1、 1 www.1smart.org 400-010-0868行程之追及问题 有两个人同时行走，一个走得快，一个走得慢，当走得慢的在前，走得快的过了一些时间就能追上他 .这就产生了“追及问题” .实质上，要算走得快的人在某一段时间内，比走得慢的人多走的路程，也就是要计算两人走的路程之差（追及路程） .如果设甲走得快，乙走得慢，在相同的时间（追及时间）内： 追及路程甲走的路程 -乙走的路程 甲的速度追及时间 -乙的速度追及时间 （甲的速度 -乙的速度）追及时间 速度差追及时间 . 一般地，追击问题有这样的数 量关系：追及路程 =速度差追及时间 【例 1】 甲乙两人分别从相距 18 千米的西城和东城
2、向东而行，甲骑自行车每小时行 14 千米，乙步行每小时行 5 千米，几小时后甲可以追上乙？ 【解析】甲乙两人分别从相距 18 千米的西城和东城向东而行，甲骑自行车每小时行 14 千米，乙步行每小时行 5 千米，几小时后甲可以追上乙？ 18（ 14 5） 2（小时） 【例 2】 哥哥和弟弟去人民公园参观菊花展，弟弟每分钟走 50 米，走了 10 分钟后，哥哥以每分钟 70米的速度去追弟弟，问：经过多 少分钟以后哥哥可以追上弟弟？ 【解析】哥哥和弟弟去人民公园参观菊花展，弟弟每分钟走 50 米，走了 10 分钟后，哥哥以每分钟 70 米的速度去追弟弟，问：经过多少分钟以后哥哥可以追上弟弟？ 典型例
3、题 知识梳理 2 www.1smart.org 400-010-0868（ 50 10）（ 70 50） 25（分钟） 【小试牛刀】小红和小明分别从西村和东村同时向西而行，小明骑自行车每小时行 16 千米，小红步行每小时行 5 千米， 2小时后小明追上小红，求东西村相距多少千米？ 【解析】小红和小明分别从西村和东村同时向西而行，小明骑自行车每小时行 16 千米，小红步行每小时行 5 千米， 2 小时后小明追上小红， 求东西村相距多少千米？ （ 16 5） 2 22（千米） 【例 3】 一辆汽车从甲地开往乙地，每小时行 40 千米，开出 5小时后，一列火车以每小时 90 千米的速度也从甲地开往乙
4、地。在甲乙两地的中点处火车追上汽车，甲乙两地相距多少千米？ 【解析】一辆汽车从甲地开往乙地，每小时行 40 千米，开出 5 小时后，一列火车以每小时90 千米的速度也从甲地开往乙地。在甲乙两地的中点处火车追上汽车，甲乙两地相距多少千米？ 40 5（ 90 40） 4（小时）追及时间 40（ 5 4） 360（千米）汽车速度汽车时间汽 车路程 360 2 720（千米）全程 【小试牛刀】小云以每分钟 40 米的速度从家去商店买东西， 5分钟后，小英去追小云，结果在离家 600米的地方追上小云，小英的速度是多少？ 【解析】 40 5 200（米）实际追及路程 每 5 分钟行 200 米， 600
5、200 400（米），小云又走了 10 分钟，其实这 10 分钟就是追及时间。 200 10 20（速度差） 40 20 60（米）小英的速度 【例 4】 一队中学生到某地进行军事训练，他们以每小时 5 千米的速度前进，走了 6 小时后，学校派秦老师骑自行车以每小时 15 千米的 速度追赶学生队伍，传达学校通知。秦老师几小时可追上队伍？追上时队伍已经行了多少路？ 【解析】 5 6 30（千米）秦老师出发时队伍已经行的路程，也就是追及路程。 30（ 15 5） 3（小时）追及时间 5（ 6 3） 45（千米）队伍总走的路程 【小试牛刀】小明步行上学，每分钟行 70米，离家 12 分钟后，爸爸发现
6、小明的文具盒忘记在家里，立即骑自行车以每分钟 280米的速度去 小明，那么爸爸出发后几分钟追上小明？ 【解析】实际追及距离是 70 12 840（米） 3 www.1smart.org 400-010-0868840（ 280 70） 4（分钟） 【例 5】 甲、乙两车分别从 A 、 B 两地出发，同向而行，乙车在前，甲车在后已知甲车比乙车提前出发 1小时，甲车的速度是 96 千米 /小时，乙车每小时行 80 千米甲车出发 5 小时后追上乙车，求 A 、 B 两地间的距离 【解析】由已知可求出甲、乙两车的追及时间，利用追及问题的公式求解 追及时间为： 5 1=4 （小时） 追及路程为： 96
