1、 1 -1 质点作曲线运动 ,在时刻 t 质点的位矢为 r,速度为 v ,速率为 v,t 至 (t t)时间内的位移为 r, 路程为 s, 位矢大小的变化量为 r ( 或称 r ),平均速度为 v ,平均速率为 v (1) 根据上述情况 ,则必有 ( ) (A) r = s = r (B) r s r,当 t0 时有 dr = ds dr (C) r r s,当 t0 时有 dr = dr ds (D) r s r,当 t0 时有 dr = dr = ds (2) 根据上述情况 ,则必有 ( ) (A) v = v , v = v (B) v v , v v (C) v = v , v v (
2、D) v v , v = v 分析与解 (1) 质点 在 t 至 (t t)时间内沿曲线从 P 点运动到 P点 ,各量关系如图所示 , 其中路程 s PP, 位移大小 r PP,而 r r- r表示质点位矢大小的变化量 ,三个量的物理含义不同 ,在曲线运动中大小也不相等 (注：在直线运动中有相等的可能 )但当 t0 时 ,点 P无限趋近P点 ,则有 dr ds,但却不等于 dr故选 (B) (2) 由于 r s,故 tst r ,即 v v 但由于 dr ds,故tst dddd r,即 v v 由此可见 ,应选 (C) 1 -2 一运动质点在某瞬时位于位矢 r(x,y)的端点处 ,对其速度的
3、大小有四种意见 ,即 (1)trdd； (2) tddr ； (3)tsdd； (4) 22dddd tytx 下述判断正确的是 ( ) (A) 只有 (1)(2)正确 (B) 只有 (2)正确 (C) 只有 (2)(3)正确 (D) 只有 (3)(4)正确 分析与解 trdd 表示质点到坐标原点的距离随时间的变化率 ,在极坐标系中叫径向速率通常用符号 vr表示 ,这是速度矢量在位矢方向上的一个分量； tddr 表示速度矢量；在自然坐标系中速度大小可用公式 tsddv 计算 ,在直角 坐标系中则可由公式 22dddd tytxv求解故选 (D) 1 -3 质点作曲线运动 ,r 表示位置矢量 ,
4、 v表示速度 ,a表示加速度 ,s 表示路程 , a 表示切向加速度对下列表达式 ,即 (1)d v /dt a； (2)dr/dt v； (3)ds/dt v； (4)d v /dt a 下述判断正确的是 ( ) (A) 只有 (1)、 (4)是对的 (B) 只有 (2)、 (4)是对的 (C) 只有 (2)是对的 (D) 只有 (3)是对的 分析与解 tddv 表示切向加速度 a ,它表示速度大小随时间的变化率 ,是加速度矢量沿速度方向的一个分量 ,起改变速度大小的作用； trdd 在极坐标系中表示径向速率 vr(如题 1 -2 所述 )； tsdd 在自然坐标系中表示质点的速率 v；而t
5、ddv表示加速度的大小而不是切向加速度 a 因此只有 (3) 式表达是正确的故选 (D) 1 -4 一个质点在做圆周运动时 ,则有 ( ) (A) 切向加速度一 定改变 ,法向加速度也改变 (B) 切向加速度可能不变 ,法向加速度一定改变 (C) 切向加速度可能不变 ,法向加速度不变 (D) 切向加速度一定改变 ,法向加速度不变 分析与解 加速度的切向分量 a 起改变速度大小的作用 ,而法向分量 an起改变速度方向的作用质点作圆周运动时 ,由于速度方向不断改变 ,相应法向加速度的方向也在不断改变 ,因而法向加速度是一定改变的至于 a 是否改变 ,则要视质点的速率情况而定质点作匀速率圆周运动时
6、, a 恒为零；质点作匀变速率圆周运动时 , a 为一不为零的恒量 ,当 a 改变时 ,质点则作一般的 变速率圆周运动由此可见 ,应选 (B) *1 -5 如图所示 ,湖中有一小船 ,有人用绳绕过岸上一定高度处的定滑轮拉湖中的船向岸边运动设该人以匀速率 v0 收绳 ,绳不伸长且湖水静止 ,小船的速率为 v,则小船作 ( ) (A) 匀加速运动 ,cos0vv(B) 匀减速运动 , cos0vv (C) 变加速运动 ,cos0vv(D) 变减速运动 , cos0vv (E) 匀速直线运动 , 0vv 分析与解 本题关键是先求得小船速度表达式 ,进而判断运动性质为此建立如图所示坐标系 ,设定滑轮距
