1、专心 爱心 用心 - 1 - 湖北黄冈中学 2011 届高三最后一次适应性考试数学（文）试题 试卷类型： A 本试卷共 4 页，满分 150 分，考试时间 120 分钟。 注意事项： 1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置。 2选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答在试题卷上无效。 3将填空题和解答题用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔答在答题卡上每题对应的答题区域内答在试题卷上无效。 4考试结束，请将本试题 卷和答题卡一并上交 。 一、选择题 (本大
2、题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 ) 1 设全集 1,2,3,4,5U ，集合 1,2,4A ， 4,5B ，则图中的阴影部分表示的集合为 A 5 B 4 C 1,2 D 3,5 2已知非零向量 a 、 b 满足 | | | |ab，那么向量 ab与向量 ab的夹角为 A 6 B 3 C 2 D 23 3 61()2x x 的展开式中第三项的系数是 A 154 B 154 C 15 D 52 4圆 22 4 2 0x y x 与 直线 l 相切于点 (3,1)A ，则直线 l 的方程为 A 2 5 0xy B 2 1 0xy C
3、20xy D 40xy 5某单位员工按年龄分为 A， B， C 三组，其人数之比为 5： 4： 1，现用分层抽样的方法从总体中抽取一个容量为 20 的样本，已知 C 组中甲、乙二人均被抽到的概率是 ,451 则该单位员工总数为 A 110 B 100 C 90D 80 6已知函数133 ( 1),()lo g ( 1),x xfx xx ，则函数 (1 )y f x的大致图象 A x y O B x y O C x y O y D x O 专心 爱心 用心 - 2 - 7 nS 是数列 na 的前 n 项和，则 “ 数列 na 为常数列 ” 是 “ 数列 nS 为等差数列 ” 的 A充分不必要
4、条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也 不必要条件 8若双曲线 22 1( 0, 0)xy abab 与直线 2yx 无交点，则离心率 e 的取值范围是 A (1,2 B (1, 5 C (1,2) D (1, 5) 9某球与一个 120 的二面角的两个面相切于 A 、 B 两点，且 A 、 B 两点间的球面距离为 ，则此球的表面积是 A 12 B 24 C 36 D 144 10 已知 ()fx是定义在 ,ab 上的函数，其图象是一条连续的曲线，且满足下列条件： ()fx的值域为 M，且 M ,ab ； 对任意不相等的 x ， y ,ab ， 都有 | ()fx ()fy|3，
5、 11 分 故 c 的取值范围为 ( , 1) (3, ). （ 12 分） 12 分 20 （ ）证明：当 2n 时， 21 1 1 1 1 1 1( ) ( )n n n n n n n n n n n n na S a S S S S S S S S S S , 所以 2 11( 2)n n nS S S n 又由 121 0, 4 0SS ，可推知对一切正整数 n 均有 0nS ， 数列 nS 是等比数列 4 分 （ ）解：由 （ ）知等比数列 nS 的首项为 1，公比为 4， 14nnS 当 2n 时， 21 34 nn n na S S ，又 111aS， 21, ( 1),3 4
6、 , ( 2) .n nna n 分 （ ）证明：当 2n 时， 234nna ，此时 22119 934( 3 ) ( 3 ) ( 3 4 3 ) ( 3 4 3 )nnn nnnn ab aa 22134(4 1)(4 1)nnn ， 专心 爱心 用心 - 8 - 又 11 129 3( 3)( 3) 8ab aa， 2213 , ( 1 )834 , ( 2 )( 4 1 ) ( 4 1 )n nnnnbn 分 113788Tb ， 当 2n 时， 22134(4 1)(4 1)nn nnb 21114 1 4 1nn12 2 2 2 1 2 13 1 1 1 1( ) ( )8 4 1
7、 4 1 4 1 4 1nn nnT b b b 17 1 78 4 1 8n 12 分 又因为对 任意的正整数 n 都有 0,nb 所以 nT 单调递增，即 1nTT ， 所以 对于任意的正整数 n ，都有 3788nT成立 1 分 21 解： () 设椭圆的焦距为 2c ，则由题设可知 2 21acacbc ，解此方程组得 2a ， 1b . 所以椭圆 C 的方程是 2 2 12x y. 5 分 () 解法一：假设存在点 T（ u, v） . 若直线 l 的斜率存在，设其方程为 13y kx， 将它代入椭圆方程，并整理，得 22(18 9) 12 16 0k x kx 设点 A、 B 的坐
8、标分别为 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y，则 12 212 212 ,18 916 .18 9kxxkxx k 7 分 因为 1 1 2 2( , ), ( , )T A x u y v T B x u y v 及1 1 2 211,33y kx y kx 所以 1 2 1 2( )( ) ( )( )T A T B x u x u y v y v 2 2 21 2 1 21 2 1( 1 ) ( ) ( )3 3 9vk x x u k k v x x u v 2 2 2 2 22( 6 6 6 ) 4 ( 3 3 2 5 )62u v k k u u v vk
9、 10 分 当 且仅当 0TATB 恒成立时，以 AB 为直径的圆恒过定点 T， 专心 爱心 用心 - 9 - 所以 22226 18 18 0,0,3 3 2 5 0.uvuu v v 解得 0, 1.uv 此时以 AB 为直径的圆恒过定点 T（ 0， 1） . 12 分 当直线 l 的斜率不存在， l 与 y 轴重合，以 AB 为直径的圆为 221xy也过点 T（ 0， 1） . 综上可知，在坐标平面上存在一个定点 T（ 0， 1），满足条件 . 14 分 解法二：若直线 l 与 y 轴重合，则以 AB 为直径的圆是 221.xy 若直线 l 垂直于 y 轴，则以 AB 为直径的圆是 22
10、1 16( ) .39xy 由 221,1 16( ) .39xyxy 解得 01xy. 由此可知所求点 T 如果存在，只能是（ 0， 1） . 8 分 事实上点 T（ 0， 1）就是所求的点 . 证明如下： 当直线 l 的斜率不存在，即直线 l 与 y 轴重合时，以 AB为直径的圆为 221xy， 过点 T（ 0， 1）；当直线 l 的斜率存在，设直线方程为 13y kx，代入椭圆方程，并整理，得 22(18 9) 12 16 0.k x kx 设点 A、 B 的坐标为 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y，则 12 212 212 ,18 916 .18 9kxxkxx k 11 分 因为 1 1 2 2( , 1), ( , 1)T A x y T B x y ， 21 2 1 2 1 2 1 2 1 24 1 6( ) 1 ( 1 ) ( )39T A T A x x y y y y k x x k x x 2 2 2216 16 16 32 16 0.18 9k k kk 所以 TA TB ，即以 AB 为直径的圆恒过定点 T（ 0， 1） . 13 分 综上可知，在坐标平面上存在一个定点 T（ 0， 1）满足条件 . 14 分