7、80 4 64 （ ） （千米） A 、 B 两地间的距离为： 96 1 64 160 （千米） 【例 6】 甲每分钟行 80 米，乙每分钟行 50 米，在下午 1： 30 分时，两人在同地背向而行了 6 分钟，甲又调转方向追乙，则甲在几点的时候追上 乙？ 【解析】相背行了 6 分钟，两人相距（ 80 50） 6 780（米），这其实就是需要追及的路程。 780（ 80 50） 26（分钟）追及时间，这样 1 时 30 分 6 分 26 分 2时 2 分追上乙。 【小试牛刀】张飞每分钟走 70 米，赵云每分钟走 60 米，两人同时从同一地点背向走了 3 分钟，张飞掉头去追赵云，追上赵云时张飞共
8、走了多少米？ 【解析】张飞走的时间是两部分，一部分是和赵云背向走的时间，另一部分是赵云追他的时间，要求追及时间，就要求出他们的路程差 路程差是两人相背运动的总路程： (60 70) 3 390 （米） 追及时间为： 390 (70 60) 39 （分钟） 张飞走的总路程为： 70 (39 30)=2940 （米） 【例 7】 某学校组织学生去长城春游，租用了一辆大客车，从学校到长城相距 150 千米。大客车和学校的一辆小汽车同时从学校出发，当小汽车到长城时，大客车还有 30 千米。已知大客车每小时行 60 千米，则小汽车比大客车快多少千米？ 【解析】 大客车实际行驶了 150 30 120（千
9、米）， 120 60 2（小时），实际行驶了 2 小时（包括小汽车也是行驶这个时间）， 150 2 75（千米）小汽车行驶速度， 75 6015（千米）速度差 【例 8】 甲、乙两人同时从东村出发到西村，甲的速度是每小时 6 千米，乙的速度是每小4 www.1smart.org 400-010-0868时 4 千米，甲中途有事休息了 2 小时，结果比乙迟到了 1 个小时，求两村相隔的距离？ 【解析】甲休息 2 小时相当于乙比甲先行 2 小时，甲比乙迟到 1 小时，现当于乙只比甲先行了 1 小时， 4 1 4 千米追及路程 4（ 6 4） 2（小时） 6 2 12（千米）两村的距离 【例 9】
10、甲地和乙地相距 40 千米，八戒和九戒由甲地骑驴去乙地，八戒每小时行 14 千米，九戒 每小时行 17 千米，当八戒走了 6 千米后，九戒才出发，当九戒追上八戒时，距乙地还有多少千米？ 【解析】八戒走了 6 千米后，九戒才出发，这 6 千米就是八戒和九戒相距的路程由于九戒每小时比八戒多走 17 14 3（千米），要求九戒几小时可以追上 6 千米，也就是求 6 千米里包含着几个 3 千米，用 6 3 2 （小时）因为甲地和乙地相距 40 千米，九戒每小时行 17 千米， 2 小时走了 17 2 34 （千米），所以九戒追上八戒时，距乙地还有 40 34 6（千米） 【小试牛刀】小聪和小明从学校到
11、相 距 2400 米的电影院去看电影小聪每分钟行 60 米，他 出发后 10 分钟小明才出发，结果俩人同时到达影院，小明每分钟行多少米？ 【解析】要求小明每分钟走多少米，就要先求小明所走的路程（已知）和小明所用的时间； 要求小明所用的时间，就要先求小聪所用的时间，小聪所用的时间是： 2400 60 40（分 钟），小明所用的时间是： 40 10 30（分钟），小明每分钟走的米数是： 2400 30 80（米） 【例 10】 甲、乙两车同时从 A 地向 B 地开出，甲 每小时行 38 千米，乙每小时行 34 千米，开出 1小时后，甲车因有紧急任务返回 A 地；到达 A 地后又立即向 B 地开出追
