1、习题 621求图 621 中各画斜线部分的面积 (1) 解 画斜线部分在 x 轴上的投影区间为 01 所求的面积为 612132)( 1022310 xxdxxxA . (2) 解法一 画斜线部分在 x 轴上的投影区间为 01 所求的面积为 1|)()( 1010 xx eexdxeeA 解法二 画斜线部分在 y 轴上的投影区间为 1e 所求的面积为 1)1(|lnln 111 eedyyyy d yA eee (3) 解画斜线部分在 x 轴上的投影区间为 31 所求的面积为 3322)3(1 3 2 dxxxA (4) 解画斜线部分在 x 轴上的投影区间为 13 所求的面积为 332|)31
2、3()32( 3 13231 2 xxxdxxxA 2. 求由下列各曲线所围成的图形的面积 (1) 221xy 与 x2y28(两部分都要计算 ) 解 388282)218(2 20 220 220 220 221 dxxdxxdxxdxxxA 34238c o s16 40 2 td t 346)22( 122 SA (2) xy1 与直线 yx 及 x2 解 所求的面积为 21 2ln23)1( dxxxA (3) yexyex与直线 x1 解 所求的面积为 10 21)( eedxeeA xx (4)y=ln x,y 轴与直线 y=ln a, y=ln b (ba0). 解 所求的面积为
3、 abedyeA bayba y lnlnlnln 3求抛物线 yx24x3 及其在点 (03)和 (30)处的切线所围成的图形的面积 解 y2 x4 过点 (0, 3)处的切线的斜率为 4切线方程为 y4(x3) 过点 (3, 0)处的切线的斜率为 2切线方程为 y2x6 两切线的交点为 )3 ,23( 所求的面积为 4934(62)34(34230 23232 dxxxxxxxA 4求抛物线 y2=2px 及其在点 ),2( pp 处的法线所围成的图形的面积 解 2yy2p 在点 ),2( pp 处 1),2( ppypy 法线的斜率 k1 法线的方程为 )2( pxpy 即 ypx 23
4、 求得法线与抛物线的两个交点为 ),2( pp 和 )3,29( pp 法线与抛物线所围成的图形的面积为 23323 2 316)6 12123()223( pypyypdypyypA p pp p 5求由下列各曲线 所 围成的图形的面积 (1)2acos解 所求的面积为 20 222 2 2 c o s4)c o s2(21 dadaA a2 (2)xacos3t, yasin3t; 解 所求的面积为 20 42202 330 s inc o s34)c o s()s in(44 t d ttatadtay d xA a 220 620 42 83s i ns i n12 at d tt d
5、 ta (3)=2a(2+cos)解 所求的面积为 220 2220 2 18)c o sc o s44(2)c o s2(221 adadaA 6求由摆线 xa(tsin t)ya(1cos t)的一拱 (0t2)与横轴 所 围成的图形的面积 解 所求的面积为 aaa dttadttatay d xA 20 222020 )c o s1()c o s1()c o s1( 2202 3)2c o s1c o s21( adttta a 7求对数螺线 ae()及射线 所围成的图形面积 解 所求的面积为 )(421)(21 222222 eeadeadaeA 8求下列各曲线所围成图形的公共部分的面
6、积 (1)3cos 及 1cos解 曲线 3cos 与 1cos交点的极坐标为 )3,23( A )3,23( B 由对称性 所求的面积为 45)c o s3(21)c o s1(212 23 230 2 ddA (2) sin2 及 2cos2 解 曲线 sin2 与 2cos2 的交点 M 的极坐标为 M )6,22( 所求的面积为 2 3162c o s21)s i n2(212 4660 2 ddA 9求位于曲线 y=ex下方 该曲线过原点的切线的左方以及 x 轴上方之间的图形的面积 解 设直线 ykx 与曲线 yex相切于 A(x0y0)点 则有 kexyeykxyxx00)( 00
7、00 求得 x01y0eke 所求面积为 21ln21)ln1( 00020 edyyyyyyedyyye eeee 10求由抛物线 y24ax 与过焦点的弦所围成的图形的面积的最小值 解 设 弦的倾角为 由图可以看出 抛物线 与过焦点的弦所围成的图形的面积为 10 AAA 显然当 时 A10当 2 时 A10 因此 抛物线 与过焦点的弦所围成的图形的面积的最小值为 20300 383822 axadxaxA aa 211把 抛物线 y24ax及直线 xx0(x00)所围成的图形绕 x轴旋转 计算所得旋转体的体积 解 所得旋转体的体积为 200200 2 224 000 xaxaax dxdx
8、yV xxx 12 由 yx3x2y0 所围成的图形 分别绕 x 轴及 y轴旋转 计算所得两个旋转体的体积 解 绕 x 轴旋转所得旋转体的体积为 712871 20720 620 2 xdxxdxyV x 绕 y 轴旋转所得旋转体的体积为 80 3280 22 3282 dyydyxV y 5645332 803 5 y 13 把星形线 3/23/23/2 ayx 所围成的图形 绕 x 轴旋转 计算所得旋转体的体积 解 由对称性 所求旋转体的体积为 dxxadxyV aa 0 332320 2 )(22 30 2343232342 10532)33(2 adxxxaxaaa 14 用积分方法证
9、明图中球缺的体积为)3(2 HRHV 证明 R HRR HR dyyRdyyxV )()( 222 )3()31( 232 HRHyyR R HR 15 求下列已知曲线所围成的图形 按指定的轴旋转所产生的旋转体的体积 (1) 2xy 2yx 绕 y 轴 解 103)5121()( 105210 2210 yydyyy d yV (2) axay ch x0xay0 绕 x 轴 解 10 230 220 2 ch ch)( u d uaauxdxaxadxxyVaa 令 1022310 223 )21221(4)2(4 uuuu eueadueea )2sh2(4 3 a (3) 16)5( 2
10、2 yx 绕 x 轴 解 4 4 224 4 22 )165()165( dxxdxxV 240 2 1601640 dxx (4)摆线 xa(tsin t)ya(1cos t)的一拱 y0 绕直线 y2a 解 aa dxyadxaV 20 220 2 )2()2( 20 223 )s in()c o s1(28 ttdataaa 2320 2323 7s in)c o s1(8 at d ttaa 16 求圆盘 222 ayx 绕 xb(ba0)旋转所成旋转体的体积 解 a aa a dyyabdyyabV 222222 )()( 220 22 28 badyyab a 17 设有一截锥体 其高为 h 上、下底均为椭圆 椭圆的轴长分别为 2a、 2b 和 2A、 2B 求这截锥体的体积 解 建立坐标系如图 过 y 轴上 y点作垂直于y 轴的平面 则平面与截锥体的截面为椭圆 易得其长短半轴分别为 yhaAA yhbBB 截面的面积为 )()( yh bBByh aAA 于是截锥体的体积为 )(261)()(0 bAaBABabhdyyh bBByh aAAV h 18 计算底面是半径为 R 的圆 而垂直于底面上一条固定直径的所有截面都是等边三角形的立体体积 解设过点 x 且垂直于 x 轴的截面面积为 A(x)
