1、第 1 页 共 13 页 第 6 章 重积分 练习题 习题 6.1 1设 xoy 平面上的一块平面薄片，薄片上分布有密度为 ),( yxu 的电荷，且 ),( yxu 在上连续，请给出薄片上电荷 Q 的二重积分表达式 2由平面 1342 zyx ， 0x ， 0y ， 0z 围成的四面体的体积为 V ，试用二重积分表示 V 3由二重积分的几何意义计算 D dyxR 222 ， 222: RyxD 4 D dyxfI ),( yyxD 2: 22 ，写出 I 的累次积分式 第 2 页 共 13 页 5交换下 列累次积分的积分顺序： aaxa dyyxfdx 220 ),( 31 3010 20
2、),(),( yy dxyxfdydxyxfdy 6计算下列二重积分： Dyx de 23 2|,2|: yxD D dyx )(22 1|: yxD D dxdyyx 221 10,10: yxD D dxdyyx )2(21 2,: xyxyD 第 3 页 共 13 页 7运用极坐标变换计算下列二重积分： D dxdyyx22 1: 22 yxD D dxdyyx )(22 yyxD 6: 22 D dyx )1ln(22 4: 22 yxD ， 0x ， 0y 第 4 页 共 13 页 8现有一平面薄片，占有 xy 平面上的区域 D，在点 ),( yx 处的面密度为 ),( yxu ，且
3、 ),( yxu在 D 上连续，求该平面薄片的重心表达式 9学习（或复习）物体转动惯量的相关物理知识探 究均匀薄片转动惯量的二重积分表达式，然后计算斜边长为 a 的等腰直角梯形关于一直角边的转动惯量 习题 6.2 1在直角坐标系中计算下列三重积分： dxdydzzxyV42 31,20,10: zyxV 第 5 页 共 13 页 d xd yd zzyxV )s in ( V 由平面 0x ， 0y ， 0z ， 2 zyx 围成 2 在柱面坐标系下计算三重积分 dxdydzyxV )(22，其中 V 由旋转抛物面)(21 22 yxz 及平面 2z 所围成的立体 3在球面坐标系中计算三重积分
4、 d xd yd zzyxzyxV 222222c o s ，22222 4: zyxV 第 6 页 共 13 页 4运用三重积分求半径为 R 的球体的体积 5运用三重积分求球面 zzyx 2222 和锥面（以 z 轴为轴，顶角为 90 ）所围部分的体积 6求曲面 zzyx 8)( 2222 围成部分的体积 第 7 页 共 13 页 习题 6.3 1求球面 16222 zyx 被平面 1z 和 2z 所夹部分的面积 2一段铁丝刚好围成三角形 ABC ，其中 )0,0(A 、 )0,1(B 、 )1,0(C ，三边上点 ),( yx 处的线密度为 yx ，求这段铁丝的质量 3求 zds， 为圆锥
5、螺线tzttyttxsincos 第 8 页 共 13 页 4求 dsyx 22，其中 为圆周 xyx 222 5计算 L xdyydx，其中 L 是 由点 )0,1( 沿上半圆 122 yx 到 )0,1( 6 )0,0(A ， )1,1(B 在抛物线 2xy 上，一质点从 A 移动到 B 沿上在点 ),( yx 处所受的力 F 等于该点到原点的距离，且指向原点，求力 F 所作的功半圆 7利用格林公式计算： dyyxdxyx )()( 222 ， 为区域 10 x ， xyx 2 的正向边界曲线 第 9 页 共 13 页 8计算 ydxxdyxy 22 ，其中 为 圆周 122 yx 9计算
6、球面的质量 m ，已知球半径为 1，球面上各点密度等于这点到铅直直径的距离 10计算 S dSzyx )( 4: 222 zyxS ， 0z 11计算 SzdS S 是平面 1 zyx 在第一卦限部分 第 10 页 共 13 页 12计算 S zd xd yyd xd zxd yd z S 为球面 1222 zyx 的外表面 13用高斯公式计算上面第 12 题 复习题六 一、判断题（正确的打“”，错误的打“”） 1若 0),( yxf ，则 D dxdyyxf ),(的几何意义是以区域 D 为底、曲面 ),( yxfz为曲顶的曲顶柱体的体积 （ ） 2若设 11,10|),( yxyxD ，则 0 dxdyxeDxy （ ） 3 若 设 D 是由 1yx 、 1yx 和 0y 所 围 成 的 区 域 ， 则 有 dxdyxyD dyxydx xx 10 11 （ ） 4 101 ln0 ),(),( eee x y dxyxfdydyyxfdx （ ） 5若设 L 是围成区域 D 的边界曲线，则 dyyxQdxyxPL ),(),( dyQxPD )( （ ） 二、填空题 1设 2|,1|),( yxyxD ，则 Ddxdy 2设 14|),( 22 yxyxD ，则 Ddxdy