12、乙车，当甲车追上乙车时，两车正好都到达 B 地，求 A 、 B 两地的路程 【解析】根据题意画出线段图： 从图中可以看出，当甲开始追乙的时候两车的路程差正好是乙车已经行驶的 2 小时的路程，那么根据追及路程和速度差可以求出追及时间，而追及时间正好是甲车从 A 地到 B 地所用的时间，由此可以求出 A 、 B 两地的路程 追及路程为： 34 2 68 （千米） 5 www.1smart.org 400-010-0868追及时间为： 68 (38 34) 17 （小时） A 、 B 两地的路程为： 38 17 646 （千米） 【小试牛刀】甲、乙两辆汽车同时从 A 地出发去 B 地，甲车每小时行
13、50 千米，乙车每小时 行 40 千米途中甲车出故障停车修理了 3 小时，结果甲车比乙车迟到 1小时到达 B 地 A 、 B 两地间的路程是多少？ 【解析】由于甲车在途中停车 3 小时，比乙车迟到 1小时，说明行这段路程甲车比乙车少用 2 小时可理解成甲车在途中停车 2 小时，两车同时到达，也就是乙车比甲车先行 2 小时，两 车同时到达 B 地，所以，也可以用追及 问题的数量关系来解答即：行这段路程甲车比乙车 少用的时间是： 3 1 2 （小时），乙车 2 小时行的路程是： 40 2 80 （千米），甲车每小时 比乙车多行的路程是： 50 40 10（千米），甲车所需的时间是： 80 10 8
14、（小时）， A 、 B 两地间的路程是： 50 8 400 （千米） 【例 11】 军事演习中，“我”海军英雄舰追击“敌”军舰，追到 A 岛时，“敌”舰已在 10 分钟前逃离，“敌”舰每分钟行驶 1000 米，“我”海军英雄舰每分钟行驶 1470 米，在距离“敌”舰 600 米处可开炮射击，问“我”海军英雄舰从 A 岛出发经过多少分钟可射击敌舰？ 【解析】“我”舰追到 A 岛时，“敌”舰已逃离 10 分钟了，因此，在 A 岛时，“我”舰与“敌”舰的距离为 10000 米（ 1000 10）又因为“我”舰在距离“敌”舰 600 米处即可开炮射击，即“我”舰只要追上“敌”舰即可开炮射击所以，在这个
15、问题中，不妨把10000 600 9400米当作路程差，根据公式求得追及时间 即 (10 00 10 60 0) (14 70 10 00 ) 94 00 47 0 20 （分钟） 所以，经过 20 分钟可开炮射击“敌”舰 【小试牛刀】一列慢车在早晨 6： 30 以每小时 40 千米的速度由甲城开往乙城，另一列快车在早晨 7： 30 以每小时 56 千米的速度也由甲城开往乙城。铁路部门规定，向相同方向的两列火车之间的距离不能小于 8 千米。那么，这列慢车最迟应该在什么时候停车让快车超过？ 【解析】一列慢车在早晨 6： 30 以每小时 40 千米的速度由甲城开往乙城，另一列快车在早晨 7： 30
16、 以每小时 56 千米的速度也由甲城开往乙城。铁路部门规定，向相同方向的两列火6 www.1smart.org 400-010-0868车之间的距离不能小于 8 千米。那么，这列慢车最迟应该 在什么时候停车让快车超过？ 追及路程：（ 7： 30 6： 30） 40 40（千米） 40 8 32（千米） 32（ 56 40） 2（小时）追及时间 7： 30 2 小时 9 点 30 分 【例 12】 一条环形跑道长 400 米，小强每分钟跑 300米，小星每分钟跑 250 米，两人同时同地同向出发，经过多长时间，小强第一次追上小星？ 【解析】 400（ 300 250） 8（分钟） 【小试牛刀】在
17、一条长 300 米的环形跑道上，甲乙两人同时从一起点出发，同向而跑，甲每秒跑 9 米，乙每秒跑 7 米，现在乙在甲后面 100米，问：甲追上 乙要多少时间？ 【解析】 （ 300 100）（ 9 7） 100（秒） 1.甲、乙二人都要从北京去天津，甲行驶 10 千米后乙才开始出发，甲每小时行驶 15 千米，乙每小时行驶 10 千米，问：乙经过多长时间能追上甲？ 【解析】 出发时甲、乙二人相距 10 千米，以后两人的距离每小时都缩短 15-10 5（千米），即两人的速度的差（简称速度差），所以 10 千米里有几个 5 千米就是几小时能追上 .10（ 15-10） 105 2（小时），还需要 2