7、水面高度为 h,t 时刻定滑轮距小船的绳长为 l,则小船的运动方程为 22 hlx ,其中绳长 l 随时间 t 而变化小船速度22ddddhl tlltxv,式中 tldd 表示绳长 l 随时间的变化率 ,其大小即为 v0,代入整理后为lhl c o s/ 022 0 vvv ,方向沿 x 轴 负向由速度表达式 ,可判断小船作变加速运动故选 (C) 讨论 有人会将绳子速率 v0 按 x、 y 两个方向分解 ,则小船速度cos0vv ,这样做对吗？ 1 -6 已知质点沿 x 轴作直线运动 ,其运动方程为 32 262 ttx ,式中x 的单位为 m,t 的单位为 s求： (1) 质点在运动开始后
8、 4.0 s内的位移的大小； (2) 质点在该时间内所通过的路程； (3) t 4 s时质点的速度和加速度 分析 位移和路程是两个完全不同的概念只有当质点作直线运动 且运动方向不改变时 ,位移的大小才会与路程相等质点在 t 时间内的位移 x 的大小可直接由运动方程得到： 0 xxx t ,而在求路程时 ,就必须注意到质点在运动过程中可能改变运动方向 ,此时 ,位移的大小和路程就不同了为此 ,需根据 0dd tx 来确定其运动方向改变的时刻 tp ,求出 0 tp 和 tp t 内的位移大小 x1 、 x2 ,则 t 时间内的路程 21 xxs ,如图所示 ,至于 t 4.0 s 时质点速度和加
9、速度可用 txdd 和22ddtx 两式计算 解 (1) 质点在 4.0 s内位移的大小 m32 04 xxx (2) 由 0dd tx 得知质点的换向时刻为 s2pt (t 0不合题意 ) 则 m0.8 021 xxx m40 242 xxx 所以 ,质点在 4.0 s时间间 隔内的路程为 m48 21 xxs (3) t 4.0 s时 1s0.4 sm48dd ttxv 2s0.422 m .s36dd ttxa 1 -7 一质点沿 x 轴方向作直线运动 ,其速度与时间的关系如图 (a)所示设 t 0 时 ,x 0试根据已知的 v-t 图 ,画出 a-t 图以及 x -t 图 分析 根据加
10、速度的定义可知 ,在直线运动中 v-t曲线的斜率为加速度的大小 (图中 AB、 CD 段斜率为定值 ,即匀变速直线运动；而线段 BC 的斜率为0,加速度为零 ,即匀速直线运动 )加速度为恒量 ,在 a-t 图上是平行于 t 轴的直线 ,由 v-t 图中求出各段的斜率 ,即可作出 a-t 图线又由速度的定义可知 ,x-t 曲线的斜率为速度的大小因此 ,匀速直线运动所对应的 x -t 图应是一直线 ,而匀变速直线运动所对应的 xt 图为 t 的二次曲线根据各段时间内的运动方程 x x(t),求出不同时刻 t 的位置 x,采用描数据点的方法 ,可作出 x-t 图 解 将曲线分为 AB、 BC、 CD
11、 三个过程 ,它们对应的加速度值分别为 2sm20 ABABAB tta vv (匀加速直线运动 ) 0BCa (匀速直线运动 ) 2sm10 CDCDCD tta vv (匀减速直线运动 ) 根据上述结果即可作出质点的 a-t 图图 (B) 在匀变速直线运动中 ,有 20 21 ttxx v 由此 ,可计算在 0 2和 4 6时间间隔内各时刻的位置分别为 用描数据点的作图方法 ,由表中数据可作 0 2和 4 6时间内的 x -t 图在 2 4时间内 , 质点是作 1sm20 v 的匀速直线运动 , 其 x -t 图是斜率 k 20的一段直线图 (c) 1 -8 已知质点的运动方程为 jir
12、)2(2 2tt ,式中 r 的单位为 m,t 的单位为求： (1) 质点的运动轨迹； (2) t 0 及 t 2时 ,质点的位矢； (3) 由 t 0 到 t 2内质点的位移 r 和径向增量 r； *(4) 2 内质点所走过的路程 s 分析 质点的轨迹方程为 y f(x),可由运动方程的两个分量式 x(t)和 y(t)中消去 t 即可得到对于 r、 r、 r、 s 来说 ,物理含义不同 ,可 根据其定义计算其中对 s的求解用到积分方法 ,先在轨迹上任取一段微元 ds,则22 )d()d(d yxs ,最后用 ss d 积分求 解 (1) 由 x(t)和 y(t)中消去 t 后得质点轨迹方程为
