于是总利润为 20 2 221121 )()()()(),( T TT dtbpatqpdtbpatqppp =22)(022)( 20222011 TTttqtpbpaTttqtp
11、bpa = )8322)()822)( 20222011 TtqTpbpaTTqTpbpa 第一章作业解答 第 6 页 共 55 页 )(2)822( 12011 bpaTTTqTpbp )(2)8322( 22022 bpaTTtqTpbp 0,0 21 pp 令 , 得到最优价格为 : )43(21)4(210201TqbabpTqbabp在销售期 T 内的总销量为 20 2 21210 )(2)()(T TT ppbTaTdtbpadtbpaQ 于是得到如下极值问题： )8322)()822)(),(m a x 2022201121 TtqTpbpaTTqTpbpapp ts. 021
12、)(2 QppbTaT 利用拉格朗日乘数法，解得： 880201TbTQbapTbTQbap即为 21,pp 的最优值 . 第三章 3（ 2008 年 10 月 21 日） 6. 某厂每天需要角钢 100 吨，不允许缺货 .目前每 30 天定购一次，每次定购的费用为 2500元 .每天每 吨角钢的贮存费为 0.18 元 .假设当贮存量降到零时订货立即到达 .问是否应改变订货策略？改变后能节约多少费用？ 解： 已知：每天角钢的需要量 r=100(吨 );每次订货费 1c 2500（元） ; 第一章作业解答 第 7 页 共 55 页 每天每吨角钢的贮存费 2c 0.18（元） .又现在的订货周期
13、T0 30（天） 根据不允许缺货的贮存模型： krrTcTcTC 21 21)(得： kTTTC 10092 5 0 0)( 令 0dTdC ， 解得：35092500* T由实际意义知：当 350*T （即订货周期为 350 ）时，总费用将最小 . 又 kTC 1003509502 5 0 03)( * 300 100k kTC 1 0 0309302 5 0 0)(0 =353 33 100k )(0TC )( *TC （ 353.33 100k）（ 300 100k） 32 53 33. 故应改变订货策略 .改变后的订货策略（周期）为 T* = 350 ，能节约费用约 53 33 元 .
14、 数学模型作业解答 第四章（ 2008 年 10 月 28 日） 1. 某厂生产甲、乙两种产品 ,一件甲产品用 A 原料 1 千克 , B 原料 5 千克；一件乙产品用A 原料 2 千克 , B 原料 4 千克 .现有 A 原料 20 千克 , B 原料 70 千克 .甲、乙产品每件售价分别为 20 元和 30 元 .问如何安排生产使收入最大？ 解： 设安排生产甲产品 x 件 ,乙产品 y 件，相应的利润为 S 则此问题的数学模型为： max S=20x+30y s.t. Zyxyxyxyx,0,7045202这是一个整线性规划问题，现用图解法进行求解 可行域为：由直线 1l ： x+2y=2
15、0, 2l :5x+4y 70 2l y 925002 TdTdC第一章作业解答 第 8 页 共 55 页 以及 x=0,y=0 组成的凸四边形区域 . 直线 l ： 20x+30y=c 在可行域内 l 平行移动 . 易知：当 l 过 1l 与 2l 的交点时， 1l x S 取最大值 . 由 7045 202 yx yx解得 510yx此时 maxS 20 53010 350（元） 2. 某厂拟用集装箱托运甲乙两种货物，每箱的体积、重量以及可获利润如下表： 货物 体积 （立方米 /箱） 重量 （百斤 /箱） 利润 （百元 /箱） 甲 5 2 20 乙 4 5 10 已知这 两种货物托运所受限
16、制是体积 不超过 24 立方米 ， 重量 不超过 13 百斤 .试 问这两种货物各托运多少箱，使得所获利润最大， 并求出最大 利润 . 解 :设甲货物、乙货物的托运箱数分别为 1x , 2x ,所获利润为 z . 则问题的 数学模型 可表示为 21 1020 m ax xxz Zyxxxxxxxst,0,13522445212121 这是一个整线性规划问题 . 用图解法求解 . 可行域为：由直线 2445: 211 xxl 1352: 212 xxl 及 0,0 21 xx 组成 直线 cxxl 21 1020: 在此凸四边形区域内平行移动 . 2l l 1x 1l 2x 第一章作业解答 第
17、9 页 共 55 页 易知：当 l 过 l 1 与 l 2 的交点时， z 取最大值 由 1352 24452121 xx xx 解得 1421xx 90110420m ax z . 3 某 微波炉 生产企业计划在下季度生产甲、乙两种型号的 微波炉 .已知每台甲型、乙型 微波炉 的销售利润分别为 3 和 2 个单位 .而生产一台甲型、乙型 微波炉 所耗原料分别为 2 和 3个单位 ,所需工时分别为 4 和 2 个单位 .若允许使用原料为 100 个单位 ,工时为 120 个单位 ,且甲型、乙型 微波炉 产量分别不低于 6 台和 12 台 .试建立一个数学模型 ,确定生产甲型、乙型 微波炉 的台
18、数 ,使获利润最大并求出最大利润 . 解 ：设安排生产甲型 微波炉 x 件 ,乙型 微波炉 y 件 ,相应的利润为 S. 则此问题的数学模型为： max S=3x +2y s.t. Zyxyxyxyx,12,61202410032 这是一个整线性规划问题 用图解法进行求解 可行域为：由直线 1l ： 2x+3y=100, 2l :4x+2y 120 及 x=6,y=12 组成的凸四边形区域 . 直线 l ： 3x+2y=c 在此凸四边形区域内平行移动 . 易知：当 l 过 1l 与 2l 的交点时 , S 取最大值 . 由 12024 10032 yx yx解得 第一章作业解答 第 10 页
19、共 55 页 2020yx. maxS 3 20220 100. 数学模型作业解答 第五章 1（ 2008 年 11 月 12 日） 1.对于 5.1 节传染病的 SIR 模型，证明： （ 1）若 处最大先增加，在则 1)(,10 stis ，然后减少并趋于零； )(ts 单调减少至 .s （ 2） .)()(,10 ststis 单调减少至单调减少并趋于零，则若 解： 传染病的 SIR 模型（ 14）可写成 isdtdssidtdi )1( .)(lim 0.( t ) .)( .0, t 存在而单调减少知由 stsstsdtdsisdtds .)( sts 单调减少至故 （ 1） .ss ( t ) .s ( t ) .100 单调减少由若 s;)(,0 .01,10 单调增加时当 tidtdisss .)(,0 .01,1 单调减少时当 tidtdiss .0)(lim .0)18(t tii 即式知又由书上