18、个小时。 2.解放军某部先遣 队，从营地出发，以每小时 6千米的速度向某地前进， 12 小时后，部队有急事，派通讯员骑摩托车以每小时 78 千米的速度前去联络，问多少时间后，通讯员能赶上先遣队？ 【解析】 6 12 78 6 1 (小时 ) 3.小聪和小明从学校到相距 2400 米的电影院去看电影小聪每分钟行 60 米，他出发后 10 分钟小明才出发，结果俩人同时到达影院，小明每分钟行多少米？ 【解析】 要求小明每分钟走多少米，就要先求小明所走的路程 (已知 )和小明所用的时间；要求小明所用的时间，就要先求小聪所用的时间，小聪所用的时间是： 2400 60 40(分钟 )，小明所用的时间是：
19、40 10 30 (分钟 )，小明每分钟走的米数是： 2400 30 80(米 ) 4.一辆慢车从甲地开往乙地，每小时行 40 千米，开出 5 小时后，一辆快车以每小时 90 千米课后作业 7 www.1smart.org 400-010-0868的速度也从甲地开往乙地在甲乙两地的中点处快车追上慢车，甲乙两地相距多少千米？ 【解析】 慢车先行的路程是： 40 5 200 (千米 )，快车每小时追上慢车的千米数是：90 40 50(千米 )，追及的时间是： 200 50 4(小时 )，快车行至中点所行的路程是：90 4 360 (千米 )，甲乙两地间的路程是： 360 2 720 (千米 ) 5
20、.王芳和李华放学后，一起步行去体校参加排球训练，王芳每分钟走 110 米，李华每分钟走70 米，出发 5 分钟后，王芳返回学校取运动服，在学校又耽误了 2 分钟，然后追赶李华求多少分钟后 追上李华？ 【解析】已知二人出发 5 分钟后，王芳返回学校取运动服，这样用去了 5 分钟，在学校又耽 误了 2 分钟，王芳一共耽误了 5 2 2 12 （分钟）李华在这段时间比王芳多走： 70 12 840 （米），速度差为： 110 70 40 （米 /秒），王芳追上李华的时间是： 840 40 21（分钟） 6.甲、乙两车同时从 A 地开往 B 地，甲车 8 小时可以到达，乙车每小时比甲车多行 20 千米
21、，比甲车提前 2 小时到达求 A 、 B 两地间的距离 【解析】这道题的路程差比较隐蔽，需要仔细分析题意，乙到达时， 甲车离终点还有两小时的路程，因此路程差是甲车两小时的路程 甲车 8 小时可以到达，乙车比甲车提前 2 小时到达，因此，乙车到达时用了： 8 2 6 （小时），此时路程差为： 20 6 120 （千米），此时路程差就是甲车 2 小时的路程，所以甲车速度为： 120 2 60 （千米 /小时）， A 、 B 两地间的距离： 60 8 480 （千米） 7.甲、乙两人同时从 A 地去 B 地，甲每 分钟行 250 米，乙每分钟行 90 米，甲到达 B 地后立即返回 A 地，在离 B
22、地 1200 米处与乙相遇， A、 B 两地相距多少千米？ 【解析】 通过线段图可以知道，甲比乙多行了 1200 2 2400（米）， 2400（ 250 90） 15（分钟）行的时间。 250 15 1200 2550（米） 8学校组织四年级学生春游，包了两辆大面包车从学校出发。第一辆车速每小时 30 千米，上午 7： 00 出发，第二辆晚开 1 小时，速度是每小时 40 千米。结果两辆车同时到达，问春游的景区离学校多远？ 8 www.1smart.org 400-010-0868【解析】晚开 1 小时，说明追及路程是： 30 1 30（千米） 30（ 40 30） 3（小时）追及时间，追上的时候也就是到了景区。 40 3 120（千米） 9.甲乙两镇相距 100 千米，上午 7 点，一辆马车从甲镇出发前往乙镇，每小时行驶 20 千米，上午 10 点，一辆汽车从甲镇出发驶向乙镇，恰好与马车同时到达乙镇。那么汽车每小时行驶多少千米？ 【解析】 50 千米