13、 2412 xy 这是一个抛物线方程 ,轨迹如图 (a)所示 (2) 将 t 0和 t 2分别代入运动方程 ,可得相应位矢分别为 jr 20 , jir 242 图 (a)中的 P、 Q 两点 ,即为 t 0和 t 2时质点所在位置 (3) 由位移表达式 ,得 jijirrr 24)()( 020212 yyxx 其中位移大小 m66.5)()( 22 yxr 而径向增量 m47.2 2020222202 yxyxr rrr *(4) 如图 (B)所示 ,所求 s 即为图中 PQ段长度 ,先在其间任意处取 AB 微元 ds,则 22 )d()d(d yxs ,由轨道方程可得 xxy d21d
14、,代入 ds,则 2内路程为 m91.5d4d 40 2 xxss QP 1 -9 质点的运动方程为 23010 ttx 22015 tty 式中 x,y 的单位为 m,t 的单位为 试求： (1) 初速度的大小和方向； (2) 加速度的大小和方向 分析 由运动方程的分量式可分别求出速度、加速度的分量 ,再由运动合成算出速度和加速度的大小和方向 解 (1) 速度的分量式为 ttxx 6010dd v ttyy 4015dd v 当 t 0 时 , vox -10 m -1 , voy 15 m -1 ,则初速度大小为 120200 sm0.18 yx vvv 设 vo与 x 轴的夹角为 ,则
15、23tan 00 xy vv 12341 (2) 加速度的分量式为 2sm60dd ta xx v , 2sm40dd ta yy v 则加速度的大小为 222 sm1.72 yx aaa 设 a 与 x 轴的夹角为 ,则 32tan xyaa -3341(或 32619) 1 -10 一升降机以加速度 1.22 m -2上升 ,当上升速度为 2.44 m -1时 ,有一螺丝自升降机的天花板上松脱 ,天花板与升降机的底面相距 2.74 m计算： (1)螺丝从天花板落到底面所需要的时间； (2)螺丝相对升降机外固定柱子的下降距离 分析 在升降机与螺丝之间有相对运动的情况下 ,一种处理方法是取地面
16、为参考系 ,分别讨论升降机竖直向上的匀加速度运动和初速不为零的螺丝的自由落体运动 ,列出这两种运动在同一坐标系中的运动方程 y1 y1(t)和 y2 y2(t),并考虑它们相遇 ,即位矢相同这 一条件 ,问题即可解；另一种方法是取升降机 (或螺丝 )为参考系 ,这时 ,螺丝 (或升降机 )相对它作匀加速运动 ,但是 ,此加速度应该是相对加速度升降机厢的高度就是螺丝 (或升降机 )运动的路程 解 1 (1) 以地面为参考系 ,取如图所示的坐标系 ,升降机与螺丝的运动方程分别为 201 21 atty v 202 21 gtthy v 当螺丝落至底面时 ,有 y1 y2 ,即 2020 2121
17、gtthatt vv s705.02 ag ht (2) 螺丝相对 升降机外固定柱子下降的距离为 m716.021 202 gttyhd v 解 2 (1)以升降机为参考系 ,此时 ,螺丝相对它的加速度大小 a g a,螺丝落至底面时 ,有 2)(210 tagh s705.02 ag ht (2) 由于升降机在 t 时间内上升的高度为 20 21 atth v 则 m716.0 hhd 1 -11 一质点 P 沿半径 R 3.0 m的圆周作匀速率运 动 ,运动一周所需时间为 20.0 ,设 t 0 时 ,质点位于 O 点按 (a)图中所示 Oxy 坐标系 ,求 (1) 质点 P 在任意时刻的位矢； (2)5时的速度和加速度 分析 该题属于运动学的第一类问题 ,即已知运动方程 r r(t)求质点运动的一切信息 (如位置矢量、位移、速度、加速度 )在确定运动方程时 ,若取以点 (0,3)为原点的 Oxy坐标系 ,并采用参数方程 x x(t)和 y y(t)来表示圆周运动是比较方便的然后 ,运用坐标变换 x x0 x和 y y0 y,将所得参数方程转换至 Oxy 坐 标系中 ,即得 Oxy 坐标系中质点 P 在任意时刻的位矢采用对运动方程求导的方法可得速度和加速度
